第02讲 二次函数的图象（知识清单+7必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第02讲 二次函数的图象 题型梳理 题型方法 题型一 二次函数y=a（a≠0）的图象 题型二 二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 题型三 二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 题型四 二次函数y=a+k（a≠0）的图象及其特征 题型五 二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象及其特征 题型六 二次函数y=a+bx+c（a≠0）的系数与图象的关系 题型七 实际问题中的二次函数 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点4：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5：二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点6：二次函数的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 题型方法 【题型一】二次函数y=a（a≠0）的图象 【例1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象经过点不经过点， 当时，， 二次函数的图象不经过点， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性即可判断，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴点必在该图象上， 故选：． 【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）若点是抛物线 上一点， ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线上的点，根据抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将代入，进行求解即可。 【详解】解：把代入，得：； 故答案为： 【变式3】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 【答案】，图见解析 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质．根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； 【详解】解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示： 【题型二】二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 【例2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ） A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图象开口向上， ∴a-1>0，即：a>1， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，是二次函数图象上的两点，则下列命题正确的是（    ） A．若，时，则 B．若，时，则 C．若，时，则 D．若，时，则 【答案】D 【分析】根据是二次函数图象上的两点，最终得出，根据绝对值的性质，同正同负时得到，再分别求出的取值范围即可求解． 【详解】解：在上， ， ， ， ， 当绝对值里面同为正时，得， ， ， ， 当绝对值里面同为负时，得， ， ， ， 故，时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，化简绝对值，解题的关键是需要进行分类讨论进行求解． 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数，如图所示，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值的关系即可判断． 【详解】解：∵函数开口向上，函数开口向下， ∴， ∵函数的开口小于函数的开口， ∴， ∴． 即由小到大的顺序为． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟知二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：由题意可得： ， 解得：． 【题型三】二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 【例3】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．最低点是 C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：中，-1＜0， ∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由向右平移2个单位得到， 当时，y随x的增大而增大， ∴说法正确的是D， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·浙江·期末）若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数抛物线y=a（x+1）2（a＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0， ∴开口向上，对称轴为x=-1， ∵-3＜-2＜-1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，若，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，若，，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，若，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，若，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 【题型四】二次函数y=a+k（a≠0）的图象及其特征 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为，对称轴直线为， ∴二次函数图象开口向上，二次函数在时，取得最小值， 故选：B ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据抛物线的顶点坐标，可得，，即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线上的顶点坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式3】（21-22九年级上·浙江台州·期末）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 【答案】（1）y=（x+1）2-4；（2）当x>3时，y>12． 【分析】（1）根据表格的特点可找到函数的顶点，设函数的顶点式，再代入一点即可求解． （2）根据函数的图像与性质即可求解． 【详解】（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4） 设函数为y=a（x+1）2-4 代入（1，0）得0=4a-4 解得a=1 ∴函数为y=（x+1）2-4 （2）∵函数的对称轴为x=-1，a=1＞0 故当x＞3时，y随x增大而增大 当x=3时，y=16-4=12 ∴当x>3时，y>12． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 【题型五】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象及其特征 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握 “上加下减”是解题的关键． 先得到平移后的解析式为，再将原点坐标代入即可求解． 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位 ∴平移后的解析式为：， ∵得到的图象经过原点， ∴， 解得：， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．当时，得到，则当时，，即可判断A，D；函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，即可判断B；当时，则，那么，那么当时，，即可判断C． 【详解】解：A、当时，，则，此时，当时，，所以此时函数和的图象有两个交点，故A正确，符合题意； B、函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，故B错误，不符合题意； C、当时，则，那么，那么当时，，所以时，函数和的值不相等，故C错误，不符合题意； D、当时，，则，此时，由于判断不了的符号，故不能判断过定点问题，故不符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线，回答下列问题： （1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ； （2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点； （2）根据题意得到对称轴为直线 【详解】解：（1）根据题意，， 令，则或， 当时，， 当时，， 无论取何值，抛物线恒过定点，， 故答案为：，； (2)由题意，先将抛物线化为顶点式： ， 顶点纵坐标为， 展开． 因为时，， ，当且仅当时等号成立， ，对于， 有， 当且仅当，即时等号成立． 此时顶点纵坐标最大， 抛物线为， 其对称轴为． 当时，随的增大而增大． 已知抛物线经过，且， 因为关于对称轴的对称点为， 所以或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）． (1)若该抛物线经过点，． ①求抛物线的对称轴． ②已知该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值． (2)若该抛物线经过点，且当时，y的最大值为；当时，，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，由抛物线过点，，从而抛物线的对称轴是直线，进而得解； ②依据题意，由①对称轴是直线，故，从而抛物线为，结合抛物线过，可得，则抛物线为，又该抛物线与x轴只有一个交点，进而，最后求出a可以判断得解； （2）依据题意，由该抛物线经过点，且当时，，故抛物线的顶点为，又当时，y的最大值为，则抛物线过，又设抛物线为，从而，计算即可判断得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴是直线． ②由①对称轴是直线， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线过， ∴． ∴抛物线为． ∵该抛物线与x轴只有一个交点， ∴． ∴（舍去）或． ∴． （2）解：由题意，∵该抛物线经过点，且当时，, ∴抛物线的顶点为． 又∵当时，y的最大值为， ∴抛物线过． 又设抛物线为， ∴． ∴． 【题型六】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的系数与图象的关系 【例6】（23-24九年级上·浙江·期末）若二次函数，，是实数，的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．利用抛物线的对称性求得，解得． 【详解】解：二次函数，，是实数，的图象经过点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系是解题的关键． 根据条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意； B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意； C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意； D、若，则，，当，，当，；故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，明确题意，利用二次函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为：， ①当时，二次函数的图象经过四个象限， 当时，， ； ②当时，二次函数的图象经过四个象限， 当时，， （不符合题意）； 综上，， 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确． 【详解】解：观察图象可知， ,故①错误, 时, , ,故②正确, 对称轴 ，故③正确, 点和关于对称轴对称, ,故④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 【题型七】实际问题中的二次函数 【例7】（24-25九年级上·浙江·期末）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    【答案】14 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． (1)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元 【分析】（1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【详解】（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； （2）函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．根据二次函数性质即可求出结果． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标． 首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线的顶点坐标为，利用这个公式即可求解． 【详解】解：抛物线， 开口方向向上， 顶点坐标为：， 故答案为：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可． 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线经过点和，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；能够用代入法求二次函数值是解题的关键．分别把和代入，求出，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 当时，的最大值为20， 即时，的值最大， 故答案为：2． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 1 【答案】 3 【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】和对称轴都为轴， 可将表格中的数表示为坐标 两点纵坐标相等，且 横坐标关于轴对称 故答案为：；3 【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称． 三、解答题 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，若点，都在该抛物线上，求抛物线的解析式，并比较s与t的大小． 【答案】 【分析】根据抛物线经过点，可以求的的值，即可求得抛物线的开口方向；然后根据二次函数的性质可以求得与的大小． 【详解】解：抛物线经过点， ， ； ， 此函数的图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点，，都在该抛物线上， ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … (1)日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， 把，代入中得： ， 解得：； （2）解：由题意得： ， ， 当时，元， 每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键． （1）设窗框的宽为，则长为（米），表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； （2）设半圆半径为r米，透光面积为平方米，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设窗框的宽为 米，则长为 米，设面积为 平方米，根据题意可得： 当 时, ， 答: 当宽是2米时,窗户的透光面积最大， 最大透光面积是6 平方米； （2）解：设半圆半径为 米，透光面积为平方米，则 ， 当 时, ， 答: 该窗户的最大透光面积是 平方米. 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①的最小值为；②的最大值为1 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入二次函数解析式，即可判断得解； ②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可； （2）①根据，以及开口方向向下进而可以判断得解； ②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴． ①∵， ∴函数图象的顶点坐标为； ②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 又∵， ∴当时，，当时，， ∴此时y的取值范围是：； （2）解：由得， 抛物线与x轴的交点坐标为和． ∴对称轴是直线． ∴当时，； 当时，；当时，， ①当时，抛物线开口向下． 又当时，则， ∴此时二次函数在顶点处取得最大值为． ∴，则． 当时，则， ∴， ∴． ∴若，a的最小值为； ②当时，抛物线开口向上， ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴若，a的最大值为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象 题型梳理 题型方法 题型一 二次函数y=a（a≠0）的图象 题型二 二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 题型三 二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 题型四 二次函数y=a+k（a≠0）的图象及其特征 题型五 二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象及其特征 题型六 二次函数y=a+bx+c（a≠0）的系数与图象的关系 题型七 实际问题中的二次函数 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点4：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5：二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点6：二次函数的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 题型方法 【题型一】二次函数y=a（a≠0）的图象 【例1】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）若点是抛物线 上一点， ． 【变式3】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 【题型二】二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 【例2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ） A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，是二次函数图象上的两点，则下列命题正确的是（    ） A．若，时，则 B．若，时，则 C．若，时，则 D．若，时，则 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数，如图所示，则由小到大的顺序为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【题型三】二次函数y=a（a≠0）的图象及其特征 【例3】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．最低点是 C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·浙江·期末）若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【题型四】二次函数y=a+k（a≠0）的图象及其特征 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（   ） A．当时，有最小值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最大值 【变式2】（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ． 【变式3】（21-22九年级上·浙江台州·期末）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 【题型五】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的图象及其特征 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线，回答下列问题： （1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ； （2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）． (1)若该抛物线经过点，． ①求抛物线的对称轴． ②已知该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值． (2) 若该抛物线经过点，且当时，y的最大值为；当时，，求a的值． 【题型六】二次函数y=a+bx+c（a≠0）的系数与图象的关系 【例6】（23-24九年级上·浙江·期末）若二次函数，，是实数，的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 【题型七】实际问题中的二次函数 【例7】（24-25九年级上·浙江·期末）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． (1)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）二次函数的顶点坐标为 ． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线经过点和，则 （填“”“”或“”）． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 1 三、解答题 9．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过点，若点，都在该抛物线上，求抛物线的解析式，并比较s与t的大小． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … (1)日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$