专题03 沪科版七年级下册期末复习解答压轴题（考题猜想，解答压轴必刷4大题型40题）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 沪科版七年级下册期末复习解答压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 一元一次不等式与不等式组之解答压轴题 1 题型二 整式乘法之解答压轴题 15 题型三 分式之解答压轴题 32 题型四 相交线、平行线与平移之解答压轴题 45 题型一 一元一次不等式与不等式组之解答压轴题 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 4．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 5．（23-24七年级下·北京海淀·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． (1)求不等式的解集． (2)若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． (3)若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 7．（21-22八年级下·广东清远·期末）定义：给定两个不等式组P 和Q， 若不等式组P 的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P 为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组是M：是N： 的“子集”． (1)解不等式组A∶   ，B∶ (2)（1）中不等式组A、B哪个是不等式组M：的“子集”； (3)若关于x 的不等式组是不等式组 的“子集”，写出a的取值范围． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 10．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 题型二 整式乘法之解答压轴题 11．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 12．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 13．（23-24七年级下·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 14．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 15．（23-24七年级下·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 16．（23-24七年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 17．（23-24七年级下·江西赣州·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； (2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 19．（23-24七年级下·四川巴中·期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是_____． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，，则_____． 【拓展迁移】（3）若满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 20．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 题型三 分式之解答压轴题 21．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 22．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 23．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 24．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 26．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 27．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 28．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 29．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 30．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 题型四 相交线、平行线与平移之解答压轴题 31．（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题： (1)如图①，，直接写出与的关系________________． (2)如图②，，猜想与的关系，并说明理由． (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角________________． 32．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 33．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 34．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 35．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 36．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 37．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 38．（23-24七年级下·辽宁·期末）直线，点、分别在直线、上，点在直线、之间，直线左侧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点、在直线上，，过点作交直线于点，交线段于点． ①求证：； ②若，，求的度数． 39．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 40．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． $$专题03 沪科版七年级下册期末复习解答压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 一元一次不等式与不等式组之解答压轴题 1 题型二 整式乘法之解答压轴题 15 题型三 分式之解答压轴题 32 题型四 相交线、平行线与平移之解答压轴题 45 题型一 一元一次不等式与不等式组之解答压轴题 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①2，21；②5 (2)， 【知识点】程序流程图与有理数计算、其他问题(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了整数的四则混合运算，解一元一次不等式． （1）①利用程序图进行计算即可； ②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：2，21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得 ， ∴． 故答案为：5； （2）第1次：， 第2次：， 由题意，得 ，， 解得，． 4．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 5．（23-24七年级下·北京海淀·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． (1)求不等式的解集． (2)若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． (3)若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，利用二阶行列式来进行解答； （1）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集即可得出答案， （2）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中的不等式解集即可求出求的值； （3）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中得不等式解即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：． （2）解：，即， 解得：， 解集与（1）中的不等式解集相同， 解得． （3）解：，即， 解得， 不等式的解都是（1）中的不等式的解， 解得． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 7．（21-22八年级下·广东清远·期末）定义：给定两个不等式组P 和Q， 若不等式组P 的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P 为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组是M：是N： 的“子集”． (1)解不等式组A∶   ，B∶ (2)（1）中不等式组A、B哪个是不等式组M：的“子集”； (3)若关于x 的不等式组是不等式组 的“子集”，写出a的取值范围． 【答案】(1)A：；B： (2)A (3) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）利用题中的新定义判断即可 （3）根据“子集”的定义确定出a的范围即可； 【详解】（1）解：：， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ： 解得， ∴不等式组的解集为； （2）解：：的解集为， 则不等式组是不等式组的子集， 故答案为：； （3）解：不等式组的解集为， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 10．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 题型二 整式乘法之解答压轴题 11．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，注意计算的准确性即可； （1）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （2）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （3）①计算即可求解；②计算即可求解； 【详解】解： （1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3）① ， ． ② 由 （2）的规律知： ， 的结果不含 的项， ， ． 12．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2)17 (3)54 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案； （2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得，即得出答案； （3）结合（1）得出，由多项式乘多项式的运算法则将展开，两者结合即得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 故答案为：． （2）解：， ∴需要用到C型纸片17张． 故答案为：17； （3）解：， 故， ， ， ， ． 13．（23-24七年级下·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 14．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 15．（23-24七年级下·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见解析，写出的关于的等式是： 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是：． 16．（23-24七年级下·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（）；； （）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24七年级下·江西赣州·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； (2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 【答案】(1) (2)15 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b表示，再列方程求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ②， ∴ ， ∴． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)①，，；②详见解析，③详见解析 (2)的最大值为49 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式的乘法、以及多项式的乘法的几何运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)根据等面积问题即可得出答案； (2)根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值． 【详解】（1）解：， 长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积=大正方形面积-小正方形面积， ， 故答案为：，，； ②当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， ③当时，该长方形为边长是5的正方形，此时， 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为49． 19．（23-24七年级下·四川巴中·期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是_____． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，，则_____． 【拓展迁移】（3）若满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为25.5 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）根据题意得，再根据（1）把变形，代入计算即可； （4）设由题意得到，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为，因此阴影部分的面积为, 所以有 故答案为：； （2）∵，， ∴； （3） ∵，， ， （4）∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为35，即 ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为 20．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 题型三 分式之解答压轴题 21．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元 (2)停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解． 【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． （2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个． 根据题意，得， 解得． 为整数， ，15或16． 该停车场有3种购买方案． 方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个； 方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个； 方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个． 型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）． 22．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、分式的规律性问题 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 23．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）观察前几个等式即可写出第7个等式； （2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式； （3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即：， 第2个等式：，即：， 第3个等式：，即：， 第4个等式：，即：， 第5个等式：，即：， …… 按照以上规律， 第6个等式：，即：； 故答案为：； （2）解：根据（1）可知，第个等式：， 故答案为：； （3）证明：∵等式右边 ； ∴左边右边． 即：． 24．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． （1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为：； （2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律： ， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 25．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 26．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 27．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、倒数 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键．把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴的值为． 28．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 29．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、异分母分式加减法 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 30．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【知识点】求不等式组的解集、分式加减乘除混合运算 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 题型四 相交线、平行线与平移之解答压轴题 31．（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题： (1)如图①，，直接写出与的关系________________． (2)如图②，，猜想与的关系，并说明理由． (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角________________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相；两直线平行，同旁内角互补，即可作答； （3）根据（1）、（2）结论直接归纳即可； 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 证明：， ， ， ， ； （3）根据（1）、（2）的结果可知：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； 32．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，由平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． 33．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图1，点是的边上一点，过点作直线平分，以点为端点作线段，连接． (1)如图1，平分，证明：： (2)如图2，平分，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由： (3)如图3，平分，请求出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （2）根据内错角相等，两直线平行证明，即可求出与的数量关系； （3）先证明，结合是的平分线，求出，然后利用三角形外角的性质可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长交于点G， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论； （2）过点P作，证明，得到即可解答； （3）过点N、F作，，设，，，根据平行的性质得到，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点P作，如图1所示： ， 由（1）得，， ， ， ， （3）解：过点N、F作，，如图所示： ， ． 平分、， ，， 不妨设，，， ，① ， ，， ， ，② ， ， ， ， ， 又， ，③ 由①②③式可得，，即 35．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案； （2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长到， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下： 如图，延长到， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②与之间的关系为或， 当点在点的左侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系为或． 36．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 37．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，推得，根据平行线的判定即可证明； （2）①根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质和可得，，即可求得．②根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴． ∵NM平分， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②． 理由如下： ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 38．（23-24七年级下·辽宁·期末）直线，点、分别在直线、上，点在直线、之间，直线左侧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点、在直线上，，过点作交直线于点，交线段于点． ①求证：； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)①见解析；②． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查作图平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线，构造平行线解决问题． （1）如图1，过作．利用平行线的性质解决问题即可； （2）结论：．如图2，过作，利用平行线的性质解决问题； （3）①利用等角的余角相等证明即可； ②如图3，过作，利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图1，过作． ∵，， ∴， ，， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图2，过作， ∵，， ∴．同理可得． 平分， ， 平分， ． ． ， 由（1）得，， ； （3）①证明：， ，即， ∵，， ； ②解：如图3，过作， ∴， ∵， ． ∵， ， ， ， ， ∵， ， ． 39．（23-24七年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）34；（2），理由见解析；（3）或． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ， 故答案为：34． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 40．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． $$