第01讲 二次函数（知识清单+易错+3必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第01讲 二次函数 题型梳理 易错分析 易错点一 对函数表达式的限定条件考虑不全致错 题型方法 题型一 二次函数的定义及一般形式 题型二 实际问题与二次函数表达式 题型三 用待定系数法确定二次函数的表达式 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 易错分析 【易错点一】对函数表达式的限定条件考虑不全致错 【例1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【变式2】（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型方法 【题型一】二次函数的定义及一般形式 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．5 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 【题型二】实际问题与二次函数表达式 【例2】（22-23九年级上·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）临安特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若单价降低3元，则平均每天的销售量为___________千克，每天获利___________元． (2)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并尽可能的减少库存，每千克核桃应降价多少元？ (3)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使平均每天获得的利润最大？最大获利是多少？ 【题型三】用待定系数法确定二次函数的表达式 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是 ． 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期末）已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A．y＝2x﹣3 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x） 2．（2022九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，则下列点不在图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）抛物线经过点，则n的值是 ． 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期末）设二次函数（，，是常数，）．已知自变量和函数值的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 4 3 0 … 则一元二次方程的解为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)若点在该函数图象上，求的值． 13．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． (1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） (2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． (3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 题型梳理 易错分析 易错点一 对函数表达式的限定条件考虑不全致错 题型方法 题型一 二次函数的定义及一般形式 题型二 实际问题与二次函数表达式 题型三 用待定系数法确定二次函数的表达式 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 易错分析 【易错点一】对函数表达式的限定条件考虑不全致错 【例1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数． 【变式2】（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时， 题型方法 【题型一】二次函数的定义及一般形式 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列函数属于二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是二次函数，故C符合题意； D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，其中分别为二次项系数，一次项系数，常数项．据此分析，即可求解． 【详解】解：二次函数的一次项系数是 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【题型二】实际问题与二次函数表达式 【例2】（22-23九年级上·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可． 【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）临安特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若单价降低3元，则平均每天的销售量为___________千克，每天获利___________元． (2)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并尽可能的减少库存，每千克核桃应降价多少元？ (3)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使平均每天获得的利润最大？最大获利是多少？ 【答案】(1)； (2)每千克核桃应降价元 (3)销售价格定为元时，才能使平均每天获得的利润最大，最大获利是2250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）设每千克核桃降价元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可； （3）根据已知得出销量乘以每千克利润总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：；； （2）设每千克核桃应降价元， 根据题意，得：， 解得：， 因为要尽可能的减少库存，所以每千克核桃应降价6元； （3）设每千克核桃应降价元，则 ． ， 当时，利润有最大值为2250， 此时（元）， 【题型三】用待定系数法确定二次函数的表达式 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的对称轴是直线，且经过点，建立方程组求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点， ， 解得， 则该抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期末）已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把点代入可得c的值，再将点代入，与对称轴等于1联立，即可求解； （2）易知点，纵坐标相同，即其关于对称轴对称，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入，可得， ∵当时，函数有最小值2， ∴，解得， ∴二次函数解析式为； （2）∵点，纵坐标相同， ∴点，关于二次函数图象的对称轴对称， ∴，即． 【点睛】本题考查二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)和； 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A．y＝2x﹣3 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x） 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A．y=2x-3，不是二次函数，故不符合题意； B．，不是二次函数，故不符合题意； C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函数，故不符合题意； D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函数，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（2022九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，则下列点不在图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题关键． 先求出的值，然后再将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】解：的图像经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为：， A、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； B、当时，，故不在函数图象上，故符合题意； C、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； D、当时，，故在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可；令得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点坐标为，图象过点 ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴铅球所经过路线的函数表达式为； 令得，， 解得：（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴铅球的落地点与该运动员相距大约在之间． 故选：B． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．利用待定系数法分别求出表达式比较的大小即可． 【详解】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， ， 的值最大为：． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）抛物线经过点，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：把代入中得：， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期末）设二次函数（，，是常数，）．已知自变量和函数值的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 4 3 0 … 则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程．由表格可得抛物线经过点，故利用待定系数法求出函数解析式，则原一元二次方程可化为，再利用因式分解法求解． 【详解】解：由表格可得，将点代入， 得 解得：， ∴一元二次方程化为， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，经过点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【详解】（1）将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． （2）将点坐标代入得：， 解得：． 13．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】(1)0.56 (2)6 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用对称轴公式，代入求解； （2）先得到抛物线解析式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． (1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） (2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． (3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 【答案】(1)该玩具每天的销售额为600元 (2)销售该玩具每天的利润最大值为225元 (3)的值为2 【分析】（1）先求出时y的值，再根据“销售额＝销售量销售单价”计算即可； （2）根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值． （3）设每天扣除捐款后的利润为, 根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值． 【详解】（1）解：当元时，． ． 答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元． （2）解：           ∵， ∴当时，． 答：销售该玩具每天的利润最大值为225元． （3）解：设每天扣除捐款后的利润为,则 ，    当时,达到最大值．将代入得： 即， 即，     ∴， ∴，， ∵， ∴． 答：的值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． (1)若，求二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，求的值； (3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，得出对称轴为直线是解题的关键． （1）先确定二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴，进一步求得a的值，从而求得函数的解析式; （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线，则,故，由于，所以在中，当时的函数值最小，即，解得 （3）分两种情况，根据二次函数的对称性和增减性得出故的不等式或不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， ∵的图象经过点 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ ∵ ∴， ∴二次函数的解析式为， （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，， 解得：， （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∵， ∴， 当时，二次函数图象开口向上， 若对于，总有， ∴， 解得：， ∴的取值范围为， 当时，二次函数图象开口向下， 若对于，总有， ∴或， 解得：或， ∴的取值范围为， 综上所述，a的取值范围为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$