专题04 高二下学期期末真题精选—导数（考题猜想，常考10大题型+压轴 7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04 高二下学期期末真题精选 （常考10大题型，压轴7大题型） （人教A版2019选择性必修必修第二册第五章 一元函数的导数及其应） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义 · 题型二 借助导数解决切线问题（高频） · 题型三 已知某点的导数求参数值 · 题型四 导数的四则运算 · 题型五 公切线问题（难点） · 题型六 利用导数求函数（不含参）的单调区间（高频） · 题型七 由函数在区间上的单调性求参数 · 题型八 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（高频） · 题型九 函数的极值（极值点）问题（高频） · 题型十 函数的最值问题（高频） · 压轴一 利用切线解决距离问题 （难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题 （难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒成立问题（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的能成立问题（重点） · 压轴六 利用导数研究函数的零点方程的根（重点） · 压轴七 利用导数研究双变量问题（难点） 题型一、导数的定义 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 . 【答案】6 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】对函数求导，结合导数的定义求目标式的值. 【详解】由题设，根据导数的概念知. 故答案为：6 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若，则 . 【答案】4 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】根据给定条件，利用导数定义代入计算即得. 【详解】函数，求导得， 由，得，因此， 所以. 故答案为：4 题型二、借助导数解决切线问题 1（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义可得，即可解出、的值. 【详解】因为，则， 因为曲线在点处的切线方程为，则， 解得. 故答案为：；. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 题型三、已知某点的导数求参数值 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知函数，若，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再由1处的导数值直接求出a值作答. 【详解】由函数求导得：，于是得，解得， 所以. 故选：D 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 【详解】函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 题型四、导数的四则运算 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 3．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 4．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 5．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 题型五、公切线问题 1．（24-25高三上·山西运城·期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数求出两个函数的某点上的切线方程，再根据公切线列方程得到，应用导数求右侧值域，即可得答案． 【详解】设公切线与曲线与的交点分别为，，其中， 对于，得，则与相切的切线方程为，即， 对于，得，则与相切的切线方程为，即， 由公切线，得，，有，， 令，则，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减. 所以，故，即. 故选：C. 2．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 3．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 4．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 5．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 题型六、利用导数求函数（不含参）的单调区间 1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 2．（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意，求导可得，令可求得其单调减区间，即可得到结果. 【详解】因为，令可得， 解得或，所以的单调减区间为和， 且，，. 故选：ABD 3．（22-23高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．（23-24高二下·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再解不等式得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 题型七、由函数在区间上的单调性求参数 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 2．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数图象及性质 【分析】首先求函数的导数，转化为方程在区间上无实数解或有重根，参变分离为，转化为利用导数分析函数的性质和图象，结合函数的图象的交点个数求的取值范围. 【详解】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 4．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 故选：D. 题型八、利用导数讨论函数（含参）的单调区间 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】求过一点的切线方程、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性. 【详解】（1）． 令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 若时，，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． 6．（23-24高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求某点处的导数值 【分析】（1）借助导数运算即可求解； （2）求导，判断导数的符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间. 【详解】（1）， 因为， 所以. （2）函数的定义域为. ， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得， 的解集为， 的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 7．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. 【详解】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）把代入得，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 9．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求过一点的切线方程、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间. 【详解】（1）当时，，求导可得， 设函数在点的切线过点，所以， 又， 所以， 又因为切线过点，所以， 所以，解得， 所以切线方程为，即. （2）由， 可得， 当时，由，可得或， 所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 当时，由，可得，所以函数在上单调递增， 当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 10．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用 【分析】（1）先确定定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）易知函数的定义域为，， 令，，，对称轴为， （1）当，即时，方程有两根为，， （i）时，，时，，即， 时，，即， （ii）时，，时，，即， 时， ，即， （2）当，即时，方程的根为， 此时在区间上恒成立，当且仅当取等号， （3）当，即时，在区间上恒成立， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，无减区间. 题型九、函数的极值（极值点）问题 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 2．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得. 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 5．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为13 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． （2）令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 题型十、函数的最值问题 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南·期末）函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是． 故选:A． 3．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可； （2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得：. （2）由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 4．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在处有极小值4． (1)求的解析式； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得、的值，再代入检验即可； （2）由（1）可得函数在上的单调性，求出函数极值与区间端点函数值，从而求出函数在闭区间上的值域. 【详解】（1）函数， 则， 由题意得，解得， 当时，，令，解得. 则当单调递增； 单调递减；，单调递增， 所以是极小值点，符合题意，故. （2）由（1）知， 则当单调递增；当，单调递减； 当单调递增， 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值，而，， 故在上的值域为. 5．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为4；最小值为： 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据函数的图象过点，得到关于的一个关系式，再根据函数在处的导数为，又得到关于的一个关系式，可求的值. （2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以. 又因为，且在点处的切线恰好与直线平行， 所以， 由得：，所以. （2）由（1）知：， 由，由或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为4，最小值为. 压轴一：利用切线解决距离问题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、求点到直线的距离 【分析】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，又， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 2．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、已知切线（斜率）求参数 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 3．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求平行线间的距离 【分析】把求最小距离问题转化为曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方的最小值问题,转化为曲线的切线到直线的距离问题，借助平行线间的距离公式求得最小距离. 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线的切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方. ∵，∴，由，可得，此时. ∴曲线在处的切线方程为，即：. 直线与直线的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为2. 故选：D. 5．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求平行线间的距离 【分析】表示距离的平方，借助求导得到与直线平行且与相切的直线，后用平行线间距离公式求解即可. 【详解】由于，可得；，可得. 可将看作曲线任一点，看作直线任一点． 表示距离的平方. 由求导得，令，即. 令，则，则在上增函数， 又，则的解为. 则与相切，且与平行的直线方程为. 可知的最小值为. 故答案为：2． 压轴二：构造函数解决不等式问题 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知函数，其中，且为的导数. (1)若，且当时，恒成立，求的取值范围； (2)当时，设，若方程存在两个不同的实根，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）代入，然后求出导数，分类讨论和，由单调性求出最小值，然后得到范围； （2）代入后整理得到方程，设两根为，代回方程后相加、相减后整理得到和.利用分析法将证明，转变为证明，然后由的计算整理后换元得到，构建函数，由导数得到单调性，然后得到即可得证. 【详解】（1）当时，. 当时，因为， 所以在上单调递增. 则，满足恒成立. 当时，令，即，解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，所以不满足恒成立. 综上，的取值范围是. （2）当时，由题意知， 即. 因为方程存在两个不同的实根，不妨设， 所以， 两式相加得，.① 两式相减得，， 因为，所以.② 要证明， 即证明， 由①得，即证明， 由②得，即证明， 即证明， 令，则， 即证明. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即成立，得证. 【点睛】方法点睛:本题的关键方法是利用分析法，将需要证明得不等式与已知的关系式相结合，得到新的需要证明得不等式，然后利用作差法构建函数，由函数的导数求函数的最小值. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（且）． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）先求得并因式分解，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）利用构造函数法，结合导数、零点存在性定理等知识来证得不等式成立. 【详解】（1）， ①当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为； ②当时，当时，，时，， 所以的递增区间是，，递减区间为． 综上，当时，的递增区间是，，递减区间为； 当时，的递增区间是，，递减区间为． （2）当时，， 由题意可得，只需证明， 方法一：令， 则， 令，易知在上单调递增，，， 故存在，使得，即， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值． ， 所以，即当时，． 方法二：不等式等价于， 只需证， 令，所以， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 用替代得到，函数在上单调递增， 且，， 故存在，使得， 所以，当且仅当时取得等号， 所以，即当时，． 【点睛】方法点睛： 对于含参数的函数单调性问题，求导后因式分解，根据参数与导数零点的大小关系进行分类讨论是常用方法.通过确定导数在不同区间的正负，得出函数的单调区间. 证明不等式时常采用构造函数法，可以直接构造函数，通过研究其单调性和最值来证明不等式，如方法一；也可以对不等式进行适当变形后构造函数，利用已有的函数性质进行证明，如方法二利用这一结论进行替换证明. 3．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程即可. （2）将原式合理变形后，对参数进行分类讨论，合理转化求解即可. （3）首先构造函数证明两个不等式，再相加证明目标式即可. 【详解】（1）由题意得，故切点为， 设切线斜率为，而，定义域为， 故，则切线方程为， 综上，曲线过点的切线方程为. （2）若存在使得恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，转化为恒成立， 而， ①当时，解得，此时，此时在单调递增． 因为，所以恒成立，不满足题意，故排除， ②当时，解得，令，解得， 当时，，此时单调递减， 因为，所以在时，， 即，所以满足题意， 综上，实数的取值范围为． （3）而，令，， 令，，故在单调递减，在单调递增， 故的最小值为， 令，且满足， 我们先证明当时，， 设， 因为，所以， 故，即，得到记为①式， 再证当时，， 令，， 故证明此时即可， 当时，，故在上单调递减， 而，故，即成立， 所以记为②式， 由①②式得，得到成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理构造两个不等式并使用导数进行证明，然后对其合理变形，得到所要求的不等关系即可． 4．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)详解见解析 (2)证明见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可求解. 【详解】（1）, 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 得，即，故只需证. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 所以，即，即证. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是将原不等式转化为，进而利用导数证明不等式即可. 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证； （3）由（2）可知当时，可得，根据等比数列求和可知，即可得解. 【详解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有恒成立. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 压轴三：构造函数比较大小 1．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 【详解】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 2．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】构造函数，，即可比较的大小，构造函数，即可比较的大小，即可得解. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，， ，是解决本题的关键. 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将换成，分别构造函数，，利用导数分析其在的右侧包括的较小范围内的单调性，结合即可得出m，n，p的大小关系. 【详解】令，则，，， 当， ， 设，则， ， 在单调递减， ， ， 当，， 设， 则， 在单调递增，，，， 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此类大小比较问题，关键是根据数的结构特征选择恰当的中间变量，然后构造函数。利用导数解决问题. 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可证明，从而判断、，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解. 【详解】令，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立，当且仅当时取等号，则，即； 又， 令，则，则在上单调递减， 又， 当时，所以在上单调递增，又， 所以，即，所以，即， 综上可得. 故选：A 5．（23-24高二下·福建福州·期中）设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、比较对数式的大小 【分析】构造，利用导数研究其单调性判定大小即可. 【详解】设，则， 易知，且， 所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减， 即，在时取得等号， 且，在时取得等号，则，在时取得等号， 所以，即. 故选：D 【点睛】思路点睛：比大小问题通常利用常用的切线放缩，通过构造函数利用导数研究其单调性计算即可.常用的函数切线放缩有，要注意取等条件. 压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 【详解】由，得， 即，得. 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 2．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知函数. (1)当时，求证：的图象关于点对称； (2)若，，证明：； (3)若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）根据对称中心的定义计算即可证明； （2）解法一：求函数导函数根据，在上递减结合指数运算及对数运算即可证明；解法二：先把不等式转化为，再构造函数得出函数的单调性即可证明； （3）解法一：先应用特殊值法得出，所以，再构造函数得出函数的单调性即可求解；解法二：构造，有两个实根，一根小于1，一根大于1，计算求解，进而得出，最后计算求参. 【详解】（1）当时，的定义域为. 对任意，都有 因为恒成立， 所以的图象关于点对称； （2）解法一：， 当时，是递增函数，因此，， 又，所以，在上递减， ， 因为，所以， 从而； 解法二：因为，所以， 欲证，只需证明 记，则 因为，，， 所以， 所以，在上递减， 因为，所以， 从而； （3）解法一：因为，恒有，所以 即，所以. 当时，因为，所以， 记，则 在上递减，在上递增，， 所以 综上所述的取值范围是. 解法二：，， 当时，，在上是减函数， 当时，， 因此不可能恒成立. 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此，，即成立. 当时，，， 当时，，，所以不恒成立. 综上，时，恒成立 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用导函数得出函数单调性进而计算求解. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数，. (1)求在点处的切线方程； (2)判断在区间上的零点个数，并说明理由； (3)若实数满足，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)三个零点，理由见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）先求导数，再得出切线斜率进而求出切线； （2）求出导函数根据导函数的正负得出函数的单调性，再结合零点存在定理得出函数零点个数； （3）构造函数，再求导函数得出函数单调性即可得出最值进而解题. 【详解】（1）， ，因此，又， 所以在点处的切线方程为. （2）， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因为，所以， 又， 由零点存在定理，时，有一个零点， 又，所以在区间上有三个零点. （3）设，， 则，， 令，，， 当时，则存在使，，即在区间上单调递减， 所以，即在区间上单调递减， 所以，不合题意； 当时，令，， 又，则，， 所以在区间上单调递增，， 所以在区间上单调递增，， 所以在区间上单调递增，，满足题意. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解题（3）的方法是构造新函数，应用二次求导进而得出计算求参. 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）借助导数研究其单调性可得其最大值，再构造函数，结合导数可得当时，，即可得证； （2）构造函数，则在上恒成立，借助导数，分、及讨论其单调性即可得解. 【详解】（1），， 则， 令，则，由，故舍去，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，则， 故在上单调递减，故， 即当时，， 故 ； （2）， 令， 则， 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递减，则，符合要求； 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，不符合要求； 当时，令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，故不符题意； 综上所述：. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出最大值； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断单调性求解即可. 【详解】（1）的定义域为，，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 所以的最大值为； （2）对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 所以，， 令，，， 令，得， 当时，，在单调递减； 当时， ，在单调递增， 且，， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 6．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】(1)4 (2)答案见解析 (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、由函数对称性求函数值或参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. （2）设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. （3）当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 压轴五：利用导数研究函数的能成立问题 1．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题 【分析】转化为有唯一的整数解，构造函数，利用导数讨论单调性，作出函数图象即可得解. 【详解】不等式有唯一的整数解，等价于有唯一的整数解， 记，则， 当时，；当时，. 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得极大值， 因为，所以，所以，即， 作出函数的图象如图：    因为不等式有唯一的整数解，所以，即. 故选：B 2．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】把不等式转化为，令，求得，令，在上单调递增，存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合，，，，的值和题设条件，得出，求解即可. 【详解】∵，等价于. 令 则， 令，在上单调递增， 又由，， ∴存在唯一的使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，，，. 所以当有且仅有三个整数解时， 有，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值. 【详解】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，递增，当时，，递减， 即，故的最大值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)当时，试判断的单调性； (2)若，且a的取值集合中恰有3个整数，求b的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究成立得，构造研究单调性求最小值并确定对应，结合题设有取，结合，，，大小关系确定b的范围. 【详解】（1）由题设，则， 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； （2）由题设，则， 当，则，即递减；当，则，即递增； 所以，由，有， 令，则， 当，，递减；当，，递增； 所以，而，，，， 由a的取值集合中恰有3个整数，故取，又，， 所以，故只要. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用导数研究恒成立得到，再求右侧取最小值及两侧函数值比较大小为关键. 5．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答. （2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答. 【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 6．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可； （2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）, , ①当时，恒成立， 在上单调递增. ②当时，恒成立，在上单调递减， ③当时，， 在单调递减，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 当时，在单调递减，单调递增. （2）由题意可知： 在单调递减，单调递增 由（1）可知： ①当时，在单调递增，则恒成立 ②当时，在单调递减， 则应（舍） ③当时，， 则应有 令，则，且 在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解 综上，. 【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键. 压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根 1．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数分类讨论单调性； （2）结合函数单调性和零点存在定理求的取值范围. 【详解】（1），. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 4．（24-25高三上·山东济南·期末）已知其中. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)判断方程解的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)当或时，方程只有一个解.当或时，方程有两个解. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）不等式等价于，利用导数求得的最大值即可得到的取值范围. （2）令，则，令，则，当时，由的单调性即可得到方程解的个数；当时，令得，结合的单调性，可得，令，则，则，则，再就的范围分类讨论后可得解的个数. 【详解】（1）由题的定义域为，即，即恒成立， 令，则， 则当时，，单调递减；当时，单调递增； 故在上有最大值， 所以，即的取值范围是. （2）方程即， 令，，则， 令，则， ①当时，在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得最大值，即，所以只有一个零点，即原方程只有一个解； ②当时，令解得， 当时，在上单调递增， 即在上单调递增； 当时，在上单调递减， 即在上单调递减，所以在处取得最大值， 即， 若，则，故（不恒为零），故在上为减函数， 而，故所以只有一个零点，即原方程只有一个解. 若，令，则， 故在上为减函数，而即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，， 若，则有1个不同的零点； 若，则有2个不同的零点； 当时，在上为增函数，故即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，，故有两个不同的零点； 综上，当或时，方程只有一个解. 当或时，方程有两个解. 【点睛】本题主要考查的是不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于较难题. 5．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值； （2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间； （3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值. （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 6．（24-25高三上·河北·期末）已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)函数在上两个零点． 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，题意得出在上恒成立，转化为，在上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围； （2）求出，令，再求导，由的单调性确定的零点的存在性,从而得的正负，确定即的单调性，然后再确定的零点的存在性，得出的正负，确定的单调性，然后确定的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）． 【详解】（1）当时，，， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得， 令，在上，，， 所以在上的最小值为， 所以实数a的取值范围为． （2）当，时，，可得， ，设， 则，易知在上单调递增， 又，，所以，使得， 在上,在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点问题，方法是利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得出零点的存在性．为此可能需要对导函数（或其中部分函数）进行再一次的求导，以确定单调性、正负性． 压轴七：利用导数研究双变量问题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究双变量问题 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·广东·期末）已知实数满足，则满足条件的最小正整数为（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】依题意可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】由实数满足，可化为， 即， 构造函数，则， 当时，单调递增， 即，可以得到， 从而，构造函数， ，令可以得到， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 从而当时，取最小值，即有最小值， 所以满足条件的最小正整数为. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将式子同构得到，从而得到. 3．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的方程有两个根和，求证：． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值． (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （3）由（2）不妨令，，构造，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再构造，，利用导数说明，即可得证. 【详解】（1）因为，所以，则， 又， 故在处的切线方程为，即． （2）函数的定义域为，又， 令，解得；令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）由（2）不妨令，，， 构造，， 则，令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 构造，， ，令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减，， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导，然后分和两种情况讨论函数的单调性； （2）由已知先得到，两式相加相减可得和，令，代入，然后求导求其最小值. 【详解】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若，是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用两式一加，一减，然后令达到消元的目的， 常用的换元有等. 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. $$专题04 高二下学期期末真题精选 （常考10大题型，压轴7大题型） （人教A版2019选择性必修必修第二册第五章 一元函数的导数及其应） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义 · 题型二 借助导数解决切线问题（高频） · 题型三 已知某点的导数求参数值 · 题型四 导数的四则运算 · 题型五 公切线问题（难点） · 题型六 利用导数求函数（不含参）的单调区间（高频） · 题型七 由函数在区间上的单调性求参数 · 题型八 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（高频） · 题型九 函数的极值（极值点）问题（高频） · 题型十 函数的最值问题（高频） · 压轴一 利用切线解决距离问题 （难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题 （难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒成立问题（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的能成立问题（重点） · 压轴六 利用导数研究函数的零点方程的根（重点） · 压轴七 利用导数研究双变量问题（难点） 题型一、导数的定义 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 4．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 . 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若，则 . 题型二、借助导数解决切线问题 1（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， . 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程是 ． 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 题型三、已知某点的导数求参数值 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知函数，若，则（    ）． A． B． C． D．1 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 题型四、导数的四则运算 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列函数的求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五、公切线问题 1．（24-25高三上·山西运城·期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 题型六、利用导数求函数（不含参）的单调区间 1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 5．（23-24高二下·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 题型七、由函数在区间上的单调性求参数 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、利用导数讨论函数（含参）的单调区间 1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； 2．（23-24高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 3．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 5．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 题型九、函数的极值（极值点）问题 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 2．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 3．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 5．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 题型十、函数的最值问题 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·期末）函数的最大值是（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 4．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在处有极小值4． (1)求的解析式； (2)求在上的值域． 5．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 压轴一：利用切线解决距离问题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 压轴二：构造函数解决不等式问题 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知函数，其中，且为的导数. (1)若，且当时，恒成立，求的取值范围； (2)当时，设，若方程存在两个不同的实根，求证：. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（且）． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 3．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 4．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)证明：. 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 压轴三：构造函数比较大小 1．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建福州·期中）设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知函数. (1)当时，求证：的图象关于点对称； (2)若，，证明：； (3)若，恒有，求实数的取值范围. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数，. (1)求在点处的切线方程； (2)判断在区间上的零点个数，并说明理由； (3)若实数满足，，求实数的取值范围. 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 6．（24-25高三上·江苏·期末）设函数（，，）. (1)当时，求的最小值； (2)讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； (3)当时，都有，求实数a的取值集合. 压轴五：利用导数研究函数的能成立问题 1．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)当时，试判断的单调性； (2)若，且a的取值集合中恰有3个整数，求b的取值范围. 5．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 6．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围. 压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根 1．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 4．（24-25高三上·山东济南·期末）已知其中. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)判断方程解的个数，并说明理由. 5．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 6．（24-25高三上·河北·期末）已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 压轴七：利用导数研究双变量问题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东·期末）已知实数满足，则满足条件的最小正整数为（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的方程有两个根和，求证：． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． $$