专题05：概率初步（续）高频考点分类复习【核心考点突破+高频易错精讲】-2024-2025学年高二下学期数学期末复习满分冲刺（沪教版2020选择性必修第二册）

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题05 概率初步（续）高频考点分类复习 考点一：条件概率 1．（2024高二下松江区校级期中）已知，，则（A）的值为 　　． 2.（24-25高二下海期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024控江中学高二期末）已知为随机事件，则下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024春•闵行区校级期中）从装有4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为　　 A． B． C． D． 5．（2023春•金山区高二校级期中）从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则　　 A． B． C． D． 6．（2024春•嘉定区校级期中）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机依次不放回地选取2人作为班级代表发言．已知选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•黄浦区校级期中）从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球．记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率　　 A． B． C． D． 考点二：全概率公式 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 9．（2024春•徐汇区高二校级期中）现有标号依次为1，2，3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为 　　． 10．（2023春•奉贤区校级期中）根据调查，某城市司机的酒后驾驶率为，交警部门使用的某型号酒精测试仪的误报率为，即饮酒的人有的概率被检测出酒精未超标，没饮酒的人有的概率被检测出酒精超标，则任意抽取该城市一名司机，其被检测出酒精超标的概率为 　　． 11．（2024春•青浦区校级期中）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在传，又传，又传，这就是“持续人传人”．那么、、就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 　　． 12．（2024育才中学期末）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 考点三：随机变量的分布列与性质 13．（2024上海高二课时练习）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 14．（2024上海高二课时练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024上海高二课时练习）已知一个离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2024上海高二课时练习）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则 A． B． C． D． 考点四：随机变量的期望与方差 17．（2024上海高二课时练习）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 且数列满足，则 ． 18．（2024·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 19．（2024上海高二课时练习）设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大B．减小C．先减小后增大D．先增大后减小 20．（2024上海高二课时练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 21.（2024上海高二课时练习）设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024上海高二课时练习）已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 23．（2024上海高二课时练习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ． 24．（2024上大附中高二期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响． (1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小； (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望． 25．（2024行知中学高二期末）甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”. (1)求这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）； (3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差. 26．（2024复兴高级中学高二期末）喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答题库每题的概率分别为、，二班能正确回答题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响． (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为，求的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？ 考点五：等可能分布、伯努利分布、二点分布 27．（2024上海高二课时练习）已知服从两点分布，且，则 ． 28．（2024上海高二课时练习）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 29．（2024上海高二课时练习）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六：二项分布 30．（23-24高二下·上海黄浦·期末）随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二下·上海闵行·期末）若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点七：超几何分布 33．（23-24高二下·松江·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2024上海高二课时练习）袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则 . 35.（2024上海高二课时练习）某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 (1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 36.（2025·进才中学高二·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 考点八：正态分布 37．（2024上海高二课时练习）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 38．（2024上海高二课时练习）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 39．（23-24高二下·山东烟台·期末）中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率约为（    ） 附：若，则，. A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5 40．（2024上海高二课时练习）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 41．（22-23高二下·山东聊城·期末）今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（    ） A．4000 B．3000 C．2000 D．1000 考点九：综合应用 42．（2024上海高二课时练习）王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为，用乙车床加工的零件合格的概率为，且每次加工的零件是否合格相互独立． (1)若王师傅用甲、乙车床各加工2个零件，求他加工的零件恰好有3个合格的概率； (2)若王师傅加工3个零件，有以下两种加工方案： 方案一：用甲车床加工2个零件，用乙车床加工1个零件； 方案二：每次用一台车床加工1个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另一台车床加工，且第一次用甲车床加工． 若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？ 43．（23-24高二下上海期末）第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望. 44．2022年5月14日6时52分，编号为B-001J的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9时54分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满完成．C919大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为，，三个等级，其中，等级的产品为合格品，等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400件，检测结果为：甲制造厂的合格品为380件，甲、乙制造厂的级产品分别为80件、100件，两制造厂的不合格品共60件． (1)补全下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？ 合格品 不合格品 合计 甲制造厂 400 乙制造厂 400 合计 800 (2)若每件产品的生产成本为200元，每件，等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元，等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件20元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1件这种产品的平均盈利的大小． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题05 概率初步（续）高频考点分类复习 考点一：条件概率 1．（2024高二下松江区校级期中）已知，，则（A）的值为 　　． 【解析】由得（A）． 故答案为：． 2.（24-25高二下海期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，. 故选：D 3．（2024控江中学高二期末）已知为随机事件，则下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】仅当与相互独立时，成立，故A不正确； 当和是两个互斥事件时才成立，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：C 4．（2024春•闵行区校级期中）从装有4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】记事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”， 则（A），， 在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为： ． 故选：． 5．（2023春•金山区高二校级期中）从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为， 若5个数的中位数是4，需要在1、2、3中任取2个数，在5、6、7中任取2个数，与4一起组成3个数， 则事件的基本事件有个，所以， 其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况， 这3种情况恰好也是的基本事件， 所以， 所以． 故选：． 6．（2024春•嘉定区校级期中）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机依次不放回地选取2人作为班级代表发言．已知选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”， 则， 所以． 故选：． 7．（2024春•黄浦区校级期中）从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球．记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，（A）， 事件与事件同时发生的概率为， 故． 故选：． 考点二：全概率公式 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A. 9．（2024春•徐汇区高二校级期中）现有标号依次为1，2，3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为 　　． 【解析】设事件：从标号为1的盒子中取出的2个球中有个红球，，1，2， 事件号盒子里面是2个红球和2个白球，所以， 则（B） ． 故答案为：． 10．（2023春•奉贤区校级期中）根据调查，某城市司机的酒后驾驶率为，交警部门使用的某型号酒精测试仪的误报率为，即饮酒的人有的概率被检测出酒精未超标，没饮酒的人有的概率被检测出酒精超标，则任意抽取该城市一名司机，其被检测出酒精超标的概率为 　　． 【解析】设该司机饮酒为事件，被酒精测试仪检测出酒精超标为事件， 则根据全概率公式可得，该司机被检测出酒精超标的概率为 ． 故答案为：0.059． 11．（2024春•青浦区校级期中）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在传，又传，又传，这就是“持续人传人”．那么、、就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 　　． 【解析】设事件，，为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件为小明被感染， 则由已知得：（A），（B），（C），，，， 则（D）（A）（B）（C）， 故答案为：0.915 12．（2024育才中学期末）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， （3）由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 考点三：随机变量的分布列与性质 13．（2024上海高二课时练习）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 14．（2024上海高二课时练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 15．（2024上海高二课时练习）已知一个离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分布列性质，根据随机变量取值概率和为1运算求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：C. 16．（2024上海高二课时练习）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由，计算可得答案. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 由分布列的性质，则有，解得， 故. . 故选：C. 考点四：随机变量的期望与方差 17．（2024上海高二课时练习）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 且数列满足，则 ． 【答案】5.5/ 【分析】令，即可得到，再根据分布列的性质得到，从而求出数学期望； 【详解】解：令，2，3，，， 则，即，，2，3，，， 又，所以， 所以 故答案为： 18．（2024·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可. 【详解】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. 19．（2024上海高二课时练习）设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以单调递增， 故选：A 20．（2024上海高二课时练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出随机变量的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可. 【详解】由题意，可取， ， ， 则， . 故选：D. 21.（2024上海高二课时练习）设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望、方差，逐个选项分析即可； 【详解】设试验成功的概率为，解得：； 记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1， ,选项A正确； X 0 1 则随机变量X的数学期望, 选项B正确； 选项C正确； 选项D错误； 故选：D. 22．（2024上海高二课时练习）已知随机变量的分布列为 0 1 2 (1)求的值； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分布列的性质即可得解； （2）利用随机变量的期望公式可得答案； （3）法一：利用即可得解；法二：利用随机变量的期望公式可得答案. 【详解】（1）依题意，由分布列得，解得， 所以的值为. （2）由（1）得. （3）法一：因为， 所以. 法二：因为，所以的分布列如下： 所以. 23．（2024上海高二课时练习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到的取值为0，1，2，列出分布列，求出数学期望，再计算方差即可. 【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2. 则，，. 故的分布列为 0 1 2 P 则， 所以. 故答案为： 24．（2024上大附中高二期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响． (1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小； (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望． 【答案】(1)，即进入决赛的可能性甲 丙乙. (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可； （2）根据题意先求出与所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，并计算出期望即可求解. 【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为， 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为， 丙在初赛的两轮中均获胜的概率为， 因为，所以，所以， 即甲进入决赛的可能性最大. （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为， 则，且，解得， 所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为和， 两轮中均获胜的概率为， 进入决赛的人数的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 25．（2024行知中学高二期末）甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”. (1)求这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）； (3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差. 【答案】(1)0.648 (2)1.5 (3)0.57 【分析】（1）写出甲胜利的情况，结合组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）设甲所胜的局数为，计算分布列，再利用期望公式即可得到答案； （3）利用方差公式即可得到答案. 【详解】（1）甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜. 甲胜概率为：. 则甲胜利的概率为. （2）设甲所胜的局数为，. ，， ， 则分布列为： 0 1 2 0.16 0.192 0.648 所以. （3）. 26．（2024复兴高级中学高二期末）喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答题库每题的概率分别为、，二班能正确回答题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响． (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为，求的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，一班赢下这场比赛. 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分， 其概率为， 若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分， 其概率为， 于是一班总分不少于100分的概率为 . （2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120， ，， ，． 所以X的分布列为： X 60 80 100 120 P ，   设二班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120， ，， ，， 的分布列： ，         因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛. 考点五：等可能分布、伯努利分布、二点分布 27．（2024上海高二课时练习）已知服从两点分布，且，则 ． 【答案】0.7 【分析】利用两点分布的性质解答. 【详解】解：因为服从两点分布，所以． 故答案为：0.7 28．（2024上海高二课时练习）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 29．（2024上海高二课时练习）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 考点六：二项分布 30．（23-24高二下·上海黄浦·期末）随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 解得，所以. 故选：B. 31．（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可知， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 32．（22-23高二下·上海闵行·期末）若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，解得. 故选：A. 考点七：超几何分布 33．（23-24高二下·松江·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意得 因为， 所以解得 故选：B. 34．（2024上海高二课时练习）袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分.记X为取出的3个球的得分总和，则 . 【答案】4 【解析】由题可知，的可能取值为， 则，，， 所以. 故答案为：4 35.（2024上海高二课时练习）某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 (1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 【解析】（1）＂从这 18 名研究员中随机抽取两人合作实验，两人来自同一实验室＂记作事件 ， 则 （2） 的所有可能取值为 ． ，，. 的分布列为： 0 1 2 36.（2025·进才中学高二·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 【解析】（1）根据题意可得， 则,, ,, 则的分布列为： 所以 （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，则 则的分布列， . 考点八：正态分布 37．（2024上海高二课时练习）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 38．（2024上海高二课时练习）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【解析】因为，所以，所以. 故选：D 39．（23-24高二下·山东烟台·期末）中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率约为（    ） 附：若，则，. A．0.9987 B．0.9773 C．0.8414 D．0.5 【答案】B 【解析】射击命中次数服从二项分布， 均值，方差， 所以， . 故选：B. 40．（2024上海高二课时练习）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 41．（22-23高二下·山东聊城·期末）今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（    ） A．4000 B．3000 C．2000 D．1000 【答案】C 【解析】由总体密度函数解析式可知，， 由对称性可知，， 则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为人. 故选：C 考点九：综合应用 42．（2024上海高二课时练习）王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为，用乙车床加工的零件合格的概率为，且每次加工的零件是否合格相互独立． (1)若王师傅用甲、乙车床各加工2个零件，求他加工的零件恰好有3个合格的概率； (2)若王师傅加工3个零件，有以下两种加工方案： 方案一：用甲车床加工2个零件，用乙车床加工1个零件； 方案二：每次用一台车床加工1个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另一台车床加工，且第一次用甲车床加工． 若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？ 【答案】(1) (2)应该选方案二． 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式即可求概率; （2）利用二项分布及数学期望公式求离散型随机变量的期望，进而进行决策． 【详解】（1）设“加工的零件恰好有3个合格”为事件A， 则． （2）记王师傅用方案一加工的合格零件数为X， 由题意知用甲车床和乙车床加工的合格零件数分别服从二项分布和， 故． 记王师傅用方案二加工的合格零件数为Y，Y的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以． 因为，所以应该选方案二． 43．（23-24高二下上海期末）第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望. 【解析】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为； 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：； 丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：. 因为，所以， 所以， 所以，，即甲进入决赛的可能性最大. （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则， 整理得，解得或，由，所以， 所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为或，两轮中均获胜的概率为：， 进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3， 所以； ； ； ； 所以，的分布列为 0 1 2 3 所以，. 44．2022年5月14日6时52分，编号为B-001J的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9时54分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满完成．C919大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为，，三个等级，其中，等级的产品为合格品，等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400件，检测结果为：甲制造厂的合格品为380件，甲、乙制造厂的级产品分别为80件、100件，两制造厂的不合格品共60件． (1)补全下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？ 合格品 不合格品 合计 甲制造厂 400 乙制造厂 400 合计 800 (2)若每件产品的生产成本为200元，每件，等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元，等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件20元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1件这种产品的平均盈利的大小． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． (2)甲制造厂生产1件这种产品的平均盈利比乙制造厂大． 【分析】（1）卡方计算求解，然后比对做出判断即可； （2）列出、的分布列，然后求解期望值比较； 【详解】（1）列联表如下 合格品 不合格品 合计 甲制造厂 380 20 400 乙制造厂 360 40 400 合计 740 60 800 零假设为：产品的合格率与制造厂无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）对于甲制造厂，抽到的400件产品中有等级产品80件，等级产品300件，等级产品20件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为200，120，． ， 的分布列为 200 120 0.2 0.75 0.05 所以． 对于乙制造厂，抽到的400件产品中有等级产品100件，等级产品260件，等级产品40件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为200，120，． ， 的分布列为 200 120 0.25 0.65 0.1 所以． 因为，所以甲制造厂生产1件这种产品的平均盈利比乙制造厂大． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$