课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年新教材七年级数学下册（北师大版2024 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第一章 整式的乘除 ⊙考点1)幂的运算 1.幂的运算法则 同底数幂相乘 a"·a”=am+"(m,n都是正整数) 幂的乘方 (a)”=a"(m,n都是正整数) 积的乘方 (ab)"=a"b"(n是正整数) 同底数幂相除 a"÷a"=am"(a≠0，m,n都是正整数，且m>n) 2.零指数幂和负整数指数幂：a°=1(a≠0)：aP=一(a≠0，p是正整数). 3.用科学记数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10”的形式，其中1≤a<10,n是负整数. 【方法技巧】(1)确定a:a是大于或等于1且小于10的正数； (2)确定n:①的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的那个零）： ②小数点向右移到第一个不为零的数后，小数点移动了几位，几的绝对值就等于几. ⊙)考点2整式的乘、除法 1.单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘， 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 2.单项式乘多项式：就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(a+b+c)=ma+mb+mc. 3.多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加， (a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd. 4.单项式除以单项式：(1)把系数同底数幂分别相除后，作为商的因式. (2)对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 5.多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. (am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m=a+b+c. ⊙考点3乘法公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2.完全平方公式：两数和（差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍 (a+b)2=a2+2ab+b2:(a-b)2=a2-2ab+b2 【拓展延伸】完全平方公式的常见变形：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: ②(a+b)2=(a-b)2+4ab: ③ab=4[(a+b)2-(a-b)] 1 河南专版·ZBB·七年级数学下 第二章 相交线与平行线 ⊙考点1两条直线的位置关系 1.对顶角的性质：对顶角相等」 【注意】对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 2.余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等 3.垂线的性质：(1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。 【注意】垂线段是一条线段，而，点到直线的距离是一个数值，是垂线段的长度. ○)考点2平行线的性质及判定 1.平行线的性质及判定 判定 性质 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 【方法指导】解决平行线中的“拐点”问题，常用方法是根据题目 中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知直线的平 行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论，需要注意的是解 决此类问题经常需要多次运用平行线的性质，有时需要结合平行线的判定等其他知识综合分析解 决.常用模型有如图两种 2.基本事实（平行公理）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 3.平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线平行. ○)考点3用尺规作已知直线的平行线 已知：点P在直线AB外 求作：过点P作直线MN∥AB 作法与示范： 作法 图示 1.在直线AB上任取一，点O,过点0，P作直线OD 2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线OD的右侧作 ∠DPN=∠DOB. PN边所在的直线MN就是要作的直线 【注意】尺规作图题，要保留作图痕迹，若题目没有要求写作法，则不需要写作法 2 w 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第三章 概率初步 ○考点1○事件及其可能性 1.必然事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生 2.不可能事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生， 3.随机事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称 为随机事件.（发生的可能性在0~100%之间，不包括0和100%） 【方法指导】确定事件发生的可能性的大小的方法：方法一：当总数一定时，通过比较研究对象的 个数来确定：方法二：一般情况下，均可通过求研究对象在总体中所占的比来确定 心)考点2)频率的稳定性 1.频率 在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值”称为事件A发生的频率 2.频率的稳定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质 称为频率的稳定性 【注意】频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在 试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下， 频率可以用来近似地反映事件发生的可能性的大小， 3.概率 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.一般地，大量重复 的试验中，我们常用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 4.概率的取值范围 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件A发生的概率P(A)是0与 1之间的一个常数， ⊙)考点3)等可能事件概率的计算及其应用 1.等可能事件的概率：一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结 果，那么事件A发生的概率为P(A)=m n 2.转盘问题中的概率应用 扇形所占圆的份数扇形的圆心角度数 在转盘中，P(指针停留在某扇形内)= 圆平均分的份数 360° 3.游戏的公平性 游戏时双方公平是指双方获胜的可能性相等，即若游戏双方获胜的概率相同，则游戏对双方 公平：否则，游戏对双方不公平 河南专版·ZBB·七年级数学下 第四章 三角形 ⊙考点1)三角形 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形， 2.三角形的分类 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分：不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的三角形、等边三角形） 3.三角形的三边关系 (1)三角形任意两边之和大于第三边 (2)三角形任意两边之差小于第三边， 【方法指导】判断三条线段能否组成三角形的方法：确定两条较短线段，判断两条较短线段的长的 和是否大于最长线段的长，若是，则能构成三角形：否则，不能构成三角形 4.三角形的角 (1)三角形三个内角的和等于180： (2)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的“三线” 概念 交点位置 在三角形中，连接一个顶点与它对边 三角形的三条中线都在三角形内，且交 中线 中点的线段，叫作这个三角形的中线 于一点，这点称为三角形的重心 在三角形中，一个内角的角平分线与 角平分线 它的对边相交，这个角的顶，点和交，点 三角形的三条角平分线交于一点 之间的线段叫作三角形的角平分线 锐角三角形的三条高交于三角形内部： 从三角形的一个顶点向它的对边所在 直角三角形的三条高交于直角顶点：钝 高 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 角三角形的三条高所在直线交于三角 叫作三角形的高线，简称三角形的高 形外部 【注意】①三角形的高、中线、角平分线都是线段：②三角形的一条中线把三角形分成两个面 积相等的三角形 6.三角形中有关角平分线的常见模型 (1)两内角平分线的夹角与第三个角∠A之间的数量关系：如图1，若BE、CF分别是∠ABC、 LAGB的平分线，则∠BC与LA的关系为LBcC=0+L4 (2)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与第三个角∠A之间的数量关系：如图2，若 B即.CP分别是∠ABC,∠ACD的平分线，则∠P与∠A的关系为∠P=)∠A (3)两个外角平分线的夹角与第三个角∠A之间的数量关系：如图3，若BP、CP分别是 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 ∠EBC、∠FCB的平分线，则LP与LA的关系为LP=90°-2∠A (4)“8”字型内角平分线的夹角与∠A和∠D之间的数量关系：如图4，若BP、CP分别是 ∠ABO、∠DC0的平分线，则∠P、∠A与LD的关系为∠P=。(∠A+∠D) 图1 图2 图3 图4 ○)考点2)全等三角形 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 【拓展延伸】全等三角形对应边上的高、中线对应相等，对应角平分线、周长及面积相等， 【注意】①当用全等符号连接时，对应点、对应边和对应角已经确定：②当用文字全等描述时， 需要分类讨论.③周长、面积分别相等的两个三角形（或图形）不一定是全等三角形（或全等 图形)④全等图形与图形的位置无关，关键是看是否可以完全重合 3.全等三角形的判定 判定方法 边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 两边及其夹角分 两角及其夹边分 两角分别相等且其中 三边分别相等的 语言文字 别相等的两个三 别相等的两个三 一组等角的对边相等 两个三角形全等 角形全等 角形全等 的两个三角形全等 图示 【易错点拨】利用“两边一角”证明三角形全等时，应分清SAS与ASS,其中ASS不能证明两个三角 形全等。 【方法点拨】判奇两个三角形全等的常见思路 (找夹角+SAS 已知两边 找第三边→SSS 「边为角的对边一→找任一角一AAS 找角的另一邻边+SAS 已知一边一角 边为角的邻边 找边的另一邻角→ASA 找边的对角→AAS 找夹边→ASA 已知两角 找任一角的对边一AAS 河南专版·ZBB·七年级数学下 ○)考点3)用尺规作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知：线段a,c,La4上乙 求作：△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠a 作法与示范： 作法 示范 (1)作一条线段BC=a: 方七 (2)以B为顶，点，以BC为一边，作∠DBC=∠a: A/D (3)在射线BD上截取线段BA=C: (4)连接AC,△ABC就是所求作的三角形 ○考点4利用三角形全等测距离 当两点之间的距离不能直接测量时，可以把要测量的两点之间的线段作为三角形的一边构造全 等三角形，进而把不能直接测量的线段转化为可直接测量的对应线段来求解， 第五章图形的轴对称 ⊙)考点1)轴对称及其性质 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个 图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴， 2.两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形 成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3.成轴对称的图形与轴对称图形的联系：若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个 轴对称图形：若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于某条直线成轴对称. 4.画轴对称图形的步骤 (1)找：在原图上找特殊点（如线段端，点）：(2)画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点： (3)连：依次连接各对称点，即可得到要求的图形 5.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称 轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 ⊙)考点2)简单的轴对称图形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所 在的直线是等腰三角形的对称轴， (3)等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 2.等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质， (1)等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. (2)等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于60° 3.线段：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 4.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (简称中垂线). 5.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6.角：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 7.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【易错点拨】①涉及到等腰三角形的边长时，要根据该边是底边还是腰进行分类讨论：②涉及到等 腰三角形的角时，要根据该角是顶角还是底角进行分类讨论：③当通到有关角平分线的问题时，通 常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。 ⊙)考点3常见的尺规作图 作法 图示 1,分别以点A和B为圆心，以大于)AB的长为半径 垂直平分线 作孤，两孤相交于点C和D: 2.作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE; 角平分线 2.分别以D,E为圆心，以大于DE的长为半径作孤， 两孤在∠AOB内交于点C; 3.作射线OC.OC就是∠AOB的平分线. 直线上一点L.作平角∠ACB的平分线CP; 的垂线 2.反向延长射线CP,直线CP就是所要求作的垂线. 河南专版·ZBB·七年级数学下 ⊙)考点4利用轴对称解决最值问题 1.理论依据：“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等。 2.常见类型 B 在直线1上求 在直线1上求一 在直线、2上分别 在直线1、L2上分别 问题 点P,使PA+ 点P,使PA+PB 求点M、N,使△PMN 求，点M、N,使四边形 PB值最小 值最小 的周长最小 POMN的周长最小 作点B关于1的 分别作点P关于两直 分别作点Q、P关于直 连接AB,与I对称点B',连接 线的对称点P'和P”, 线l1、2的对称，点Q'和 作法 交点即为P AB',与L交点即 连接P'P”,与两直线 P',连接Q'P',与两直 为P 交点即为M、WN 线交点即为M、N 图示 B 第六章 变量之间的关系 ⊙考点)变量之间的关系 1.变量、常量 在某一变化过程中，数值发生变化的量叫作变量，数值始终不变的量叫作常量。 2.自变量、因变量 如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫作自变量，y叫作因变量. 3.变量间关系的表示方法 ①表格法：②关系式法：③图象法 【拓展】在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自 变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量 【注意】①利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可根据因变 量的值求出相应的自变量的值： ②从图象中获取信息时要抓住图象的最高点与最低，点以及这些点所对应的自变量与因变量 的值：确定图象上某点所表示的意义时，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，可以知道自变量取 某个值时，因变量的取值 8