19综合考点三 二次函数中的面积问题-【智乐星中考·中考备战】2025年山东中考数学精练本（六三学制）

1 2 1. 【一题多设问】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由; 1 题序 2 3 解：(1)存在. 理由如下： 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，QC. 设Q(m，-m2-m+2)，则QE=-m，OE=m2+m-2， CE=m2+m， ∴S△ACQ=S梯形AOEQ+S△AOC-S△CEQ=(3-m)×(m2+m-2)+×3×2-(m2+m) ×(-m) =10， 整理得m2+3m-10=0，解得m1=-5，m2=2， ∴点Q的坐标为(-5，-8)或(2，-). 1 题序 2 4 (2)如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积;若不存在，请说明理由; 1 题序 2 5 (2)存在. 理由如下： 如图，过点M作MN⊥x轴交AC于点N. ∵S△ACM=|xA-xc|·MN=MN， ∴当MN的值最大时，S△ACM取得最大值. 易知C(0，2)，设点M的坐标为 (x，-x2-x+2). 1 题序 2 6 设直线AC的解析式为y=kx+b. 将A(-3，0)，C(0，2)代入得解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 则点N的坐标为(x，x+2)， ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时S△ACM=×=， ∴当M(-)时，面积有最大值，最大值为. 1 题序 2 7 (3)如图，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标. 1 题序 2 8 (3)令x=0，则y=2，∴C(0，2). 设直线AC的解析式为y=kx+p. ∴解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2. 如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G. 1 题序 2 9 设P(t，-t2-t+2)，则G(t，t+2)， ∴PG=-t2-t+2-t-2=-t2-2t， ∴S=S△ACB+S△APC=×2×(3+1)+×3×(-t2-2t)=-t2-3t+4=-(t+)2+. ∵点P在直线AC上方，∴-3<t<0， ∴当t=-时，S有最大值，最大值为， 此时，点P的坐标为(-). 1 题序 2 10 2. (2024·济南)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A(0，2)，B(2，2)，顶点为D;抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为Q. (1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标; (2)如图1，连接AD，E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上一点. 若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值; 1 题序 2 11 (3)如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点(不与点A重合)，过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值. 图1　　　　　　 图2　　 1 题序 2 12 解：(1)∵将A(0，2)，B(2，2)代入y=x2+bx+c得 解得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2，∴顶点D(1，1). (2)如图，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于点H'，设点E的横坐标为t. 设直线AD的表达式为y=kx+b. 由题意知 解得 1 题序 2 13 ∴直线AD的表达式为 y=-x+2. ∵E(t，t2-2t+2)，G(t，2-t)， ∴EG=t2-t. ∵▱ADFE的面积为12， ∴S△ADE=S▱ADFE=6， S△ADE=S△AGE-S△DGE=EG·H'D=6. ∵H'D=1，∴EG=12，∴t2-t=12， 解得t1=4，t2=-3 (舍去)，∴E(4，10). 1 题序 2 14 ∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F， ∴F(5，9). 将点F(5，9)代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 得m2-11m+18=0，解得m1=2，m2=9. (3)如图，过点M作MP⊥x轴，垂足为P， 过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴， 与DK交于点K，设 M(h，h2-2h+2)， h<1且h≠0，N(n，0). 1 题序 2 15 ∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2， ∴抛物线C2的顶点Q(m，2-m)， ∴DK=|1-(2-m)|=|m-1|，KQ=|m-1|， ∴DK=KQ，∠DQK=45°. ∵MN∥DQ ，KQ∥NP，∴∠MNP=∠DQK=45°， ∴∠NMP=45°，∴MP=NP，∴n-h=h2-2h+2， ∴n=h2-h+2=(h-)2+，∴当h=时，n=， ∴点N横坐标的最小值为n=，此时点N到直线BD距离最小，△BDN的面积最小， 最小距离即边BD上的高，高为×=， ∴△BDN面积的最小值为S△BDN=××=. 1 题序 2 16 $$