沪科版七年级下册期末培优A卷-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

2024-2025学年七年级数学下册期末培优A卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各数中不是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、，是整数，属于有理数，符合题意； C、是无理数，不符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：B． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，掌握整式的运算法则是关键． 运用单项式乘以多项式，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 4．如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 5．下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.当时，，原说法不成立； B.当时，，原说法不成立； C..当时，，原说法不成立； D.由可知，即可得到，原说法成立； 故选：D． 6．把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 7．如图，直线，直线与直线相交于点，过点作于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， 过G作，根据平行线的性质可求出，结合垂直的定义可求出，根据平行线的传递性可得出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过G作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】 解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解是负数， 且， 解得：， 故选：C． 9．已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组仅有三个整数解， ∴，且整数解为：， ∴， ∴； 故选A． 10．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，梯形的面积，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，得，，，再结合平移得，故阴影部分的面积，因为将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，故，因为三角形的面积是2，点平移到的中点，，，所以，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，，， 故①②是符合题意，故③是不符合题意； ∵平移， ∴，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 则 ∵，， ∴ ∴， 故④是符合题意， ∵将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴ ∵三角形的面积是2，点平移到的中点， ∴，， ∴， ∴， 则． ∴三角形扫过的面积是4． 故⑤是不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值，掌握算术平方根和平方的非负性是解题的关键． 先根据算术平方根和平方的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故答案为：或或 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1)； (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一元一次不等式组解集，熟练掌握实数运算法则和不等式的解法是解题关键． （1）利用实数的混合运算法则和顺序进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式的解集公共部分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为． 16．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）14（2）；13 【知识点】实数的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查实数的运算，整式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则计算； （2）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ， 当，时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（1）； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式 【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的混合运算，解分式方程，掌握分式的混合运算法则，去分母解分式方程的方法是关键． （1）去分母解分式方程，检验根即可求解； （2）运用分式的性质，分式的混合运算法则计算，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2） ， 根据题意，，即， ∴当时，原式． 18．如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 20．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费元，品牌足球共花费元，且购买品牌足球数量是品牌数量的倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜元． (1)求去年品牌足球和品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买、两种足球共个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？ 【答案】(1)去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元 (2)学校至少要购买个品牌足球 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，根据题意列方程即可求解； （2）先求出今年、两种品牌的单价，再设学校今年购买个品牌足球，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 将检验，是原方程的解， ， 答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元； （2）今年品牌足球的单价为元， 今年品牌足球的单价为元， 设学校今年购买个品牌足球， 根据题意可得：， 解得：， 答：学校至少要购买个品牌足球． 六、（本题满分12分） 21．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】有理数加法运算律、与算术平方根有关的规律探索题、分式加减混合运算 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式， ∴根据规律可猜测第六个等式为． （2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为． （3）解：根据规律可化简 ． 七、（本题满分12分） 22．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用． （1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 八、（本题满分 14 分） 23．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、利用平行线间距离解决问题、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示：   ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示： ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是，如图所示：    ∴面积的最大值为 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下册期末培优A卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各数中不是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 7．如图，直线，直线与直线相交于点，过点作于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 9．已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置．则下列说法正确的个数有（   ）个 ①；②；③；④若，，阴影部分的面积为30，则；⑤若三角形的面积是2，点平移到的中点时，则三角形扫过的面积是6． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．因式分解： ． 12．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为 ． 13．已知，则的值为 ． 14．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1)； (2)解不等式组 16．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（1）； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18．如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买品牌足球共花费元，品牌足球共花费元，且购买品牌足球数量是品牌数量的倍，每个足球的售价品牌比品牌便宜元． (1)求去年品牌足球和品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买、两种足球共个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，品牌比去年降低了，品牌比去年提高了，如果今年购买、两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个品牌足球？ 六、（本题满分12分） 21．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 七、（本题满分12分） 22．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 八、（本题满分 14 分） 23．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点．使 ①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$