沪科版七年级下册期末培优B卷-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

2024-2025学年七年级数学下册期末培优B卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列实数为无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B．C． D． 4．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 7．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 8．对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．因式分解： ． 12．如图，，点E在上，若，，则 ． 13．有一个数值转换器原理如下：当输入时，输出的数是 ． 14．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1) (2) 16．（1）计算：； （2）解不等式组． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．计算 (1)已知，求代数式的值； (2)先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 18．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分； (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，则的算术平方根． 20．“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 六、（本题满分12分） 21．定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 七、（本题满分12分） 22．【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 八、（本题满分 14 分） 23．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下册期末培优B卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列实数为无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，0，是有理数； 是无理数． 故选D． 2．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选： 3．如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】此题考查了图形的平移，把一个图形沿着某个方向移动一定的距离叫做平移，根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 4．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、， 故A不符合题意； B、， ， 故B不符合题意； C、， ， 故C符合题意； D、， ， 故D不符合题意； 故选：C． 5．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故选：C． 6．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 7．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 8．对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及实数的运算，通过解不等式求得不等式的解集是解题的关键．据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：※， ， 故选：A 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识即可求解； 本题需要将分式方程解得，根据解是非负数且不能使原分式方程的分母为0，进行作答，即可求解； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， ∵ 关于x的分式方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∵解 不能使分母为零， ∴，即， 解得：， 综上所述：且， 故选：C． 10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】延长交于点I，根据角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质即可解答． 此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：延长交于点I， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 故①正确； ∴， 故②正确； ∵， ∴， 无法判定， 故③错误； ∵， ∴， 无法判定， 故④错误, 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图，，点E在上，若，，则 ． 【答案】40 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，求出，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 13．有一个数值转换器原理如下：当输入时，输出的数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求算术平方根，能够根据图片正确列出算式是解题的关键．直接根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 4是有理数， ， 2是有理数， 的算术平方根是， 是无理数， 输出的y是， 故答案为：． 14．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 16．（1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．计算 (1)已知，求代数式的值； (2)先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【知识点】整式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算． （1）将代数式去括号，整理得到，再整体代入求解即可； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后确定a的值，把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解： ； ∵， ∴， 将代入，得：原式． 18．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，平行四边形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移的性质得，， ∴这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 答：线段AB在平移过程中扫过区域的面积为20． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分； (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，则的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根和立方根的定义和无理数的估算方法，进行求解即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴； （2）∵x是的小数部分， ∴， ∴， 3的算术平方根为， 即的算术平方根为． 20．“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【答案】(1)甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 (2)甲种钢笔式毛笔至少购买25套 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套，依题意列出表达式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元， 依题意可列方程为， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际意义， 所以 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套． 依题意可得：， 解得， 最小整数为， 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套． 六、（本题满分12分） 21．定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 七、（本题满分12分） 22．【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 【答案】（1）  （2） ，12；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； （3）设，，则，可得出，再根据（1）中的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）设，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 即． 八、（本题满分 14 分） 23．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$