第02讲 常用逻辑用语（知识清单+易错+4必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第02讲 常用逻辑用语 题型梳理 易错分析 易错点一 求参数取值问题时范围大小混淆 题型方法 题型一 充分、必要条件的判断 题型二 已知充分、必要条件求参数 题型三 全称量词命题与存在量词命题 题型四 已知命题真假求参数 知识清单 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 易错分析 【易错点一】求参数取值问题时范围大小混淆 【例1】（2005·湖南·高考真题）集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，将代入集合，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为， 当时，由可得，此时， 因为“”是“”的充分条件，则或，解得. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解. 【详解】由题意得“，”为真命题， 所以在区间内有解， 又知在区间内单调递增，所以， 故的取值范围为． 故答案为： 【变式3】（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 题型方法 【题型一】充分、必要条件的判断 【例1】（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线被圆截得的弦长可求得的值，根据的取值即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或3， 所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件. 故选：A． 解题技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 【变式3】（2024·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 【答案】充分不必要条件 【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可. 【详解】由，即同号， 当，则； 当，则； 所以充分性成立， 由，存在或使之成立， 但此时不成立， 所以必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 【题型二】已知充分、必要条件求参数 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解. 【详解】， ， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 解题技巧 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【举一反三】【变式1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果. 【详解】由，得，即； 由，得， 因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且两个等号不同时取，解得. 故答案为： 【变式3】（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解， （2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，由，得， 解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是 由，解得， 即q为真命题时，实数x的取值范围是． 所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为． （2）由，得， 因为，所以，故p：． 若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件， 所以，解可得．故实数a的取值范围是 【题型三】全称量词命题与存在量词命题 【例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 【答案】D 【分析】本题可通过、、、、得出结果. 【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误； B项：根据、易知B错误； C项：由余弦函数性质易知，C错误； D项：恒大于等于，D正确， 故选：D. 解题技巧 含量词命题的解题策略 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． 【举一反三】【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式2】（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定为 ． 【答案】， 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 【变式3】（2023·贵州遵义·模拟预测）命题,则命题的否定为 . 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案. 【详解】因为命题, 所以命题的否定为:. 故答案为:. 【题型四】已知命题真假求参数 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是. 故选：C 解题技巧 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围 【举一反三】【变式1】（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 7．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式相关性质即可求解. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得， 故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BCD. 8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 9．（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 【答案】AB 【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D. 【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且， 所以当时，恒成立，当时，恒成立， 所以，恒成立，故A正确； 对于B，，，且，都有， 所以，故B正确； 对于C，设，则，都有，故C错误； 对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但 所以，，故D错误. 故选：AB 三、填空题 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题写出答案即可． 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：. 11．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是 . 【答案】“，” 【分析】根据存在量词命题的否定形式可得. 【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，” 故答案为：， 12．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 14．（2020·全国II卷·高考真题）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①②③④ 【答案】①③④ 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为； 若与相交，则交点在平面内， 同理，与的交点也在平面内， 所以，，即，命题为真命题； 对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题为假命题； 对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题为假命题； 对于命题，若直线平面， 则垂直于平面内所有直线， 直线平面，直线直线， 命题为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题， 为真命题，为真命题. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题. 四、解答题 15．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 16．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【详解】（1）由q真：，得或， 所以q假：； （2）p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为. (1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得. （2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0， 函数为偶函数 ， 所以“”是“函数为偶函数”的充要条件. （2）当时，，求导得，函数在R上单调递增， 当时，，即函数在单调递增，又是偶函数， 因此， 即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 18．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 （2）设实数且，求证：；（可以使用公式：） （3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格. （2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得. （3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得. 【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为， 所以表格如下： 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 （2）实数且，则， 因此， 所以. （3） ， 依题意，对任意实数恒成立， 因此， 所以等式对任意实数恒成立的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 题型梳理 易错分析 易错点一 求参数取值问题时范围大小混淆 题型方法 题型一 充分、必要条件的判断 题型二 已知充分、必要条件求参数 题型三 全称量词命题与存在量词命题 题型四 已知命题真假求参数 知识清单 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇏p p是q的 条件 p⇏q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 p⇏q且q⇏p 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 否定 ∃x∈M，﹁p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反. 易错分析 【易错点一】求参数取值问题时范围大小混淆 【例1】（2005·湖南·高考真题）集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 【变式3】（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 题型方法 【题型一】充分、必要条件的判断 【例1】（2025·全国·模拟预测）“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【变式3】（2024·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 【题型二】已知充分、必要条件求参数 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【举一反三】【变式1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【题型三】全称量词命题与存在量词命题 【例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 解题技巧 含量词命题的解题策略 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． 【举一反三】【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式2】（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定为 ． 【变式3】（2023·贵州遵义·模拟预测）命题,则命题的否定为 . 【题型四】已知命题真假求参数 【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围 【举一反三】【变式1】（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 好题必刷 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·重庆·模拟预测）若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 三、填空题 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是 . 11．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是 . 12．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 14．（2020·全国II卷·高考真题）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①②③④ 四、解答题 15．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 16．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为. (1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； (2)若，且，求实数的取值范围. 18．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 （2）设实数且，求证：；（可以使用公式：） （3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$