专题02 高二下学期期末真题精选（考题猜想，压轴9大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02 高二下学期期末真题精选（压轴9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合综合（高频） · 题型二 涂色问题（难点） · 题型三 杨辉三角形（难点） · 题型四 条件概率与全概率公式（难点） · 题型五 二项分布与超几何分布（高频） · 题型六 正态分布（高频） · 题型七 概率与数列，导数交汇（难点） · 题型八 非线性回归拟合（难点） · 题型九 独立性检验与概率统计综合（重点） 题型一 排列组合综合 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南周口·期末）“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有 种. 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 5．（24-25高三上·广东·开学考试）如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ． 6．（23-24高二下·河北邢台·期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红． (1)求甲不同的观赏方案数； (2)若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数． 题型二 涂色问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．168种 C．192种 D．180种 3．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 4．（24-25高二下·天津河东·期中）如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法.    5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 题型三 杨辉三角形 1．（多选）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 2．（多选）（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 3．（多选）（24-25高二上·湖南长沙·期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 . 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 题型四 条件概率与全概率公式 1．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南许昌·期末）现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则 . 3．（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则 ． 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 7．（23-24高二下·浙江湖州·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点. (1)若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率； (2)为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：. 题型五 二项分布与超几何分布 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分． (1)若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量． （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）． 2．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 3．（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 4．（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 6．（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 题型六 正态分布 1．（24-25高三下·山东·期中）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 2．（2025·湖北武汉·二模）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 3．（多选）（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 4．（多选）（2025·湖南娄底·二模）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 5．（2025·江苏·二模）已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 6．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 7．（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 题型七 概率与数列，导数交汇 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）某台球选手采用如下方法进行障碍球训练：在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击球．如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被打进去为止．假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是． (1)记事件 “三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件 “第次击球打进红球”，事件 “第次击球打进黑球”，事件 “第次击球没打进球”，写出事件的样本空间中包含的所有基本事件，求的值； (2)记第次击球后5个球全部被打进的概率为，求的最大值． 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为，且各个零件的生产互不影响． (1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为． ①求p； ②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格品不会被误检成次品）． (2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有个次品的概率为，求函数最大值． 3．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． (1)若，求和； (2)若价值最大的产品是第件（），求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 4．（23-24高二下·河南信阳·期末）绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.    (1)求的分布列与期望； (2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 5．（23-24高二下·广东广州·期末）现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏． (1)将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列； (2)将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 6．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 7．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 题型八 非线性回归拟合 1．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t（分钟）和答对人数y的统计表格如下： 时间t（分钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7 时间t与答对人数y和的散点图如下： 附：，，，，，对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．请根据表格数据回答下列问题： (1)根据散点图判断，与哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果，建立y与的回归方程；（a，b或c，d的计算结果均保留到小数点后三位） (3)根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：，）． 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）某企业生产一种热销产品，产品日产量为吨，日销售额为万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量（单位：吨）和日销售额（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表： 15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9 其中，分别为数据的平均数. (1)请从样本相关系数的角度，判断与哪一个模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系？ (2)根据（1）的结果解决下列问题： （i）建立关于的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）； （ii）如果日产量（单位：吨）与日生产总成本（单位：万元）满足关系，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量为何值时，日利润最大？ 附：①相关系数； ②经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：. ③参考数据：. 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 题型九 独立性检验与概率统计综合 1．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 50 5 55 外地区网民 30 15 45 合计 80 20 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； (2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 2．（2025·河北沧州·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）北海舰队开放日活动中，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 45 女生 35 90 合计 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有关联，并说明理由； (2)现有根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束． （i）现在有4根绳子，求恰好能围成两个圈的概率； （ii）这n根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为，求． 附：    0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 4．（2025·江西鹰潭·一模）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 5．（2025·河北沧州·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 $$专题02 高二下学期期末真题精选（压轴9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合综合（高频） · 题型二 涂色问题（难点） · 题型三 杨辉三角形（难点） · 题型四 条件概率与全概率公式（难点） · 题型五 二项分布与超几何分布（高频） · 题型六 正态分布（高频） · 题型七 概率与数列，导数交汇（难点） · 题型八 非线性回归拟合（难点） · 题型九 独立性检验与概率统计综合（重点） 题型一 排列组合综合 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列数的计算、全排列问题 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    2．（24-25高三上·河南周口·期末）“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列的两个数字之和为8”的不同放法有 种. 【答案】64 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理 【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解. 【详解】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故答案为：64. 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ． 【答案】/0.1 【知识点】计算古典概型问题的概率、排列组合综合 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为13，乙抽取的两张卡片数字之和不为13，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从8张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为13，乙抽取的两张卡片数字之和不为13； 总的情况相当于从8张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为13的组合有；；；；；共6种情况； 当甲抽取的数字为；时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为；；；时， 要排除乙抽到或，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 5．（24-25高三上·广东·开学考试）如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ． 【答案】72 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】要使得每行、每列各三个向量的和为零向量，根据对称性，确定所在的行和列只能排， 再按分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 首先对的九宫格每个位置标注数字， 第一步先排，一共9个位置，因此有种排法， 根据对称性知，所在的行和列只能排， 不妨设在1位置， 第二步排2位置，则从选一个，因此有种排法， 则3位置的数也定下来了， 第三步排4位置，则从剩余的两个中挑一个，因此有种排法， 接着排7位置，7位置是中剩余的最后一个， 相当于所在的行和列都定下来了， 则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的， 因此按分步乘法计数原理知，（种） 因此共有72种排法， 故答案为：72. 6．（23-24高二下·河北邢台·期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红． (1)求甲不同的观赏方案数； (2)若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理 【分析】（1）根据甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，再将剩余5种月季花全排列，根据分步乘法原理可求得结果； （2）根据题意分两种情况：当黄从容在上午观赏时，红从容只能在下午观赏，另一种是当红从容在上午观赏时，黄从容只能在下午观赏，然后根据分类加法原理求解. 【详解】（1）甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，有种， 剩下5种月季花甲依次的方案有种， 所以由分步乘法原理可知甲不同的观赏方案数为种． （2）当黄从容在上午第一个观赏时，红从容地下午观赏，其余4种月季花在上午和下午可以任意选择， 所以方案有种， 当黄从容在上午第二或第三个观赏时，则上午第一个需从醉红颜、白佳人和金凤凰选一个，红从容在下午观赏， 其余3种月季花在上午和下午可以任选择，所以方案有， 所以由分类加法原理可知，上午安排黄从容，下午安排红从容的方案数为种， 同理当红从容在上午观赏，黄从容在下午观赏时，也有180种， 所以甲不同的观赏方案数为种. 题型二 涂色问题 1．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【知识点】排列组合综合、涂色问题 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．168种 C．192种 D．180种 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】分别讨论区域三，四，五和二，三区域的染色，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】先对区域三，四，五染色，有种方法， 若区域二和三同色，区域一可以有3种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二和五同色，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二与三、五颜色不同，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种. 综上，不同的染色方法有种. 故选：B 3．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【知识点】涂色问题 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 4．（24-25高二下·天津河东·期中）如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法.    【答案】1260 【知识点】涂色问题 【分析】分类讨论所涂区域所用的颜色种类，结合排列数、组合数分析求解即可. 【详解】若只用3种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时与的颜色相同，与的颜色相同，与的颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法； 若只用4种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时第4种颜色可以涂， 当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，与的颜色相同，有1种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，与或的颜色相同，有2种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法； 若用5种颜色，先涂，则有种不同的涂色方法， 此时第4和第5 种颜色可以涂， 当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法； 当涂时，则与或或的颜色相同，有种不同的涂色方法； 当涂时，则与的颜色相同，有种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法； 综上所述：共有种不同的涂色方法. 故答案为：1260. 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 【答案】396 【知识点】实际问题中的计数问题、涂色问题 【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解. 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 题型三 杨辉三角形 1．（多选）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 【答案】BCD 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由可得， ，故A错误； 对于B，第20行有21项，中间一项最大为，是第11个数，故B正确； 对于C，第行的第个数为，， ，故C正确； 对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为 ，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选）（23-24高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（    ） A．第2024行中，第1012个数最大 B．杨辉三角中第8行的各数之和为256 C．记第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 【答案】BC 【知识点】杨辉三角、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】利用的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出，再利用展开式的特征可判断C；利用可判断D. 【详解】对于A，因为杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数， 即，当为偶数时中间一项最大，因为， 所以中间一项最大，且为第个数最大，故A错误； 对于B，杨辉三角中第8行的各数之和为，故B正确； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为 ， 时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而， 所以只适用于，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用的展开式的二项式系数性质解题. 3．（多选）（24-25高二上·湖南长沙·期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【知识点】累加法求数列通项、杨辉三角、二项展开式的应用 【分析】A选项，由杨辉三角形的特征，可直接判断A错；B选项，由题意易知，根据累加法即可判断B正确；C选项，根据，可判断C正确；D选项，逆用二项展开式，得到 ，即可判断D正确. 【详解】A选项，第行的第个位置的数是，故A错； B选项，由题意可得，，， 则,，,......，， 以上各式相加得：， 因此，故B正确； C选项，由于，不妨设，令， 当时，，所以； 当时，，无正整数解； 当时，，当时，；当时，；而递增，从而，无正整数解； 当时，，当时，；而是第九行最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于， 所以当时，，70在杨辉三角中共出现了3次，故C正确； D选项，第行的第个数为，则， 因为 ， 所以.故D正确； 故选：BCD 4．（22-23高二下·河南郑州·期末）杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 . 【答案】35 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出3行，找出第11条斜线上的数，比较大小可得答案. 【详解】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1， 第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1， 第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1， 第11条斜线上的数为：1  9  28  35  15  1，所以最大的数是35. 故答案为：35 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【知识点】杨辉三角、求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 题型四 条件概率与全概率公式 1．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 2．（23-24高二下·河南许昌·期末）现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则 . 【答案】9 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形： 4白，取法数为：， 1红3白，取法数为：， 2红2白，取法数为：， 3红1白：取法数为：， 所以第四次取出的是白球的总情形数为： ， 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ， 当时，. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 3．（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式可得，即可根据全概率公式求解. 【详解】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁 (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算条件概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据频率分布直方图计算可得； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解. 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 7．（23-24高二下·浙江湖州·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点. (1)若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率； (2)为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：. 【答案】(1)0.82 (2)7 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，节点收到信号1的概率，则，求得，结合对数的运算，即可求解. 【详解】（1）解：记“节点收到信号1”，“节点收到信号”， 则， 且. ， 所以节点2收到信号1的概率为. （2）解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率： 记，则， 则， 即， 构造得，又， 所以， 即节点收到信号1的概率为. 由，得， 两边取以10为底的对数，， 所以，即的最大值为7. 题型五 二项分布与超几何分布 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分． (1)若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量． （i）求； （ii）求使得取最大值时的整数； (2)若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）． 【答案】【小题1】（i）；（ii） 【小题2】小明选择单选B或单选D的得分期望最大，最大值为分. 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）易知X服从二项分布，据此计算；（ii）结合先增大后减少的性质，列出不等式解得k的值或范围； （2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． （ii）因为． ． 令，解得，所以当时，最大， 此时． （2）由题知，选项不能同时选择，故小明可以选择单选、双选和三选． 正确答案是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为． 正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为． 若小明做出的决策是单选，则: （分）， （分）， 若小明做出的决策是双选，则 （分）， （分）． 若小明做出的决策是三选，则 （分）． 经比较，小明选择单选B或单选D的得分期望最大，最大值为分. 【点睛】方法点睛： 根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案. 2．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在中抽4人，在中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望； （2）由全概率公式，即可求解； （3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题. 【详解】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. （2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. （3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为， 由题意可知，， 所以，令， 则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 3．（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，30 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、超几何分布的分布列、由频率分布直方图估计中位数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解； （2）根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，从而得到的所有可能取值，再利用超几何分布的分布列即可得解； （3）利用二项分布得到，再利用作商法判断出当时，最大，从而得解. 【详解】（1）果径的频率为， 果径的频率为. 故果径的中位数在，不妨设为， 则，解得， 所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为. （2）果径的频率之比为， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. （3）依题意知，这批果实中一级果的概率， 每个果实相互独立，则， 则， 令，解得， 故当时，， 即； 当时，， 即， 所以，即一级果的个数最有可能为30个. 【点睛】方法点睛：求二项分布中的最大值，一般有作差法与作商法，构建不等式组两种方法，但从解题便捷的角度，作商法会更容易点. 4．（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）分析可得比赛局数为或，求出比赛局数为的概率，即可得解； （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件，求出、，再由条件概率公式计算可得； （3）依题意可得，令，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）依题意比赛局数为或， 又比赛局数为的概率， 比赛局数为的概率， （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件， 则， ， 所以. （3）依题意， 所以，且， 令，即， 即，解得， 又，所以. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 【答案】(1) (2)12 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）求解答对2、3题的概率可得每人晋级的概率，再根据二项分布的数学期望求解即可； （2）根据二项分布公式，结合取得最大值则满足，列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，晋级需要答对2题或3题， 答对2题的概率. 答对3题的概率. 故每人晋级的概率为. 故. （2）由（1）可得，每人晋级的概率均为， 故， 则，， 当时，取得最大值则满足， 即， 故，即， 故，即，解得， 又，故，即取得最大值时k的取值为12. 6．（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)89 (2)分布列见详解； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、总体百分位数的估计、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 题型六 正态分布 1．（24-25高三下·山东·期中）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 2．（2025·湖北武汉·二模）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【知识点】判断或证明函数的对称性、指定区间的概率 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（多选）（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 【答案】ABD 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【分析】根据数学成绩服从正态分布，可得，利用正态分布的对称性，结合选项中结论的实际意义，即可判断各选项正误. 【详解】A： 因为1000名学生的数学成绩服从正态分布，， 所以 ， 即成绩在内的人数约人，故A正确； B：该校学生成绩的标准差为标准差 ，故B正确； C： ， ， ，因为90分为及格线，所以及格率小于，故C不正确； D：  因为成绩服从正态分布，，所以， 即 ，因为120分为优秀线，所以成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等，故D正确 故选：ABD. 4．（多选）（2025·湖南娄底·二模）化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（   ） A． B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C． D． 【答案】AC 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小. 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误； 故C正确; 而对于任何正态分布都有 故，故D错误. 故选：AC. 5．（2025·江苏·二模）已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据二项分布写出概率再结合独立事件概率乘积公式计算即可；根据概率求和结果倒序相加计算求解. 【详解】，， . 并利用， 记原式， 倒序相加. 故答案为：. 6．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、特殊区间的概率 【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值. （2）先根据分层随机抽样确定抽取的10人中成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望. （3）先根据正态分布的参数求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数. 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，将其代入，可得，即，解得. 把代入，可得. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 7．（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）0.498；（ii）0.15865 【知识点】求回归直线方程、正态分布的实际应用、超几何分布的均值 【分析】（1）根据超几何分布的分布列与数学期望计算即可； （2）（i）两边取对数，得，再求经验回归方程即可； （ii）由（i）及提供的参考数据可知，再由正态分布的性质求解即可. 【详解】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且，． X 0 1 2 3 P . （2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程．其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498． （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865． 题型七 概率与数列，导数交汇 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）某台球选手采用如下方法进行障碍球训练：在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击球．如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被打进去为止．假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是． (1)记事件 “三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件 “第次击球打进红球”，事件 “第次击球打进黑球”，事件 “第次击球没打进球”，写出事件的样本空间中包含的所有基本事件，求的值； (2)记第次击球后5个球全部被打进的概率为，求的最大值． 【答案】(1)所有的基本事件为， (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）使用基本事件和全概率公式求解； （2）利用作差法判断单调性，再确定最大项. 【详解】（1）显然包含的所有的基本事件为全体. 故 . （2）显然，且对有. 这就说明对都有，从而. 所以在和时取到最大值. 所以的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用作差法判断数列单调性. 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为，且各个零件的生产互不影响． (1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为． ①求p； ②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格品不会被误检成次品）． (2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有个次品的概率为，求函数最大值． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、计算条件概率 【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率； （2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，得到当时，取得最大值，代入即可求得. 【详解】（1）①因为两道生产工序互不影响， 所以． ②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 且， 则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为． （2）因为各个芯片的生产互不影响，所以， 所以， 令，得，又，则， 所以当时，为单调增函数， 当时，为单调减函数， 所以，当时，取得最大值， 则最大值为. 3．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． (1)若，求和； (2)若价值最大的产品是第件（），求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为，此时 【知识点】计算古典概型问题的概率、由导数求函数的最值（不含参）、计数原理与概率综合、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意直接求，根据同学乙的选法规则，结合排列问题，即可求解； （2）根据题意，结合排列，组合问题，以及古典概型概率公式，即可求解； （3）根据（2）的结果，以及全概率公式求，再构造函数，利用导数求函数的最值. 【详解】（1）由题意可知，， 依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况： 最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个， 其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率 （2）法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法， 先从件产品中挑件产品出来， 其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列， 即； 法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品， 只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即； （3）记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则， 由全概率公式可知，， 当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时, 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时， 此时， 令，，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同学乙的选法规则，利用排列，组合，解决概率问题. 4．（23-24高二下·河南信阳·期末）绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.    (1)求的分布列与期望； (2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由定义判定等比数列、求离散型随机变量的均值、涂色问题 【分析】（1）分别计算种两种、三种、四种花卉的种植方法，得到总共的种植方法，再进一步得到概率、分布列、数学期望； （2）利用分步乘法计数原理，第一步先给中间的涂色有5种方式，第二步中，每个区域都不能与同色，进而有个区域，有4种花卉可选，共有种方式，要保证与不同色，进而得到与的递推关系，转化为数列问题，构造等比数列得到，再结合第一步得到答案. 【详解】（1）的所有可能值为2，3，4. 若种两种花卉，则种植方法有； 若种三种花卖，则种植方法有； 若种四种花卉，则种植方法有； 所有的种植方法有. 所以，，， 所以的分布列为 2 3 4 的期望. （2）分两步， 第一步种植区域，有种种植方法； 第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种. 显然，； 当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），所以共有种种植方法， 其中包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，则共有个区域，即种种植方法， 所以，可得， 所以，数列是以为公比的等比数列，又， 所以，，. 又，，也适合上式， 所以，当时，. 由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，. 5．（23-24高二下·广东广州·期末）现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏． (1)将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列； (2)将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【知识点】构造法求数列通项、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）通过已知概率求出的可取值，再分别求出概率，即可列出分布列． （2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可． 【详解】（1）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，． 可取0，1，2，3． 由事件相互独立，则． ． ． ． 故分布列为： 0 1 2 3 （2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜． 现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币． 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，． 举两个例子： 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，； 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况： ①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上； ②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上． 故． 故当时，有， （第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数； 第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）． 故． 即，即，． 记，则，， 故数列为首项是，公差为的等差数列，故， 则，故，，2，3，，，则，故公平． 【点睛】关键点点睛：当时，有，化简得到，．记，则，，故数列为首项是，公差为的等差数列．这一步是解题的关键. 6．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)答案见解析. 【知识点】独立事件的乘法公式、写出等比数列的通项公式、互斥事件的概率加法公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）分析出两次传球后球在甲手中的事件含有的基本事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）由第n次传球后球在甲手中的事件发生，必有第次传球后球不在甲手中的，得即可推理得证. （3）设设第n次传球后球在甲乙丙丁手中的概率分别为，由题意推理计算得它们的通项，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲， 所以传球2次后球在甲手中的概率为. （2）设第n次传球后球在甲手中的概率为， 则当时，第次传球后球在甲手中的概率为，第次传球后球不在甲手中的概率为， 显然，若要第n次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不能在甲手中， 无论此时球在乙或丙的手中，传给甲的概率都是，则有，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，，即. （3）设第n次传球后球在甲手中的概率，球在乙手中的概率， 球在丙手中的概率,则球在丁手中的概率， 则有， ，， ，， 于是，且，又， 则是以为首项，为公比的等比数列，， 又于是， 而，且有， 于是，又，则， 若为奇数，则，此时， 若为偶数，则，此时. 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， ①若，采用累加法； ②若，采用累乘法； ③若，可利用构造进行求解； 7．（23-24高二下·福建泉州·期中）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． (1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列； (2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 【答案】(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii），2天 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、写出等比数列的通项公式、乘法公式 【分析】（1）随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6，再分别计算概率即可得分布列； （2）（i）分别分析前后两天选择的情况，再分情况求概率即可； （ii）设甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，再根据题意得出递推公式，进而可得通项公式，再根据题意可得，代入通项公式分析即可. 【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为， 随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3，4，5，6， ，， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 6 P （2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为， 则后一天选择“单车自由行”的概率为， （i）甲第二天选择“单车自由行”的概率． （ii）甲第n（n＝1，2，…，16）天选择“单车自由行”的概率Pn，有， ，， 又， ∴数列是以为首项，以公比的等比数列， ， 由题意知，，即，， 即， 显然n必为奇数，当n＝1，3，5，…，15时，有即可， n＝1时，成立；n＝3时，成立； n＝5时，，则n＝5时，不成立， n＞5时，不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． 题型八 非线性回归拟合 1．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【知识点】相关指数的计算及分析、非线性回归 【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，， (2)（i）0.778；（ii） 【知识点】非线性回归、计算条件概率、根据回归方程进行数据估计、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. （2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t（分钟）和答对人数y的统计表格如下： 时间t（分钟） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 0.7 时间t与答对人数y和的散点图如下： 附：，，，，，对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．请根据表格数据回答下列问题： (1)根据散点图判断，与哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果，建立y与的回归方程；（a，b或c，d的计算结果均保留到小数点后三位） (3)根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：，）． 【答案】(1)更适宜作为线性回归类型； (2)； (3)19分钟. 【知识点】根据回归方程进行数据估计、非线性回归、求回归直线方程、根据散点图判断是否线性相关 【分析】（1）根据给定的两个散点图即可得答案. （2）先求得的线性回归方程，再将对数式化为指数式即得与的回归方程. （3)）解不等式 即可得答案. 【详解】（1）观察两个散点图知，更适宜作为线性回归类型. （2）依题意，，， 由（1）知，，根据最小二乘法得： ， ，于是， 因此y与的回归方程. （3）依题意，，即，则， 而，于是，解得， 所以要想答对人数不少于75人，至多间隔19分钟需要重新记忆一遍. 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）某企业生产一种热销产品，产品日产量为吨，日销售额为万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量（单位：吨）和日销售额（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表： 15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9 其中，分别为数据的平均数. (1)请从样本相关系数的角度，判断与哪一个模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系？ (2)根据（1）的结果解决下列问题： （i）建立关于的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）； （ii）如果日产量（单位：吨）与日生产总成本（单位：万元）满足关系，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量为何值时，日利润最大？ 附：①相关系数； ②经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：. ③参考数据：. 【答案】(1)模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系 (2)（i）；（ii）20 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、非线性回归、相关系数的计算 【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii）求出的解析式，结合导数研究的单调性，即可求解. 【详解】（1）设模型的相关系数为，设模型的相关系数为， 所以， ， 由于，所以模型拟合更好，即模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系 （2）（i）由(1)知关于的经验回归方程为， 由题可得：， ， 所以 （ii）由题可得， 所以， 令解得： 当时，，当时， 则的单调增区间为，单调减区间为， 所以当时，日利润最大 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 【答案】(1) (2)，40 (3)分布列见解析， 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程； （2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； （3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望. 【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型. （2）设，变换后可得， 设，建立w关于x的回归方程， ， 所以 所以w关于x的回归方程为， 所以， 当时，， 即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87. （3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50， 故x的可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为 0 1 2 . 题型九 独立性检验与概率统计综合 1．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 50 5 55 外地区网民 30 15 45 合计 80 20 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； (2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关 (2) 【知识点】卡方的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据列联表信息，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解. 【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联， 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联. （2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率， 可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为， 则，记，， 则， 则问题等价于求当取何值时取最大值， 因为，， 又， 所以当时，； 当时，； 当时，； 所以， ， 所以当时，取最大值， 即使事件“”的概率取最大值的的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，借助参数，，简化了计算，从而得解. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算条件概率、卡方的计算、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）北海舰队开放日活动中，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 45 女生 35 90 合计 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有关联，并说明理由； (2)现有根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束． （i）现在有4根绳子，求恰好能围成两个圈的概率； （ii）这n根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为，求． 附：    0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)（i）；（ii）. 【知识点】错位相减法求和、卡方的计算、计算古典概型问题的概率、累乘法求数列通项 【分析】（1）补充列联表，再计算卡方值即可； （2）（i）利用组合公式和古典概型公式计算即可； （ii）利用累乘法得，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）女生打结慢有人，男生总计人， 男生打结快共， 补充列联表 性别 绳子打结速度 合计 快 慢 男生 65 45 110 女生 35 55 90 合计 100 100 200 零假设：绳子打结速度快慢与学生性別无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为绳子打结速度快慢与学生性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）（i）4根绳子所有的打结方式共有种， 围成2圈的情况共有种， 恰好能围成两个圈的概率. （ii），， ， 当时，也适合上式， ， ，① ②， ①②整理得， ， . 4．（2025·江西鹰潭·一模）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)接种该疫苗与预防该疾病有关. (2) (3)分布列见解析，. 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）由题意确定，进而可求解； 【详解】（1）根据列联表可得 ， 所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关. （2）由于. 所以，， , 由列联表中的数据可得，，所以. （3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为， 则由题意可知，且， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 5．（2025·河北沧州·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，推断犯错误的概率不大于0.001 (2)（i）；（ii）12 【知识点】独立性检验解决实际问题、二项分布的均值、完善列联表 【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可； (2)（i）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；（ii）写出的表达式，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，，所以； （ii）依题意，，， 若最大，则， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为12. $$