第六章 平行四边形（单元重点综合测试卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第六章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•龙岩期末）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【分析】根据多边形的内角和＝180°（n﹣2），其中n为正多边形的边数，计算即可． 【解答】解：正八边形的内角和为：180°×（8﹣2）＝1080°， 故选：D． 【点评】此题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 2．（2024春•南丹县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 【分析】直接根据平移的性质可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，2），D（3，2）， ∴点A是点D向左平移4个单位所得， ∵C（2，﹣1）， ∴B（﹣2，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，找出平移的规律是解答本题的关键． 3．（2024春•巴彦淖尔期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　） A．3cm B．4cm C．3.5cm D．4.5cm 【分析】由平行四边形的性质，得出∠ABE＝∠F，再结合角平分线的定义，得到∠F＝∠CBE，进而得出CF＝BC＝7cm，即可求出DF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD时平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝7cm，AB＝CD＝4cm， ∴∠ABE＝∠F， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠F＝∠CBE， ∴CF＝BC＝7cm， ∴DF＝CF﹣CD＝3cm， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形对边相等且平行是解题关键． 4．（2025•梓潼县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P．交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　） A． B．1 C． D． 【分析】由作图得CE平分∠BCD，∠BCE＝∠DCE，由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠E＝∠DCE，所以∠BCE＝∠E，则BE＝BC＝3，而AB＝2，所以AE＝BE﹣AB＝1，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠E＝∠DCE， ∴∠BCE＝∠E， ∵AB＝2，BC＝3， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝BE﹣AB＝3﹣2＝1， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、尺规作图、等腰三角形的判定等知识，推导出∠BCE＝∠E是解题的关键． 5．（2024•安徽一模）如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】由平行四边形的性质可得BA＝CD，AD∥BC，进而得到BD＝CD，∠DBC＝∠C＝70°，由AD∥BC，可得∠ADB＝∠DBC＝70°，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：∵平行四边形ABCD， ∴BA＝CD，AD∥BC， ∵BA＝BD， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝70°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 【分析】根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【解答】解：根据平行四边形的判定方法， A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意； C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，关键掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7．（2025•辽阳一模）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据题意得出四边形MEAF是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得∠B＝∠EMB，得出EM＝EB，则AE+AF＝AB，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴FM＝AE，EM＝AF， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EMB， ∴EM＝EB， ∴AF＝BE， ∴AE+AF＝AE+BE＝AB， ∵AB＝AC＝8， ∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝2×8＝16； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 8．（2024春•梓潼县期末）如图，E、F在平行四边形ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝66°，则∠ADE的大小为（　　） A．33° B．23° C．22° D．18° 【分析】设∠ADE＝x，由直角三角形的性质得出，从而∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由AD∥BC得∠ACB＝∠DAE＝x，然后根据∠BCD＝66°，得出方程，解方程即可． 【解答】解：设∠ADE＝x， ∵AE＝EF，∠ADF＝90°， ∴， ∴∠DAE＝∠ADE＝x， ∵AE＝EF＝CD， ∴DE＝CD， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAE＝x， ∵∠BCD＝66°， ∴2x+x＝66°， 解得：x＝22°， 即∠ADE＝22°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键． 9．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（　　） A． B． C．12 D．6 【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AHAB＝2，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE•AF＝AD•AH＝12． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵∠B＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∴AHAB4＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝6， ∵AF⊥DE， ∴△EAD的面积AD•AHDE•AF， ∴DE•AF＝6×212． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD•AH＝DE•AF． 10．（2024秋•泰山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由ABBC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB⋅AC；根据ABBC，OBBD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OEBC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO∠AEC＝60°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， ∵∠ABE＝∠ADC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵ABBC， ∴BEBC， ∴BE＝CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°， ∴∠ECA＝30°， ∴∠CAD＝∠ECA＝30°， 故①正确； ∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°， ∴AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC， 故②正确； AB⊥OA， ∴OB＞AB， ∴OB≠AB， 故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OEABBC， 故④正确； ∵△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝120°， ∵CE＝AE，OA＝OC， ∴∠AEO＝∠CEO∠AEC＝60°， 故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2025•朝阳区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，∠AED＝35°，则∠B的度数是　 　 °． 【分析】根据平行四边形的性质求得∠BAE＝∠AED＝35°，结合角平分的定义求得∠BAD＝2∠BAE＝70°，进一步利用平行四边形的性质求得∠B＝180°﹣∠BAD即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AED， ∵∠AED＝35°， ∴∠BAE＝35°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠BAE＝2×35°＝70°． ∵AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，熟记平行四边形的性质和角平分线的定义是解题的关键． 12．（2025•浑南区模拟）如图，过正五边形ABCDE的顶点E作MN∥BC，分别交BA，BD的延长线于点M，N，则∠DEN＝ 　 　 °． 【分析】先求出∠C＝∠CDE的度数，进而求出∠N与∠BDE的度数，再根据三角形外角的性质，即可得出答案． 【解答】解：∵ABCDE为正五边形， ∴正五边形的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，BC＝CD， ∴∠C＝∠CDE＝540°÷5＝108°， ∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠BDE＝∠CDE﹣∠CDB＝108°﹣36°＝72°， ∵MN∥BC， ∴∠N＝∠CBD＝36°， ∴∠DEN＝∠BDE﹣∠N＝72°﹣36°＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角、平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 13．（2025春•上海校级月考）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 　 　 ． 【分析】由勾股定理求出AC＝2，由平行四边形的性质推出AOAC，BD＝2OB，求出OB，即可得到BD的长，于是得到答案． 【解答】解：如图，▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝2，BC＝4， ∴∠BAC＝90°， ∴AC2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC，BD＝2OB， ∵OB， ∴BD＝2OB＝2． ∴平行四边形的较长的对角线长为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理求出OB的长． 14．（2024秋•新泰市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠BCD＝30°，那么图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】过点D作DP⊥AB于点P，勾股定理求得AP，证明△EOC≌△FOA，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点D作DP⊥AB于点P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD＝30°，AD＝BC＝4， ∴， ∴， ∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， ∴AB∥CD，AO＝CO， ∴∠ECO＝∠FAO， 又∵∠EOC＝∠FOA， ∴△EOC≌△FOA（AAS） ∴S△EOC＝S△FOA 同理：S△BOF＝S△DOE ∴阴影部分面积面积S△A B D， 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2024秋•乳山市期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 ． 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MNDE． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16．（2024春•荣昌区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　 ． 【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EFCP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解． 【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H， 则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF， ∵BP＝BC， ∴∠BCP＝∠BPC， ∴∠BPC＝∠MHP， ∴PM＝MH， ∵PM＝CN， ∴CN＝MH， ∵ME⊥CP， ∴PE＝EH， 在△NCF和△MHF中， ， ∴△NCF≌△MHF（AAS）， ∴CF＝FH， ∴EF＝EH+FHCP， ∵矩形ABCD中，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， ∴BP＝BC＝10， 在Rt△ABP中，AP6， ∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4， 在Rt△CPD中，CP4， ∴EFCP42． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键． 3、 解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2025•天河区校级一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：OF＝OE． 【分析】根据ASA证明△AOF≌△COE即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 又∵OC＝OA，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 18．（6分）（2024秋•威县期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°解题即可． 【解答】解：（1）由题意可得180×（x﹣2）＝1080， 解得x＝8． 正x边形的周长为8×2＝16； （2）正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°， 正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n的值为5． 【点评】本题主要考查多边形内角和外角，正确记忆相关知识点是解题关键． 19． （6分）（2024•新城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形． 【分析】证明△ABD≌△EBF（ASA），得出AD＝BE，由平行四边形的判定可得出结论． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBF， ∵∠ABD＝∠BFE， ∴∠A＝∠BEF， 在△ABD和△EBF中， ， ∴△ABD≌△EBF（ASA）， ∴AD＝BE， 又∵BE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ABD≌△EBF是解题的关键． 20． （8分）（2025•威远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数． 【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD， ∴∠E＝∠DCF， ∵点F是AD中点， ∴AF＝DF， ∵∠EFA＝∠CFD， ∴△AFE≌△DFC（AAS）， ∴CD＝AE， ∴AB＝AE； （2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD， ∵BC＝2AE， ∴AE＝AF， ∵∠E＝31°， ∴∠AFE＝∠E＝31°， ∴∠DAB＝2∠E＝62°． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 21．（8分）（2025•岳塘区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长． 【分析】（1）证AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2EC＝4，进而由勾股定理得AC＝4，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BC， 又∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， ∴EC＝AD， ∵∠B＝30°，， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，AC＝4， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴∠AEC＝60°，AE＝2CE， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC4， ∴EC＝4， ∴AD＝4． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．（9分）（2024•海陵区一模）已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠ABD＝∠BDC，而∠DBC+∠C＝∠ABD，所以∠DBC+∠C＝∠BDC，则∠BDC+∠BDC＝180°，求得∠BDC＝90°； （2）由BC＝AD＝10，点E为边BC的中点，得DE＝BE＝CE＝5，所以S△CDE＝S△BDEDE•BF＝10，求得S△CDB＝S△CDE+S△BDE＝20，即可由S△ABD＝S△CDB＝20，求得S▱ABCD＝40． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C＝∠ABD， ∴∠DBC+∠C＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴∠BDC+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDC的度数是90°． （2）∵∠BDC＝90°，BC＝AD＝10，点E为边BC的中点， ∴DE＝BE＝CEBC＝5， ∵BF⊥DE，交DE的延长线于点F，且BF＝4， ∴S△CDE＝S△BDEDE•BF5×4＝10， ∴S△CDB＝S△CDE+S△BDE＝10+10＝20， ∵▱ABCD是中心对称图形， ∴△ABD绕▱ABCD的对称中心旋转180°与△CDB完全重合， ∴S△ABD＝S△CDB＝20， ∴S▱ABCD＝S△ABD+S△CDB＝20+20＝40， ∴▱ABCD的面积为40． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积公式等知识，求得∠BDC＝90°是解题的关键． 23．（9分）（2024秋•东坡区期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角． （1）猜想∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数； （3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．猜想∠A、∠C与∠O的数量关系并说明理由． 【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系； （2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线．∠A＝50°，∠C＝150°，即可求∠BOD的度数； （3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的数量关系． 【解答】解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°， 又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°， ∴∠1+∠2＝∠A+∠C； （2）∵∠A＝50°，∠C＝150°， ∴∠ABC+∠ADC＝160°， 又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC， ∴∠OBC∠ABC，∠ODC∠ADC， ∴∠OBC+∠ODC（∠ABC+∠ADC）＝80°， ∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°； （3）∠A、∠C与∠O的数量关系为：∠C﹣∠A＝2∠O， 理由如下：∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线， ∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO， 由（1）可知：∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C， ∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C， ∴∠C﹣∠A＝2∠O． 【点评】本题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角． 24．（10分）（2024秋•博山区期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题． （2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可． （3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 25．（12分）（2024秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　 cm，AM＝　 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设AD＝x，由勾股定理求出AD即可； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BP＝t cm，AM＝4t cm； 故答案为：t，4t； （2）设AD＝x cm，则：CD＝（10﹣x）cm， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝6； ∴AD＝6cm； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时， 由题意得：PQ＝BP＝t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得t＝1.2； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形， 解得t＝2． 综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 26．（12分）（2024秋•博山区期末）如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）． （1）请直接写出点B的坐标 　　 ； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【分析】（1）由点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），得到OA＝10，根据平行四边形的性质得到BC∥OA，BC＝OA，于是得到B（14，6）； （2）设D（m，6），①当OD＝OA＝10时，根据勾股定理得到OD10，求得m＝8（负值舍去），得到D（8，6），②当OD＝AD时，得到点D在OA的垂直平分线上，求得D（5，6），③OA＝AD＝10时，根据勾股定理得到AD10，求得m＝2＜4（不合题意舍去），于是得到结论； （3）如图，连接AC，OB交于E，根据平行四边形的性质得到AE＝CE，求得E（5，3），根据题意得到直线y＝kx+b过E（5，3），于是得到结论． 【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0）， ∴OA＝10， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵点C坐标是（4，6）， ∴B（14，6）， 故答案为：（14，6）； （2）∵点D是线段CB上一个动点， ∴设D（m，6）， ∵三角形OAD是等腰三角形， ①当OD＝OA＝10时， ∴OD10， ∴m＝8（负值舍去）， ∴D（8，6）， ②当OD＝AD时，则点D在OA的垂直平分线上， ∴D（5，6）， ③OA＝AD＝10时， ∴AD10， ∴m＝2＜4（不合题意舍去）， 综上所述，D（8，6）或（5，6）； （3）如图，连接AC，OB交于E， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AE＝CE， ∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6）， ∴E（7，3）， ∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx+b过E（7，3）， ∴3＝7k+b， ∴k， 即k与b的函数关系式为kb． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•龙岩期末）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 2．（2024春•南丹县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 3．（2024春•巴彦淖尔期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　） A．3cm B．4cm C．3.5cm D．4.5cm 4．（2025•梓潼县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P．交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　） A． B．1 C． D． 5．（2024•安徽一模）如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 6．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 7．（2025•辽阳一模）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 8．（2024春•梓潼县期末）如图，E、F在平行四边形ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝66°，则∠ADE的大小为（　　） A．33° B．23° C．22° D．18° 9．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（　　） A． B． C．12 D．6 10．（2024秋•泰山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2025•朝阳区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，∠AED＝35°，则∠B的度数是　 　 °． 12．（2025•浑南区模拟）如图，过正五边形ABCDE的顶点E作MN∥BC，分别交BA，BD的延长线于点M，N，则∠DEN＝ 　 　 °． 13．（2025春•上海校级月考）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 　 　 ． 14．（2024秋•新泰市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠BCD＝30°，那么图中阴影部分的面积为 　 　 ． 15．（2024秋•乳山市期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 ． 16．（2024春•荣昌区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　 ． 3、 解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2025•天河区校级一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：OF＝OE． 18．（6分）（2024秋•威县期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 19．（6分）（2024•新城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形． 20．（8分）（2025•威远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数． 21．（8分）（2025•岳塘区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长． 22．（9分）（2024•海陵区一模）已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 23．（9分）（2024秋•东坡区期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角． （1）猜想∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数； （3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．猜想∠A、∠C与∠O的数量关系并说明理由． 24．（10分）（2024秋•博山区期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 25．（12分）（2024秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　 cm，AM＝　 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 26．（12分）（2024秋•博山区期末）如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）． （1）请直接写出点B的坐标 　　 ； （2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$