第03讲 二次函数的性质（知识清单+易错+3必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第03讲 二次函数的性质 题型梳理 易错分析 易错点一 在给定范围内求最值时未考虑对称轴的位置致错 题型方法 题型一 二次函数的性质 题型二 二次函数的最值 题型三 二次函数的图象与x轴的交点 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点3：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 知识点4：二次函数的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 易错分析 【易错点一】在给定范围内求最值时未考虑对称轴的位置致错 【例1】（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】使用配方法将改写为的形式，则根据二次函数的性质可得当时取得最小值k；当时取得最大值，从而可得答案． 【详解】解：∵ 抛物线的对称轴为，顶点坐标为 当时，取得最小值； 当时，取得最大值， ∴， ∴的最小值为，最大值为． 故答案为：， 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握并运用二次函数的性质以及运用配方法将二次函数改为顶点式，是本题的解题关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【答案】y的最大值为6，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最小值为，再结合到对称轴距离越远值越大求最大值即可． 【详解】解：二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y取最小值为， 又，即到对称轴的距离比大， ∴当时，有最大值，最大值； 当时，y的最大值为6，最小值为 【变式2】（21-22九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝2时，则y＝4； 所以函数y的最小值为1，最大值为4 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【答案】小王的做法是错误的，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4 【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：小王的做法是错误的， 正确的做法如下： ∵二次函数y=x2， ∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴， ∵-1≤x≤2， ∴当x=0时取得最小值，最小值是0， 当x=2时取得最大值，此时y=4， 由上可得，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意x的取值范围． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 【答案】(1)该二次函数的表达式为，对称轴为 (2)当时，该函数的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求二次函数最值，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把，代入得出方程组，求解得出、的值，即可得出该二次函数的表达式，根据对称点求出对称轴即可； （2）由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为，根据二次函数的图象与性质，得出该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，计算得出当时，取得到该函数的最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∵，纵坐标相同，是关于抛物线对称轴的对称点， ∴对称轴为， ∴该二次函数的表达式为，对称轴为； （2）解：∵由（1）得，该二次函数的表达式为，对称轴为， ∴该函数图像抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵当时，可有， ∵，，且， ∴当时，取得到该函数的最大值 题型方法 【题型一】二次函数的性质 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为，再根据抛物线的性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴离对称轴距离越远，函数值越小， ∵点，，在抛物线（为常数）上， ∴， ∴， 故选:D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（   ） A． B．若点在图象上，则 C． D．若点，在图象上，则 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据二次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， 结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方， 当时，，即， 将代入可得， ， ，故选项A正确； ∵ ∴关于对称轴的对称点的坐标为， ∵， ∴点和点都在点右侧，在x轴的上方， ∴， 解得：，故选项B错误； 将代入可得， ， ， ， ， 即，故选项C正确， ∵， ∴在抛物线上关于对称轴对称， ∴点的纵坐标相等，即， ∴， ∴， ∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于， 当时，， 将代入可得，， ∴ ∴，故选项D正确， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 【题型二】二次函数的最值 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最大值 C．当时，y有最小值 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数对称性，增减性，是解题的关键． 配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得． 【详解】 A. ∵当时，y有最小值，∴A选项不正确； B. ∵当时，y有最大值，∴B选项不正确； C. ∵当时，y有最小值，∴C选项正确； D. ∵当时，y有最大值，∴D选项不正确． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故选：A 【变式2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数过点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最小值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值． （1）依据题意，由在的图象上，可得，则，进而可以得解； （2）依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最大值为8，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）根据对称轴直线在范围内外分情况讨论，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数为， ∴当时，y取最大值为8， 当时，， 当时，， ∴时，当时，二次函数的最小值； （3）解：当对称轴直线在范围内时，，即， 由（2）得，当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6， ∴当或时，有最小值为，即， 解得， 当时，不满足； 当时，，不满足； ∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6， ∴范围在直线的一边， ∴当、时，函数有最大值或最小值， ∴， 解得，． 即的值为2或． 【题型三】二次函数的图象与x轴的交点 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，解方程即可求解． 【详解】解：令，得， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数图象与轴的交点，根据题意解方程是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数，且经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)将该二次函数图象向下平移个单位，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移规律，二次函数与轴的交点坐标，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入二次函数中，即可求得的值，从而可以得到该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数表达式和平移规律，即可得到平移后的函数解析式，然后令，即可求得平移后图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：二次函数经过点， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的表达式为， 将该二次函数图象向下平移个单位，得到的函数表达式为， 当时，， 解得：，， 平移后图象与轴的交点坐标为， 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， （1）把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出k的值； （2）先确定抛物线解析式为，然后解方程可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标； 熟练掌握将求二次函数（是常数， 0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得，， ∴； （2）∵， ∴抛物线解析式为， ， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江温州·期中）抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据题意得到关于x的方程与有两个实数解，则利用根的判别式的意义，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程与有两个实数解， ∴， 解得， ∴m可以取3． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，进而解答即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和， 故A、B、D选项错误， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 4．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）关于二次函数的下列说法中，正确的是（    ） A．该二次函数的图象都经过和． B．当时，该二次函数的最小值为2． C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，． D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得该二次函数的图象经过点，求得对称轴为直线，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：当时，，即该二次函数的图象经过点， 当时，，则该二次函数的图象经过点，故选项 A 不正确； ∴该二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当时，该二次函数取到最小值，最小值小于2，故选项 B 不正确； ∵该二次函数的图象经过点，将该二次函数的图象向左平移 1 个单位，则经过点， ∴则当时，，故选项C不正确； ∵该二次函数的图象经过点，开口向上，且二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为， ∴，故选项D正确， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．已知抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可． 【详解】在中，令得 解得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期末）用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 4 5 4 … 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据表格，可知抛物线的对称轴是直线，根据抛物线的对称性，可知当或5时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用描点法，画出的二次函数图象如下： 观察图象和表格可知，抛物线的对称轴为：， 当或5时，函数值相等，根据对称性，与时，函数值相等，都是 故答案为： 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)最小值为； (2)小滨的想法正确．理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可； （2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ∴当时，y取最小值为； （2）解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 故小滨的想法正确． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，其中a为常数． (1)求证：点在二次函数图象上； (2)当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点； (3)当时，y的最小值为1，求a值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)a值为1或 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可； （3）分三种情况讨论，当对称轴在左边，之间以及右边三种情况，分别求解． 【详解】（1）解：将代入， ∴点在二次函数图象上； （2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点 ∴判别式 ∴解得或； （3）解：二次函数的对称轴为 当时，即，此时在对称轴的右侧， 又∵，图象开口向上 ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小，即； 当时，即，此时对称轴在之间 当时，最小，即 解得或（舍去）； 当时，即，此时对称轴在的右边 当时，最小，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上，a值为1或． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设二次函数． (1)若函数的图象过点，求的值． (2)若函数的图象的对称轴是轴，求的值． (3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称轴与增减性，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入函数得解析式求解即可； （2）根据函数的解析式得到对称轴为直线，再结合对称轴是轴求解即可； （3）根据函数的增减性，确定对称轴是直线，进而求出的值，得到函数的解析式，再将点代入函数得解析式求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象过点， ， 解得：； （2）解：二次函数， 对称轴为直线， 函数的图象的对称轴是轴， ， 解得：； （3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 函数的图象的对称轴是直线， ， ， ， 当时，， 即函数的图象过点． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见详解； (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) ①将代入，得，即可得； ②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论． (2)由题意可得，求出h的取值范围即可． 【详解】（1）解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； （2）解∶，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的性质 题型梳理 易错分析 易错点一 在给定范围内求最值时未考虑对称轴的位置致错 题型方法 题型一 二次函数的性质 题型二 二次函数的最值 题型三 二次函数的图象与x轴的交点 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点2：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点3：二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 知识点4：二次函数的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 易错分析 【易错点一】在给定范围内求最值时未考虑对称轴的位置致错 【例1】（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）线段的最小值为 ，最大值为 ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【变式2】（21-22九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝2时，则y＝4； 所以函数y的最小值为1，最大值为4 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的图像经过点，． (1)求该二次函数的表达式及对称轴． (2)当时，求该函数的最大值． 题型方法 【题型一】二次函数的性质 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（   ） A． B．若点在图象上，则 C． D．若点，在图象上，则 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【题型二】二次函数的最值 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最大值 C．当时，y有最小值 D．当时，y有最大值 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【变式2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数过点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最小值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 【题型三】二次函数的图象与x轴的交点 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数图象与轴的交点坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数，且经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)将该二次函数图象向下平移个单位，求平移后图象与轴的交点坐标． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级下·浙江温州·期中）抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 4．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）关于二次函数的下列说法中，正确的是（    ） A．该二次函数的图象都经过和． B．当时，该二次函数的最小值为2． C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，． D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．已知抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，则 ． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期末）用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 4 5 4 … 根据表格信息可知，当时，函数值 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，其中a为常数． (1)求证：点在二次函数图象上； (2)当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点； (3)当时，y的最小值为1，求a值． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设二次函数． (1)若函数的图象过点，求的值． (2)若函数的图象的对称轴是轴，求的值． (3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$