第03讲 不等关系与不等式（知识清单+易错+2必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第03讲 不等关系与不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 比较大小时忽视0这个特殊值 题型方法 题型一 比较数或式的大小 题型二 利用不等式的性质求取值范围 知识清单 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 1．若ab>0，且a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. 易错分析 【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误. 故选：C 【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 题型方法 【题型一】 比较数或式的大小 【例1】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 解题技巧 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【详解】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 【答案】 【分析】作差法解决即可. 【详解】由题知， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明. 【详解】（1）因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）由（1），得． 同理，得， 所以， 当且仅当时，取等号． 【题型二】利用不等式的性质求取值范围 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 解题技巧 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，，得到，利用得到的取值范围，将表示成关于的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，整理得， 因为， 解得， ， 设，则， 令得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，， ，， 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得，再由直角三角形求得答案. （2）由（1）得到，求得，再求出的范围，借助不等式性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得， 而，由余弦定理得，即， 联立解得，，因此，，所以. （2）由（1）知，则，且， 由，得，即， 因此， 所以的取值范围是. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确； 对于B中，例如，此时，所以B不正确； 对于C中，由函数在上为单调递减函数， 因为，所以，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时，所以D不正确. 故选：C. 3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意知为正数，且， 所以，化简得，解得， 当且仅当时取等号，所以，故A正确. 故选：A. 5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 二、多选题 6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】选项A：当时，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确； 选项B：由得，所以，故选项B正确； 选项C：令，满足，但不成立，故选项C错误； 选项D：由得，因为，所以，所以，故选项D正确． 故选：ABD. 7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】因为在为增函数，由有， 对于A：由，因为，所以，故A正确； 对于B：由，当时，，即，故B错误； 对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确； 对于D：令，则，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，故D错误. 故选：AC. 9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 三、填空题 10．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数； 下面证明该函数满足③： 取任意的，， ， 则， 当且仅当时取等号， 即，即满足③， 故答案为： 12．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. 13．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论： ①存在正整数，当时，； ②存在正整数，当时，； ③存在正整数，当时，． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据递推关系求出，用差比较法可判定各选项. 【详解】对于①：由，，可得， 又，当时， 因为，所以时，故①错误； 对于②：，又， 结合①的结论时， 所以当时，，故②正确； 对于③：， ， 所以当时，， 所以，故③正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题关键在于求出，根据递推关系分析出当时，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③. 四、解答题 14．（2024·重庆·一模）已知函数，曲线与有公共点，且在该点处的切线相同. (1)用表示，并求的最小值； (2)求证：当时，； (3)已知，若方程有两个不等实根，证明：. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据公共点处切线相同可得，利用导数可求的最小值; （2）利用同构即证，结合导数可证该不等式成立； （3）结合（2）可得，从而可得不等式成立. 【详解】（1），， 设公共点的横坐标为，则，故， 故，其中，设， 则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故. 故的最小值为1. （2）由（1）可得，要证： 即证：，即证：， 即证：， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，即， 故成立，故. （3）取，由（1）可得，结合（2）可得即 因为方程有两个不等实根，故， 故故， 而，故，则， 故，即 【点睛】关键点点睛：证明函数不等式时可根据不等式的结构特征合理同构，从而得到比较容易证明的不等式，后者可利用导数证明. 15．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，在时，探讨函数的单调性，求出的单调区间. （2）设大于1的极值点，由极值点的意义可得，利用导数可得，进而确定的极小值点，求出极小值，再作差比较大小即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得，当时，， 则函数在上单调递增，而， 当时，；当时，， 函数的递减区间为，递增区间为. （2）由函数存在大于1的极值点，设此极值点为，由（1）知1是的另一极值点， 由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 则，而，于是，因此， 当时，，函数在上单调递减，， 因此函数的极小值点不是1，应为，函数的极小值为， 且， ，即， 所以函数的极小值小于. 16．（2024·四川乐山·三模）设不等式的解集为. (1)证明：； (2)比较与的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，化简后，由，可求出，然后利用绝对值三角不等式可求证得结论； （2）结合利用作差法比较即可. 【详解】（1）证明：记 则 ，解得，即． ， 则． 当且仅当时取等号. （2）由（1）知，所以 则 ， ∴， ∴. 17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且． (1)证明:若，则; (2)若，求实数 t 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得. （2）结合已知可得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）由均为正数，，得，又， 则，所以. （2）显然， 而均为正数，则， 又，当时取等号， 而，因此，， 所以实数 t 的取值范围. 18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，． (1)试比较与的大小； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）因为，构建，利用导数判断的单调性，结合分析判断； （2）构建，原题意等价于在内恒成立，利用导数分类讨论的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为， 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递减，且，则有： 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即. （2）若恒成立，则， 构建， 原题意等价于在内恒成立， 则， 1.若，则 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，不符合题意； 2.若，则有： （ⅰ）若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，符合题意； （ⅱ）若时，令，解得或， ①若，即时，当时，， 可知在内单调递减，此时，不合题意； ②若，即时，则， 可知在内单调递增， 当时，此时，不合题意； ③若，即时，则， 由（1）可知：当时，， 则， 可得，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. (1)当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. (2)若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. (3)若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】(1)函数是 “下凸函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分别计算，再比较大小，根据定义即得结果；（2）根据定义恒成立，计算化简即得的取值范围；（3）先化简再根据对称轴与定义区间位置关系证明不等式. 【详解】（1）当，，时，. 设，为定义域内任意两个不相等的实数， 则 因为，所以 因此，即函数是 “下凸函数”. （2）因为函数是 “下凸函数”， 所以对于任意，有 即 展开化简得 因为，所以恒成立，从而. 即的取值范围为 （3）因为函数在区间上是 “下凸函数”，所以由 （2） 知， 因为对称轴为，在上不单调， 所以，因此，. ①若， 则 即， 所以. ②若， 则 即， 所以. 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 不等关系与不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 比较大小时忽视0这个特殊值 题型方法 题型一 比较数或式的大小 题型二 利用不等式的性质求取值范围 知识清单 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 1．若ab>0，且a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>. 易错分析 【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型方法 【题型一】 比较数或式的大小 【例1】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【题型二】利用不等式的性质求取值范围 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足. (1)若，求； (2)求的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 12．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 13．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论： ①存在正整数，当时，； ②存在正整数，当时，； ③存在正整数，当时，． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 14．（2024·重庆·一模）已知函数，曲线与有公共点，且在该点处的切线相同. (1)用表示，并求的最小值； (2)求证：当时，； (3)已知，若方程有两个不等实根，证明：. 15．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 16．（2024·四川乐山·三模）设不等式的解集为. (1)证明：； (2)比较与的大小. 17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且． (1)证明:若，则; (2)若，求实数 t 的取值范围． 18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，． (1)试比较与的大小； (2)若恒成立，求的取值范围． 19．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. (1)当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. (2)若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. (3)若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$