专题01 高二下学期期末真题精选（考题猜想，常考19大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01 高二下学期期末真题精选（常考19大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两个计数原理综合（高频） · 题型二 排列数与组合数的计算（易错） · 题型三 组合数的性质应用（易错） · 题型四 相邻与不相邻问题（高频） · 题型五 特殊元素（位置）优先 · 题型六 间接法（高频） · 题型七 分配问题（难点） · 题型八 涂色问题（难点） · 题型九 二项展开式的第项（高频） · 题型十 二项式系数（和）（重点） · 题型十一 系数和，系数最值 （易错） · 题型十二 两个二项展开式，三项展开式系数问题 （高频,难点） · 题型十三 条件概率（难点） · 题型十四 全概率公式和贝叶斯公式（难点） · 题型十五 二项分布和超几何分布（难点） · 题型十六 正态分布（难点） · 题型十七 一元线性回归模型 · 题型十八 相关系数（难点） · 题型十九 独立性检验（易错） 题型一 两个计数原理综合 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法， 小强和小红各有5种选课方法， 所以不同的选课方法共有种. 故选：C. 2．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法， 故共有种选课方法. 故选：C. 3．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 故选：D. 4．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理 【分析】先根据百分位数是5得出5的位置，在分类讨论应用加法原理计算即可. 【详解】因为，所以6个数从小到大排列第4个数为5， 所以3个数比5小，2个数比5大， 当比5大的数是6，8时，则比5小的3个数必须有两个奇数1，3，则有2种取法； 当比5大的数是6，7时，则比5小的3个数必须有1个奇数1或3，则有2种取法； 当比5大的数是7，8时，则比5小的3个数必须有1个奇数1或3，则有2种取法； 选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有种. 故选：D. 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 【答案】90种 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 题型二 排列数与组合数的计算 1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）对于满足的任意正整数，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式即可判断. 【详解】易得， 故选：D. 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算. 【详解】由得， 解得 故选：B. 4．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】排列数的计算、组合数的性质及应用 【分析】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD. 【详解】由组合数性质可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B 5．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、排列数的计算 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高二下·福建南平·期末）若，则n的值可能为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】BC 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值. 【详解】依题意，，因此， 所以或. 故选：BC 题型三 组合数的性质应用 1．（23-24高二下·河南三门峡·期末）计算（    ） A．34 B．35 C．68 D．70 【答案】A 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数公式及其性质求解即可. 【详解】由组合数性质得 故选：A. 2．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，， 因为，所以， 所以，得. 故选：C. 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得. 【详解】由. 故选：C. 4．（多选）（23-24高二上·江西·期末）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】AC 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数性质求解即可. 【详解】由组合数性质知，或，所以，或， 都满足且． 故选：AC． 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）若   则n= . 【答案】4或6 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】由，可得或， 解得或.经检验成立 故答案为：或. 题型四 相邻与不相邻问题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 3．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】C 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 4．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可. 【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序. 根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序. 故选：C. 5．（多选）（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 6．（23-24高二下·新疆喀什·期末）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)1440 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解； （2）利用插空法，结合排列组合知识求解. 【详解】（1）将甲乙看作一个整体，相当于有6个元素（甲乙整体、其他5人）进行排列有， 甲乙内部有2种排列方式，有分步乘法计数原理可得； （2）先安排4名男生站成一排，有种排法，由于要求3名女生互不相邻， 因此女生只能站在男生之间的空隙中有 因此由分步乘法计数原理可得. 题型五 特殊元素（位置）优先 1．（23-24高二下·广东广州·期末）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（   ） A．42 B．72 C．78 D．96 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分甲值第五天与甲不值第五天两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】若甲值第五天，则有种不同安排方法； 若甲不值第五天，则甲有种安排方法，乙有种安排方法，其余人全排列即可， 故有种不同安排方法； 综上可得一共有种不同安排方法. 故选：C 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余6人即可. 【详解】分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；剩下6名同学任选3人，且任意排序，共有种，所以一共有种， 故选：D. 3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（    ） A．24 B．36 C．54 D．60 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名， 所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法， 所以5人的名次排列有种方法. 故选：C 4．（23-24高二下·浙江台州·期末）甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】分两种情况，甲、乙两人站前排和甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分类加法原理可求解. 【详解】分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有种排法， 当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有种排法， 综上，共有种排法. 故选：C 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有 【答案】36 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解. 【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列， 所以甲乙都不站两端的不同站法共有种. 故答案为：. 题型六 间接法 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．12 B．18 C．22 D．24 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先计算出集合中元素个数，再计算出集合中满足的元素个数，两者相减即可得. 【详解】集合中元素个数共有个， 若，则有， 则可能，共1种； 或，或，共2种； 或，或，共2种； 故集合中满足的元素的个数为. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先求出所有可能的选课方法总数，再求出没有人选择乒乓球的选课方法数，作差即可求解. 【详解】甲乙两位同学每人从乒乓球、羽毛球和篮球三门课中选择一门，共有种选课方法， 甲乙两位同学都未选乒乓球，共有种选课方法， 则甲乙两位同学至少有一位同学选择了乒乓球，不同的选课方法共有种. 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【知识点】排列数的计算、排列的意义理解 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】B 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 5．（22-23高二下·山东青岛·期末）2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种． 【答案】14 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，有种安排方法， ②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况， 则有种安排方法，     故答案为：14 题型七 分配问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（   ） A．540 B．630 C．1080 D．1260 【答案】A 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据排列组合中的分组分配问题求解即可. 【详解】将6个不同的小球按要求放有三种方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2， 则所有的放法有种. 故选:A. 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲、乙等6名志愿者到两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（    ） A．14 B．20 C．28 D．40 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者. 【详解】先安排甲乙两人，有种方法； 再安排其余4名志愿者有两类方法，共有种方法， 根据分步计数原理可得共有种方法. 故选：C 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（   ） A．240种 B．150种 C．120种 D．60种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】先将人分为组，再分配到三个学校去即可. 【详解】人数分配上有和两种情况， 当为时，不同的派出方法有种， 当为时，不同的派出方法有种， 所以不同的派出方法有种. 故选：B. 4．（多选）（23-24高二上·福建漳州·期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．共有14种安排方法 C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法 【答案】AB 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】根据排列、组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确. B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法； 按去，展馆参展有种方法； 因此不同的安排方法种数是，正确. C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法， 若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法， 若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误. D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法， 若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法， 则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误. 故选：AB 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】50 【知识点】分组分配问题 【分析】将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进行分配即可求得答案. 【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 题型八 涂色问题 1．（23-24高二下·广东佛山·期末）如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域重新种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能种同一种颜色的花，则共有（    ）种不同的种植方案.    A．36 B．48 C．72 D．84 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、涂色问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】考虑选用两种颜色的花，三种颜色的花，四种颜色的花，利用排列组合知识求出答案后相加即可. 【详解】若选用两种颜色的花，则有种选择，选择的两种颜色的花种在对角位置，有两种选择，故共有种选择， 若选用三种颜色的花，则有种选择，必有一个对角位置使用同种颜色的花，先选择一个对角，再从三种颜色的花中选择一种，有种选择， 另外的对角位置选择不同位置的花，有种选择，共有种选择， 若选用四种颜色的花，则有种选择， 综上：共有种选择. 故选：D 2．（23-24高三上·江苏扬州·期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）． A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【知识点】涂色问题、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原理可得结果. 【详解】按照使用了多少种颜色分三类计数： 第一类：使用种颜色，有种； 第二类：使用种颜色，必有块区域同色，有种； 第三类：使用种颜色，必然是与同色，且与同色，有种， 所以不同的信号总数为种. 故选：B 3．（23-24高二下·江苏盐城·期末）给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．24 B．72 C．96 D．144 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】 可按分步原理求解本题，第一步涂有四种方法，第二步涂有三种方法，第三步涂有二种涂法，第四步涂时分两类，若与同色与不同色，即可得出涂法总数选出正确答案． 【详解】 由题意，第一步涂有四种方法，第二步涂有三种方法，第三步涂有二种涂法，第四步涂，若与同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若与同色，最后一步涂有2种涂法，若第四步涂，与不同，则涂第四种颜色，此时，各有一种涂法 综上，总的涂法种数是． 故选：C． 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）用5种不同的颜色对如图所示的，，区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有 种不同的着色方法．（用数字作答）    【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、涂色问题 【分析】按和区域着色是否相同分类讨论，再利用加法原理求解. 【详解】若和区域着色相同时，有种不同的着色方法； 若和区域着色不相同时，有种不同的着色方法； 所以三块区域不同的着色方法有种， 故答案为：. 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有 涂法（用数字作答）． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、涂色问题 【分析】分析可知区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，则剩余三个区域中有两个不相邻的区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，利用组合计数原理以及分步乘法、分类加法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知，区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色， （1）若区域①③⑤或区域②④⑥涂一种颜色， 则剩余三个区域中有两个区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色， 因此，不同的涂色种数为种； （2）若区域①③⑥涂同一种颜色，则区域④⑤涂剩余的两种颜色，区域②和区域①③所涂颜色不同， 此时，不同的涂色种数为种； （3）若区域①④⑥涂同一种颜色则区域②③涂剩余的两种颜色，区域⑤和区域④⑥所涂颜色不同， 此时，不同的涂色种数为种. 综上所述，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 题型九 二项展开式的第项 1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项. 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：D 2．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】由二项式系数之和求出n，根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数之和为256，所以，得， 的展开式的通项， 令，得. 故选：A 3．（23-24高二下·湖南郴州·期末）若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数、总体百分位数的估计 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 4．（23-24高二下·吉林·期末）已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数 【分析】（1）依题意可得，即可得解； （2）写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（其中且）， 依题意可得，解得； （2）二项式展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，即展开式中含的项为. 5．（23-24高二下·福建南平·期末）已知的展开式中，二项式系数和为64． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)4096； (2). 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和. （2）求出展开式的通项公式，再求出指定项. 【详解】（1）由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得， 所以展开式中各项系数的和为. （2）展开式的通项公式， 令，得，所以展开式中含的项为. 题型十 二项式系数（和） 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 2．（22-23高二下·湖北武汉·期末）展开式中第4项的二项式系数为（    ） A． B．1120 C．56 D．70 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解. 【详解】展开式中第4项的二项式系数为. 故选：C. 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以n＝8， 二项展开式的通项为， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 4．（23-24高二下·四川达州·期末）的展开式中项的二项式系数是 （用数字作答）． 【答案】 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，有，即展开式中项的二项式系数是. 故答案为：. 5．（23-24高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是 ． 【答案】 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、二项式的系数和 【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】在二项式的展开式中，令， 得，， 即，， 解得，， 所以二项式系数和为． 故答案为：16. 题型十一 系数和，系数最值 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知二项式，且其二项式系数之和为64． (1)求和的值； (2)求． 【答案】(1)，各项系数和为 (2) 【知识点】二项展开式各项的系数和、简单复合函数的导数 【分析】（1）利用二项式系数之和得，再用赋值法计算出结果； （2）对二项式两边求导，再利用赋值法解出答案； 【详解】（1）二项式系数之和，则， 令，则． （2）对二项式两边求导，． 令，则， 故． 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)8 (2)255 【知识点】组合数方程和不等式、二项展开式各项的系数和、排列数方程和不等式 【分析】（1）先得到且，利用排列和组合公式列出方程，求出； （2）赋值法求出，，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得且，故且， ， 故，解得； （2）中， 令，得， 令，得， 故. 3．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】用换元法，将复杂的形式转化为简单的形式，后用二项式定理的相关知识结合赋值解题即可. 【详解】（1），则，原式化为， 令 （2）, 令，,则 又令 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 【答案】(1)11 (2) 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）根据二项式定理得到通项，从而得到方程，求出； （2）令和，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故， 所以，解得； （2）由（1）中通项公式可得大于0，小于0， 在中，令得， ， 令得，故， 故. 5．（22-23高二下·河北沧州·期末）已知展开式的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数们比是． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大项的系数． 【答案】(1) (2)7 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由求出，再求出展开式的通项，令即可求出展开式中含的项； （2）设展开式中的第项的系数最大，则有，解不等式可求出的范围，即可求出展开式中系数最大项的系数． 【详解】（1）由已知得， 则， 则，即， 解得或（舍去）． 设展开式中含的项为第项，则， 令，则，故展开式中含的项为． （2）设展开式中的第项的系数最大，则有 ，可得， 即，即，解得：， 故展开式中系数最大项的系数为． 6．（22-23高二下·江苏南通·期末）已知. (1)若，分别求出，，的值； (2)求的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)-64，-1， (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用展开式的通项公式求解，利用赋值法求解，由求导，再利用赋值法求解； （2）由的展开式的通项公式为，设第r+1项为系数最大，由求解. 【详解】（1）解：由， 二项式的展开式的通项公式为， 则，令，得， 令，得，所以， 由，求导得： ， 令，得； （2）的展开式的通项公式为， 设第r+1项为系数最大， 则，即， 解得，则， 所以的展开式中系数最大的项是. 7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知，是正整数，的展开式中的系数为15. (1)求展开式中的系数的最小值； (2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求. 【答案】(1)49 (2) 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）根据题意得，从而可得，结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）可得，从而可得，令，求得，从而问题可解. 【详解】（1）根据题意得，即，所以， 所以展开式中的的系数为， 故当或时，的系数的最小值为49. （2）由（1）知，则，， 因为的展开式的通项为， 令（*）即，因为，所以. 因为成立，所以， 所以. 题型十二 两个二项展开式，三项展开式系数问题 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可. 【详解】由题知，的展开式的通项为， 又的展开式的通项为，， 所以的展开式的通项为， 令，则， 所以含的项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 综上，的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解. 【详解】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求得展开式的通项公式，分别令，结合题意，即可求得答案 【详解】因为展开式通项，， 所以展开式为 故选：A. 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】分别求展开式中含项的系数以及含项的系数，进而可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的展开式中含项为， 的展开式中含项的系数5. 故选：A. 5．（多选）（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 6．（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 . 【答案】140 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】分析可知只能为1项、3项和3项相乘而得，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得， 所以的系数为. 故答案为：140. 题型十三 条件概率 1．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题、计算条件概率 【分析】应用排列数及条件概率公式求条件概率即可. 【详解】记“数字1，3相邻”为事件A，“数字2，4也相邻”为事件B， 则，所以． 故选：B 3．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 4．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）设为两个随机事件，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据条件概率公式可得，进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解. 【详解】由条件概率可得 所以，， 所以， 故选：B 5．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 题型十四 全概率公式和贝叶斯公式 1．（23-24高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. (1)求； (2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式列出方程，求出； （2）利用条件概率求出答案. 【详解】（1）记事件A：任取一件产品是次品，记事件：第批的产品，.2. 则，，，， 由，解得. （2）. 已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率. 2．（22-23高二上·河南驻马店·期末）代号为01，02，03的三人同时对某一飞行目标进行射击，三人击中的概率分别为0.5，0.6，0.7．若目标被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被2人击中，则被击落的概率是0.4；若被三人击中，则目标被击落的概率是0.9． (1)求目标被2人击中的概率； (2)求目标被击落的概率． 【答案】(1)0.44 (2)0.423 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件表示“目标被人击中”，事件表示“目标被第人击中”，结合独立事件、互斥事件概率公式运算求解； （2）记事件A表示“目标被击落”， 结合独立事件、互斥事件概率公式运算求解，进而根据全概率公式运算求解. 【详解】（1）设事件表示“目标被人击中”，事件表示“目标被第人击中”， 由题意可知：， 可得， 所以 . （2）记事件A表示“目标被击落”，则，，，构成样本空间的一个划分， ， ， ， 由题意可得：，，，， 根据全概率公式可得 . 3．（22-23高二下·山东滨州·期末）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛． 在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可． 【详解】（1）设“甲至少有两轮获胜”为事件， 则． （2）设“选中甲与机器人比赛”为事件，“选中乙与机器人比赛”为事件，“战胜机器人”为事件， 根据题意得，，， 由全概率公式得 ． 所以战胜机器人的概率为． 4．（22-23高二下·河南驻马店·期末）三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3. (1)求任意取出1个零件是废品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率. 【答案】(1)0.045 (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）设事件表示“零件取自第台车床”，事件表示“取到零件为废品”， 因此，，构成样本空间的一个划分. 根据条件则： ，， ，， 根据全概率公式可得 （2）如果任意取出的1个零件是废品，它是第二台车床加工的概率. 又因为. 根据条件概率的求解公式 ，即为所求. 5．（22-23高二下·河南信阳·期末）芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%． (1)求任取一个芯片是正品的概率； (2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率． 【答案】(1)0.987 (2)概率分别为，， 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）应用贝叶斯公式计算可得结果. 【详解】（1）记事件A：机器生产的芯片为次品，记事件：第i台机器生产的芯片，则，， ，，， ． ． 即任取一个芯片是正品的概率0.987． （2）； ； ． 故如果取到的芯片是次品，是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率分别为，，． 6．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求： (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）由题设可知，，，，且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 题型十五 二项分布和超几何分布 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”正式被列入《世界遗产名录》.某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线—故宫探游”研学活动.游览规划：如图，第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续游览，最终在御花园集合，活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立. (1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率； (2)记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一､二阶段都选路线①的人数为，求的期望，方差； (3)记班级内在第一､二阶段都选择路线①的人数为的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率、二项分布的均值 【分析】（1）设“甲同学在第一阶段选择路线”，，“甲同学在第二阶段选择路线①”，根据全概率公式求解； （2）根据题意，服从二项分布，由二项分布的期望、方差公式求解； （3）的可能取值为，且，列不等式求其最大值. 【详解】（1）设“甲同学在第一阶段选择路线”，， “甲同学在第二阶段选择路线①”， 则， 所以； （2）记“每位同学第一､第二两阶段都选择路线①”， 则， 因为路线选择是相互独立的，所以服从二项分布， 所以期望， 方差. （3）的可能取值为，此时. 所以， 则， 故， 解得，又， 所以当时，取最大值. 2．（24-25高三上·宁夏银川·期末）随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2． (1)①求居民甲至少更换一种电器的概率； ②居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； ③居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙，丙，丁，戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差． 【答案】(1)① ；②；③ (2)分布列见解析；， 【知识点】计算条件概率、建立二项分布模型解决实际问题、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据条件概率的计算公式求值. （2）判断的分布列模型，求出分布列即可. 【详解】（1）设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”， 因为， 至少更换一种电器的概率 由得更换洗衣机且更换电视机的概率. 则在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率. （2）由题意，服从二项分布. 所以．则分布列为， 所以：，. 3．（23-24高二下·贵州黔南·期末）转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【分析】（1）由表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且，得出变量可能的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，结合表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”． 设从以上选手甲十轮游戏中任选两轮，这两轮均"稳定发挥"为事件， 则． （2）解：甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且， 其中随机变量可能的取值为， 则， 所以变量的分布列为 X 0 1 2 3 则变量X的数学期望为． 4．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得的期望 （3）根据独立重复试验概率计算公式列不等式，由此求得最有可能的位置坐标. 【详解】（1） （2）依题意可知，所以. （3）设质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标为， 则， 即， 解得， 故所求位置坐标为或. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）利用全概率公式可求出结果； （2）由题意，根据二项分布的概率公式及方差公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示“随机抽取一件新产品，来自设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品，来设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品为合格品”， 因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，， ，， 所以由全概率公式得 ， 所以所抽产品为合格品的概率为. （2）表示抽取合格品的件数，的可能取值为，则由题意， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以，. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置. (1)当时，求，； (2)当时，求随机变量X的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析，期望为. 【知识点】利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）根据二项分布的特点即可计算相关概率值； （2）首先分析出的所有可能取值为，再按步骤写出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）当时，质点所能到达的位置必满足且为偶数， 若“”则表示四次移动中向右1次，向左3次， 因此. . （2）当时，质点所能到达的位置必满足且为奇数， 因此随机变量的所有可能取值为， 因此随机变量的分布列为 ， ， ， ， ， ， 因此随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望为 . 7．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)分布列见解析，，． (3)应选择方案一的抽奖方式，理由见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差； （2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差， （3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案. 【详解】（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为， ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． （2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为． 则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，． （3）因为，， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 8．（23-24高二下·湖北·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． (1)估计 ，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由） (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 【答案】(1)班 (2)分布列见解析， (3)来自班的概率为，来自班的概率为 【知识点】计算条件概率、超几何分布的分布列、总体百分位数的估计、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据两个班级的成绩箱型图分析可得； （2）依题意的可能取值为，，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】（1）由两个班级的成绩箱型图可知， 班的上四分位数与班的中位数一致均为， 且班的下四分位数大于班的下四分位数，班的最小值也大于班的最小值， 所以班的平均分一定大于班的平均分； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以. （3）设事件“该同学来自班”，事件“该同学的分数高于分”， 所以， 所以 ， 所以， ， 所以该同学来自班的概率为，来自班的概率为. 题型十六 正态分布 1．（22-23高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)0.1359. 【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【详解】（1）依题设，，而，则，解得， 所以，. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 则，， 由，则， 因此， 所以. 2．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)64 (2)1587 【知识点】频率分布直方图的实际应用、3δ原则 【分析】（1）由频率分布直方图样本平均数计算方法可得. （2）由原则可得参赛学生中成绩超过78分的概率，进而可得. 【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值 （2）由题意所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， 因，所以。   故参赛学生中成绩超过分的学生数为. 3．（22-23高二下·福建泉州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算几个数的平均数、指定区间的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、二项分布的均值 【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求得答案； （2）确定体质测试成绩的方差，可确定学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率，根据二项分布的均值公式，即可求得的数学期望. 【详解】（1）由题意得． （2）因为，故， 所以，． 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545， 故，所以． 4．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某年级有2000名学生.一次物理单元测验成绩近似服从正态分布. (1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例； (2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数. 附：若，则，. 【答案】(1)0.15865 (2)314 【知识点】指定区间的概率、3δ原则、正态曲线的性质 【分析】（1）由题意可求的概率，然后根据正态分布的对称性求解即可， （2）先根据正态分布求出成绩在80～96分内的概率，从而可求出人数. 【详解】（1）因为，所以， 所以成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例为 ， （2）由于，所以成绩在80～96分内的概率为 ， 所以全年级成绩在80～96分内的学生人数约为人. 5．（22-23高二下·新疆·期末）学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底､横向到边的网络学习平台．学习强国APP提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习．某校团委组织全体教职工参加“学习强国”竞赛．现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为，求随机变量的分布列和期望. (2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．已知该校教职工共有1200人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数（结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 参考公式：若随机变量服从正态分布，则. 参考数据：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)190 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）由题意得到X的所有可能取值为，求得其相应概率，列出分布列，再求期望； （2）根据题意求得到，再求得即可. 【详解】（1）由题意可知这100人中得分不低于90分的人数为， 的所有可能取值为， . 的分布列为 0 1 2 故. （2）由题可得，， 则. 故该校这次竞赛分数不低于87.6分的教职工人数为. 6．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望. (2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数，样本分数的方差.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数. 参考公式：若随机变量Z服从正态分布，则，，. 参考数据：. 【答案】(1)分布列见解析； (2)159 【知识点】求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用、写出简单离散型随机变量分布列、特殊区间的概率 【分析】（1）由题意得到X的所有可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望； （2）根据题意得到，，再求得即可. 【详解】（1）解：由题意可知这100人中得分不低于90分的人数为，则X的所有可能取值为0，1，2， ，，. X的分布列为 X 0 1 2 P 故. （2）由题可得， ， 则. 故该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数为. 题型十七 一元线性回归模型 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相关系数的意义及辨析、根据样本中心点求参数、判断正、负相关 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断. 【详解】因为与的样本相关系数为，可知与为负相关，故A，B错误； 又因为经验回归方程过样本中心点， 对于，则，故C错误； 对于，则，故D正确． 故选：D. 2．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．与正相关 B． C．样本数据的第60百分数为 D．各组数据的残差和为 【答案】ABD 【知识点】解释回归直线方程的意义、残差的计算、根据样本中心点求参数、总体百分位数的估计 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确； 对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确； 对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误； 对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高二下·安徽·期末）在线性回归分析中，已知，，则 . 【答案】5 【知识点】线性回归 【分析】展开结合平均值公式推导即可. 【详解】 , 将代入计算得到， ，解得. 故答案为：5. 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 【答案】/ 【知识点】残差的计算、根据样本中心点求参数、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计 【分析】计算出，将代入回归方程，得到，求出回归方程，当时，，计算出残差. 【详解】，， 将代入中得，， 解得， 故，当时，， 故残差为. 故答案为： 5．（23-24高二下·河南洛阳·期末）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x（日） 1 2 3 4 5 y（万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】(1)，可以认为两者的相关性很强； (2) 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解. 【详解】（1）因为， 所以 ， ， ， 所以， 由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知，． 所以． 因为，所以回归方程为． 6．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/百人 7 12 13 19 24 (1)求该学校招生人数与年份序号的相关系数（精确到），并判断它们是否具有较强线性相关程度（，则认为与的线性相关程度较强；，则认为与的线性相关程度较弱）； (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】(1)0.98，两个变量具有很强的线性相关程度． (2)，31.4百人． 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、相关系数的计算、求回归直线方程、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）首先求，再代入相关系数公式，即可求解； （2）代入公式求和，再根据回归直线方程计算时的预测值. 【详解】（1）由题知：，， ， ， ， 所以相关系数， 因此，两个变量具有很强的线性相关程度． （2），， 所以y关于x的回归直线方程为． 当x＝7时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人． 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1)证明见详解 (2)，预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【详解】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2）由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 8．（23-24高二下·河南郑州·期末）在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》（2021—2035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高､空间大､提速快､用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量万辆 25 37 48 58 72 (1)由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：. 【答案】(1)答案见解析 (2)；157.25万辆 【知识点】求回归直线方程、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）先求出，，结合题意中的公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程．将代入方程即可下结论. 【详解】（1）由题知，， 又，，， 所以， 因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1， 所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系； （2）， ， 所以y关于x的线性回归方程为． 当时，， 故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆． 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量/万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量/万辆 25 37 48 58 72 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明与线性相关性的强弱（结果精确到0.001；已知，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱） (2)求关于的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ (3)截止至2023年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A类60%、B类40%，现从该地区所有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取10个，再从抽取的10个充电桩中不放回地随机抽取2个，若表示抽到的A类充电桩的数量，求的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 参考数据：，，，. 【答案】(1)，与的线性相关性很强； (2)，约为157.25万辆； (3)分布列见解析，期望为. 【知识点】求回归直线方程、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用给定的数据求出相关系数，即可判断得解. （2）利用最小二乘法公式求出线性回归方程，再估计数据即可. （3）求出10个充电桩中A类、B类的充电桩数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望. 【详解】（1）依题意，， 而，，， 因此， 由与有相关系数近似为，得与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由（1）知，， ，关于的线性回归方程为， 当时，， 所以当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量约为157.25万辆. （3）依题意，抽取的10个充电桩中，A类充电桩有6个，B类充电桩有4个， 的可能值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 题型十八 相关系数 1．（23-24高二下·西藏山南·期末）能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 汽车购买（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该市2025年新能源汽车购买辆数． 参考公式： 参考数值：． 【答案】(1)0.998，与线性相关性很强； (2)，2.54万辆 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）先由已知数据求出，，然后根据计算公式与参考数据计算出相关系数，判断线性相关性的强弱即可； （2）由已知数据求出，，得到关于的线性回归方程，然后预测该市2025年新能源汽车购买辆数即可. 【详解】（1），， ， ， ， ， 所以与线性相关性很强； （2）由（1）知， ， 所以关于的线性回归方程是， 当时，（万辆）， 该市2025年新能源汽车购买辆数约为2.54万辆. 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）“源·韵——西藏传统服饰活态展示系列活动”圆满举办.西藏博物馆为充分发挥阵地优势，传承弘扬中华优秀传统文化、促进各民族交往交流交融、培育引领各族人民文化生活新风尚，在2023年雪顿节前推出“源· 韵—— 西藏传统服饰活态展示活动”，与观众一起感受传统文化的雅韵，为游客提供“正本清源”的西藏民俗活态体验.其中“西藏服饰文化”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，为了解藏服体验店广告支出和销售额之间的关系，在八廓街附近抽取7家藏服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下： 体验店 A B C D E F G 广告支出/万元 1 2 3 4 5 6 7 销售额/万元 3 4 6 8 11 15 16 对进入G体验店的200名游客进行统计得知，其中女性游客有140人，女性游客中体验藏服的有90人，男性游客中没有体验藏服的有40人. (1)请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验藏服与性别有关联； 性别 是否体验藏服 合计 体验藏服 没有体验藏服 女 90 140 男 40 合计 200 (2)设广告支出为变量（万元），销售额为变量（万元），根据统计数据计算相关系数，并据此说明可用线性回归模型拟合的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）； (3)建立的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额（精确到0.1）. 附：参考数据及公式：，，，，，， 相关系数， 在线性回归方程中中，，． ，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，认为体验藏服与性别之间有关联 (2)0.98，线性相关程度很强 (3)，23.40万元. 【知识点】相关系数的计算、卡方的计算、求回归直线方程、完善列联表 【分析】（1）由表中的数据完成列联表，然后根据公式求解，再根据临界值表判断即可； （2）先根据表中的数据求出，然后结合参考数据可求出相关系数，从而进行判断； （3）根据已知的数据和公式求出，从而可求出回归方程，令可预测广告支出为10万元时的销售额. 【详解】（1）根据题意，列联表完成如下： 性别 是否体验藏服 合计 体验藏服 没有体验藏服 女 90 50 140 男 20 40 60 合计 110 90 200 零假设为：性别与体验藏服之间无关联. 根据列联表数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立. 即认为体验藏服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过. （2）由数据可知， 因为， ， ， ， 因为， 所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系. （3）由数据及公式可得： ， 故关于的经验回归方程为， 当万元时，销售额预计为万元. 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网高2.24米） 扣球高度（米） 2.4 2.5 2.7 2.9 3.0 得分概率 0.1 0.2 0.4 0.7 0.9 (1)若表中两个变量线性相关（经验回归方程为），计算样本相关系数（保留），并推断它们的相关程度； (2)若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为和，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为和，假设球一直没有掉地上，求经过次传球后甲接到球的概率. 参考公式： 参考数据：， 【答案】(1)；两个变量呈现正相关，而且相关性很强； (2). 【知识点】相关系数的计算、构造法求数列通项、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据已知数据和r的计算公式求解即可； （2）设经过次传球后，排球被甲接到的概率为.找到与的关系，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）， ， ， ， ， 两个变量呈现正相关，而且相关性很强. （2）经过次传球后，排球被甲接到的概率为. 则. 即. ， 是首项为，公比为的等比数列， ， 即. 4．（23-24高二下·辽宁·期末）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车．为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验.随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． (1)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 20 中老年 10 合计 40 100 (2)设消费者的年龄为，对无人驾驶出租车的体验评分为．若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为，求y与x的相关系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）． 附：．独立性检验中的，其中． 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见详解；有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关 (2)对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强 【知识点】相关系数的计算、独立性检验解决实际问题、相关系数的意义及辨析、完善列联表 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）根据题意求相关系数，进而分析理解. 【详解】（1）根据题意可得列联表如下： 好评 差评 合计 青年 20 30 50 中老年 40 10 50 合计 60 40 100 因为， 所以有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． （2）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以相关系数， 因为，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强． 5．（23-24高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)，身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强 (2)，29公里 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断； （2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入可求出该同学的骑行距离. 【详解】（1）由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. 6．（23-24高二下·四川乐山·期末）2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 总产量y 6.69 6.82 6.86 6.95 (1)请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）； (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量． 参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 参考数据：，，． 【答案】(1)线性相关程度较高 (2)；万万吨 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解； （2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解. 【详解】（1），， ， ， ， 因为，所以线性相关程度较高； （2）， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以2025年全国粮食年产量为万万吨. 题型十九 独立性检验 1．（24-25高三上·云南曲靖·期末）高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占． (1)请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关； 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 10 不乘坐高铁 合计 60 100 (2)为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1000元，设三份奖品总金额为X元，求X的概率分布与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关系 (2)分布列见解析， 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）先根据分层抽样求出各层人数，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）由已知可得，样本中40岁及以下乘坐高铁出行的有（人）， 2×2列联表如下： 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 40 10 50 不乘坐高铁 20 30 50 合计 60 40 100 零假设为：乘坐高铁出行与年龄没有关系， 由列联表中的数据计算可得, 故不能断定假设成立， 所以有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关系； （2）采用分层抽样的方法， 则从40岁及以下的人中抽取3人，从40岁以上的人中抽取2人， X的所有可能取值为2400，2600，2800， ， 故概率分布如下： X 2400 2600 2800 P ． 2．（24-25高二上·江西九江·期末）“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)分布列见解析， 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、完善列联表、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）补充列联表，根据的计算公式判断是否与性别有关即可； （2）依题意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用数学期望的计算公式求出期望即可. 【详解】（1）列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 又， 故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关. （2）依题意，得， ，， ，， 则的分布列如下： 0 1 2 3 则. 3．（24-25高三上·河南周口·期末）近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为购买AI手机与顾客的性别有关； (2)答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可； （2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、 、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可. 【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效 (2)，. 【知识点】卡方的计算、计算条件概率 【分析】（1）利用的性质进行比较. （2）利用条件概率，分析情况得到答案. 【详解】（1）由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效. （2）由题意可得，， ，. ， 5．（24-25高二上·陕西渭南·期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 初中学生 100 合计 150 (1)请将列联表中的数据补充完善； (2)判断能否有的把握认为学生经常做家务与年级段有关？ 附：，其中． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)有的把握认为学生经常做家务与年级段有关联． 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据题意结合列联表中的数据，求出空白单元格的人数，再补充列联表； （2）根据结合列联表中数据求解，然后根据临界值进行判断即可. 【详解】（1）列联表如下： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 150 200 初中学生 100 100 200 合计 150 250 400 （2）由（1）可知，， 有的把握认为学生经常做家务与年级段有关联． 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 (2) 【知识点】卡方的计算、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可； （2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ， 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. （2）由题意知，8人中男生人，女生人. 记“人中至少有1名男生”为事件， 则. $$专题01 高二下学期期末真题精选（常考19大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两个计数原理综合（高频） · 题型二 排列数与组合数的计算（易错） · 题型三 组合数的性质应用（易错） · 题型四 相邻与不相邻问题（高频） · 题型五 特殊元素（位置）优先 · 题型六 间接法（高频） · 题型七 分配问题（难点） · 题型八 涂色问题（难点） · 题型九 二项展开式的第项（高频） · 题型十 二项式系数（和）（重点） · 题型十一 系数和，系数最值 （易错） · 题型十二 两个二项展开式，三项展开式系数问题 （高频,难点） · 题型十三 条件概率（难点） · 题型十四 全概率公式和贝叶斯公式（难点） · 题型十五 二项分布和超几何分布（难点） · 题型十六 正态分布（难点） · 题型十七 一元线性回归模型 · 题型十八 相关系数（难点） · 题型十九 独立性检验（易错） 题型一 两个计数原理综合 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 2．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 3．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 4．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 题型二 排列数与组合数的计算 1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）对于满足的任意正整数，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建南平·期末）若，则n的值可能为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型三 组合数的性质应用 1．（23-24高二下·河南三门峡·期末）计算（    ） A．34 B．35 C．68 D．70 2．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（多选）（23-24高二上·江西·期末）若，则的值可以是（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）若   则n= . 题型四 相邻与不相邻问题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 2．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 3．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 4．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 5．（多选）（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 6．（23-24高二下·新疆喀什·期末）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ 题型五 特殊元素（位置）优先 1．（23-24高二下·广东广州·期末）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（   ） A．42 B．72 C．78 D．96 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．360 3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（    ） A．24 B．36 C．54 D．60 4．（23-24高二下·浙江台州·期末）甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有 题型六 间接法 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．12 B．18 C．22 D．24 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（   ）种． A．2 B．4 C．5 D．9 3．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 5．（22-23高二下·山东青岛·期末）2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种． 题型七 分配问题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（   ） A．540 B．630 C．1080 D．1260 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲、乙等6名志愿者到两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（    ） A．14 B．20 C．28 D．40 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（   ） A．240种 B．150种 C．120种 D．60种 4．（多选）（23-24高二上·福建漳州·期末）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．共有14种安排方法 C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 题型八 涂色问题 1．（23-24高二下·广东佛山·期末）如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域重新种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能种同一种颜色的花，则共有（    ）种不同的种植方案.    A．36 B．48 C．72 D．84 2．（23-24高三上·江苏扬州·期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）． A．96 B．84 C．60 D．48 3．（23-24高二下·江苏盐城·期末）给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．24 B．72 C．96 D．144 4．（23-24高二下·广东东莞·期末）用5种不同的颜色对如图所示的，，区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有 种不同的着色方法．（用数字作答）    5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有 涂法（用数字作答）． 题型九 二项展开式的第项 1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 2．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南郴州·期末）若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 4．（23-24高二下·吉林·期末）已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 5．（23-24高二下·福建南平·期末）已知的展开式中，二项式系数和为64． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项． 题型十 二项式系数（和） 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 2．（22-23高二下·湖北武汉·期末）展开式中第4项的二项式系数为（    ） A． B．1120 C．56 D．70 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川达州·期末）的展开式中项的二项式系数是 （用数字作答）． 5．（23-24高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为，则此二项式展开式中二项式系数之和是 ． 题型十一 系数和，系数最值 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知二项式，且其二项式系数之和为64． (1)求和的值； (2)求． 2．（23-24高二下·重庆·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 3．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 5．（22-23高二下·河北沧州·期末）已知展开式的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数们比是． (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大项的系数． 6．（22-23高二下·江苏南通·期末）已知. (1)若，分别求出，，的值； (2)求的展开式中系数最大的项. 7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知，是正整数，的展开式中的系数为15. (1)求展开式中的系数的最小值； (2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求. 题型十二 两个二项展开式，三项展开式系数问题 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C．35 D．55 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 5．（多选）（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 6．（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 . 题型十三 条件概率 1．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）设为两个随机事件，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十四 全概率公式和贝叶斯公式 1．（23-24高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%. (1)求； (2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率. 2．（22-23高二上·河南驻马店·期末）代号为01，02，03的三人同时对某一飞行目标进行射击，三人击中的概率分别为0.5，0.6，0.7．若目标被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被2人击中，则被击落的概率是0.4；若被三人击中，则目标被击落的概率是0.9． (1)求目标被2人击中的概率； (2)求目标被击落的概率． 3．（22-23高二下·山东滨州·期末）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛． 在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 4．（22-23高二下·河南驻马店·期末）三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3. (1)求任意取出1个零件是废品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率. 5．（22-23高二下·河南信阳·期末）芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%． (1)求任取一个芯片是正品的概率； (2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率． 6．（22-23高二下·辽宁沈阳·期末）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求： (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 题型十五 二项分布和超几何分布 1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”正式被列入《世界遗产名录》.某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线—故宫探游”研学活动.游览规划：如图，第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续游览，最终在御花园集合，活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立. (1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率； (2)记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一､二阶段都选路线①的人数为，求的期望，方差； (3)记班级内在第一､二阶段都选择路线①的人数为的概率为，则为何值时，取最大值. 2．（24-25高三上·宁夏银川·期末）随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2． (1)①求居民甲至少更换一种电器的概率； ②居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； ③居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙，丙，丁，戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差． 3．（23-24高二下·贵州黔南·期末）转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 4．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置. (1)当时，求，； (2)当时，求随机变量X的分布列及数学期望. 7．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 8．（23-24高二下·湖北·期末）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示． (1)估计 ，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由） (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 题型十六 正态分布 1．（22-23高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 2．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 3．（22-23高二下·福建泉州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望． 附：若，则，，． 4．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某年级有2000名学生.一次物理单元测验成绩近似服从正态分布. (1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例； (2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数. 附：若，则，. 5．（22-23高二下·新疆·期末）学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底､横向到边的网络学习平台．学习强国APP提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习．某校团委组织全体教职工参加“学习强国”竞赛．现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为，求随机变量的分布列和期望. (2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．已知该校教职工共有1200人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数（结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 参考公式：若随机变量服从正态分布，则. 参考数据：. 6．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望. (2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数，样本分数的方差.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数. 参考公式：若随机变量Z服从正态分布，则，，. 参考数据：. 题型十七 一元线性回归模型 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（    ） A．与正相关 B． C．样本数据的第60百分数为 D．各组数据的残差和为 3．（23-24高二下·安徽·期末）在线性回归分析中，已知，，则 . 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据: 5 6 8 9 12 （人） 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 . 5．（23-24高二下·河南洛阳·期末）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x（日） 1 2 3 4 5 y（万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 参考公式：，，， 参考数据：． 6．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/百人 7 12 13 19 24 (1)求该学校招生人数与年份序号的相关系数（精确到），并判断它们是否具有较强线性相关程度（，则认为与的线性相关程度较强；，则认为与的线性相关程度较弱）； (2)求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 7．（23-24高二下·福建泉州·期末）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 8．（23-24高二下·河南郑州·期末）在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》（2021—2035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高､空间大､提速快､用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量万辆 25 37 48 58 72 (1)由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：. 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 充电桩数量/万台 1 3 5 7 9 新能源汽车年销量/万辆 25 37 48 58 72 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明与线性相关性的强弱（结果精确到0.001；已知，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱） (2)求关于的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？ (3)截止至2023年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A类60%、B类40%，现从该地区所有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取10个，再从抽取的10个充电桩中不放回地随机抽取2个，若表示抽到的A类充电桩的数量，求的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 参考数据：，，，. 题型十八 相关系数 1．（23-24高二下·西藏山南·期末）能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 汽车购买（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该市2025年新能源汽车购买辆数． 参考公式： 参考数值：． 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）“源·韵——西藏传统服饰活态展示系列活动”圆满举办.西藏博物馆为充分发挥阵地优势，传承弘扬中华优秀传统文化、促进各民族交往交流交融、培育引领各族人民文化生活新风尚，在2023年雪顿节前推出“源· 韵—— 西藏传统服饰活态展示活动”，与观众一起感受传统文化的雅韵，为游客提供“正本清源”的西藏民俗活态体验.其中“西藏服饰文化”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，为了解藏服体验店广告支出和销售额之间的关系，在八廓街附近抽取7家藏服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下： 体验店 A B C D E F G 广告支出/万元 1 2 3 4 5 6 7 销售额/万元 3 4 6 8 11 15 16 对进入G体验店的200名游客进行统计得知，其中女性游客有140人，女性游客中体验藏服的有90人，男性游客中没有体验藏服的有40人. (1)请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验藏服与性别有关联； 性别 是否体验藏服 合计 体验藏服 没有体验藏服 女 90 140 男 40 合计 200 (2)设广告支出为变量（万元），销售额为变量（万元），根据统计数据计算相关系数，并据此说明可用线性回归模型拟合的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）； (3)建立的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额（精确到0.1）. 附：参考数据及公式：，，，，，， 相关系数， 在线性回归方程中中，，． ，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网高2.24米） 扣球高度（米） 2.4 2.5 2.7 2.9 3.0 得分概率 0.1 0.2 0.4 0.7 0.9 (1)若表中两个变量线性相关（经验回归方程为），计算样本相关系数（保留），并推断它们的相关程度； (2)若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为和，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为和，假设球一直没有掉地上，求经过次传球后甲接到球的概率. 参考公式： 参考数据：， 4．（23-24高二下·辽宁·期末）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车．为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验.随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． (1)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 20 中老年 10 合计 40 100 (2)设消费者的年龄为，对无人驾驶出租车的体验评分为．若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为，求y与x的相关系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）． 附：．独立性检验中的，其中． 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 5．（23-24高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 6．（23-24高二下·四川乐山·期末）2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 总产量y 6.69 6.82 6.86 6.95 (1)请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）； (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量． 参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 参考数据：，，． 题型十九 独立性检验 1．（24-25高三上·云南曲靖·期末）高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占． (1)请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关； 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 10 不乘坐高铁 合计 60 100 (2)为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1000元，设三份奖品总金额为X元，求X的概率分布与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2．（24-25高二上·江西九江·期末）“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（24-25高三上·河南周口·期末）近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 5．（24-25高二上·陕西渭南·期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 初中学生 100 合计 150 (1)请将列联表中的数据补充完善； (2)判断能否有的把握认为学生经常做家务与年级段有关？ 附：，其中． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（24-25高二上·江西南昌·期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. $$