专题04：计数原理与二项式定理高频考点分类复习-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题04 计数原理与二项式定理高频考点分类复习 考点01：两个计数原理 1．（24-25上海高二期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【答案】 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有 不同的结果. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意每个运动项目的冠军均有种可能， 所以个运动项目的冠军奖杯的归属有种不同的结果. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 【答案】81 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种. 故答案为：81 考点02：排列数与组合数的计算 4.（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 5..（24-25高二上·上海松江·阶段练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数和组合数的性质依次计算即可求解. 【详解】（1）原方程等价于， 整理得，解得或， 又，所以. （2）原不等式等价于， 即，解得， 又且， 所以原不等式的解集为. 6.（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，即，故C正确； 对于D：，， 所以，故D错误 .故选：D 考点03：特殊元素特殊位置问题 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【答案】70 【知识点】排列组合综合 【分析】利用插空排列的方法求解. 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 8．（2024上·山西太原·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】B 【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可. 【详解】先安排游泳场地的志愿者，在除去甲的另三人中选择，再安排射击和体操场地的志愿者. 当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种， 当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种， 由分类加法原理可知共有种. 故选：B. 9．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故选：A. 10．（2023·全国·模拟预测）第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（    ） A．360种 B．480种 C．620种 D．720种 【答案】C 【分析】先根据题意按甲、乙是否被选中分为三种情况；再分别求出相应情况的方案数；最后利用分类加法计数原理即可得解． 【详解】由题意按甲、乙是否被选中分为三种情况： ①若甲、乙都未被选中，则不同的安排方案有（种）； ②若甲、乙2人中只有1人被选中，则不同的安排方案有（种）； ③若甲、乙都被选中，则先安排甲，再安排乙， 若甲去了网球中心，则不同的安排方案有（种）； 若甲没有去网球中心，则不同的安排方案有（种）. 所以当甲、乙都被选中时，不同的安排方案有（种）． 由分类加法计数原理可得共有（种）不同的安排方案. 故选：C． 11．（2024金山区联考期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果. 【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法； 接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法. 由间接法可知，不同的排法种数为种. 故选：B. 12．（2024建平中学高二期末）体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．96种 【答案】C 【分析】利用间接法，先让5名学生排成一排，再让2名女生相邻，即可得结果. 【详解】让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种， 让2名女生相邻，不同的排法共有种， 所以符合题设的不同的排法共有种. 故选：C. 考点04：相邻与不相邻问题 13.（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 14..（24-25高二上·上海·阶段练习）行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】由相邻的问题采用捆绑法计算即可. 【详解】将陈老师和姜老师捆绑到一起有种方法， 然后把他们看成一个大元素与剩下的名老师排成一排共有种方法， 则总共有种方法. 故答案为： 15.（23-24格致中学高二期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（   ） A．180种 B．190种 C．192种 D．240种 【答案】C 【解析】若甲位于两端时，乙与之相邻只有一个位置可选，丙与甲不相邻有余下四个位置可选， 故有种方法； 若甲不位于两端时，乙与之相邻有两个位置可选，丙与甲不相邻有三个位置可选， 故有种方法； 综上不同的排列方式有192种.故选：C 16.（23-24高二下上海期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（   ） A．120种 B．72种 C．48种 D．24种 【答案】B 【解析】先排三名男生，共有种排法，此时三名男生会产生四个空位， 则女生共有种，故共有种.故选：B. 17．（2024复旦附中期末）6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 【答案】B 【分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得. 【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空， 在其中选2个给甲和乙，有种方法； 再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法； 最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种. 故选：B. 18．（2024上海高二阶段练习）亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 【答案】C 【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人， 所以不同的传递方案共有种. 故选：C 19．（23-24高二下·上海·阶段练习）3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目 (1)甲不在最左边乙不在最右边 (2)男生必须排在一起 【答案】(1)3720 (2)720 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】 （1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解. 【详解】（1） 依题意，先排最左边，除去甲外，有种， 余下的6个位置全排有种 但应剔除其中乙在最右边的排法数共种 则符合条件的排法共有种 （2） 将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法 再与其他元素进行全排列，有种排法 故共有种 考点05：定序问题倍缩法 20.（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法， 将前排5人和后来两人看成七个位置， 把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法， 所以不同调整方法的总数是种.故选：D. 21.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误.故选：D. 考点06：相同元素隔板法 22.（22-23高二下·上海浦东新·期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答） 【答案】15 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】因为名额之间无差别，故采用隔板法即可求解. 【详解】7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额， 采用隔板法可知，即从6个空中插入2个隔板， 共有种不同分法， 故答案为：15. 23..（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 【答案】126 【知识点】排列组合综合 【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法. 【详解】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种. 故答案为：126. 24．（2023·全国·高三专题练习）某运输公司有个车队，每个车队的车多于辆.现从这个车队中抽出辆车组成一个运输队，且每个车队至少抽辆，则不同的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用隔板法将个空种插入个隔板，即可解决问题. 【详解】将辆车排好，辆车中间形成个空，从这个空中选个，插入隔板， 等价于将这辆车分成份，每一种插法对应一种抽法，故共有种不同的抽法， 故选：A. 25．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【答案】B 【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解. 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 26．（2022上·高二课时练习）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人， 利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法. 故选：. 考点07：排数问题 27.（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（    ） A．720 B．648 C．320 D．328 【答案】D 【解析】若个位数字为，十位和百位的排法种数为； 若个位数字不为，则确定个位数字有种方法， 确定百位数字有种方法，确定十位数字有种方法， 所以排法种数为. 所以可以组成个没有重复数字的三位偶数.故选：D 28.（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． （1）可以组成多少个三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 【答案】（1）100；（2）48；（3）30 【解析】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0， 因此，根据分步乘法计数原理共有（个）． （2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除 首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法， 因此，根据分步乘法计数原理共有（个）． （3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类： 一类是末位数字是0，则有（种）排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法． 因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数. 考点08：分组分配问题 29．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【答案】B 【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解. 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 30．（2022·全国·模拟预测）将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（    ） A．2720 B．3160 C．3000 D．2940 【答案】D 【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是，一种是，结合分堆法运算求解. 【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是， 故不同的安排方法有. 故选：D. 31.（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（    ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 【答案】B 【分析】把5名新教师分成3组，利用分组分配及排除法列式计算即得. 【详解】5名新教师按分组有种方法，按分组有种分法， 因此5名新教师的安排方案有种， 当甲乙在同一组时，甲乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种， 所以所求不同的安排方案有（种）. 故选：B 32.（2024·山西运城·高三统考期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 【答案】A 【解析】若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法有种.故选：A 33.（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 【答案】96 【解析】若选一男两女：种； 若选两男一女：种；所以一共种. 34.（24-25高三上·山东烟台·开学考试）安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家公司实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1人或2，2人；共有种实习方案，其中甲，乙到同一家实习的情况有种，则可得到甲､乙到同一家实习的概率. 【详解】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1人或2，2人, 即共有种实习方案， 其中甲，乙到同一家实习的情况有种， 故大学生甲､乙到同一家实习的概率为. 故选：D. 考点09：涂色问题 35.（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【答案】B 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 故选：B. 36.（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 37.（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【解析】首先给，两个顶点挂彩灯，有种方法，再给顶点挂彩灯，有种方法， ①若、挂同一种颜色的彩灯，则有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； ②若、挂不同种颜色的彩灯，此时挂点有种方法，挂点有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； 综上可得一共有种不同的方法. 考点10：求二项展开式的特定项 38.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】应用二项式定理得到展开式通项，进而写出第二项即可得. 【详解】由题设，展开式通项为，， 所以，第二项为. 故答案为： 39.（23-24高二下·浙江丽水·期中）的展开式中常数项是（    ） A．－225 B．－252 C．252 D．225 【答案】B 【解析】二项式的展开式通项为：， 令，解得，所以展开式的常数项为.故选：B 40.（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中的中间项． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项展开式通项可求得展开式的中间项. 【详解】解：的二项展开式中的中间项为. 41.（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【解析】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 考点11：二项式系数与系数最值问题 42.（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）的展开式中含项的系数为（ ） A．20 B．-20 C．30 D．-30 【答案】C 【解析】， 又的二项展开式的通项公式为， 故的二项展开式中、的系数为0，的系数为， 故的展开式中含项的系数为，故选：C. 43.（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算求解即得. 【详解】由展开式的通项公式可得，， 所以展开式中第4项的系数为. 故答案为：． 44.若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即.故选：B 45. 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 . 【答案】1792 【解析】由得，所以的展开式的通项为， 当展开式的项的系数最大时，为偶数， 比较，，，，， 所以当时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792. 46.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数性质求解即可. 【详解】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 47.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质可得第五项的二项式系数最大，由二项式展开的通项求解即可. 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 48．（24-25高三下·上海·阶段练习）在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项为 令，则， 故 ， 故答案为： 49．（24-25高二下·上海·阶段练习）若的展开式中的系数为，则 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】写出展开式的通项，令，求出，再代入计算即可得解. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，解得. 故答案为： 50．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则（   ） A．80 B．242 C．405 D．810 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、二项展开式各项的系数和 【分析】将给定的等式两边求导，再利用赋值法计算作答. 【详解】将两边求导， 得，显然均为正数，而均为负数， 令，得， 所以． 故选：D 考点12：二项式系数和问题 51.（23-24高二下·四川内江·期中）若，则 . 【答案】 【解析】因为， 令，可得. 52.（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 . （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）对，有， 则有，即； （2）由，则，， 故， 令，可得，即， 令，有， 即， 即. 53.（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A．722 B．729 C．-7 D．-729 【答案】A 【解析】设， 则， 所以. 又因为，所以， 所以.故选：A. 考点13：整除和余数问题 54.（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 【答案】D 【分析】二项式定理整除问题，把改写成，利用二项式定理展开，再令能被17整除，求出的最小值即可. 【详解】 ， 因为能被17整除， 所以上式中能被17整除即可满足题意， 所以， 即， 所以的最小值为16， 故选：D. 55.已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将看作进行展开，再利用二项展开式特点分析即得. 【详解】令，得，令，得， 两式相减，， 因为， 其中被3整除，所以被3除的余数为1， 综上，能被3整除． 故选：D. 考点14：综合提升 56．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 57．（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项； （2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数. 【答案】（1）-160；（2） 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】 （1）先根据二项式系数的性质得，求出二项式的展开式通项，令求解即可； （2）先由第2项系数求得，再根据分配律，结合二项式通项公式即可求解. 【详解】 （1）二项式的展开式的所有二项式系数和为，则， 所以二项式的展开式通项公式为， ，1，，6，令，解得，所以展开式的常数项为； （2）二项式的展开式的第二项为， 则，解得， 所以多项式的展开式中含的项为， 所以的系数为. 58．（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）根据有项的二项式系数的和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. （2）根据展开式中第项的系数求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数. 【详解】（1）若的所有项的二项式系数的和为， 则，展开式的通项公式为， 令，所以，展开式的常数项为. （2）展开式的通项公式为， 若展开式中第项系数为， 即， 则， 含的项为 ， 所以的系数为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题04 计数原理与二项式定理高频考点分类复习 考点01：两个计数原理 1．（24-25上海高二期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有 不同的结果. 3．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 考点02：排列数与组合数的计算 4.（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 5..（24-25高二上·上海松江·阶段练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 6.（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（   ） A． B． C． D． 考点03：特殊元素特殊位置问题 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 8．（2024上·山西太原·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．18 B．24 C．32 D．36 9．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 10．（2023·全国·模拟预测）第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（    ） A．360种 B．480种 C．620种 D．720种 11．（2024金山区联考期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 12．（2024建平中学高二期末）体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．96种 考点04：相邻与不相邻问题 13.（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 14..（24-25高二上·上海·阶段练习）行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 15.（23-24格致中学高二期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（   ） A．180种 B．190种 C．192种 D．240种 16.（23-24高二下上海期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（   ） A．120种 B．72种 C．48种 D．24种 17．（2024复旦附中期末）6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 18．（2024上海高二阶段练习）亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 19．（23-24高二下·上海·阶段练习）3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目 (1)甲不在最左边乙不在最右边 (2)男生必须排在一起 考点05：定序问题倍缩法 20.（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 21.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 考点06：相同元素隔板法 22.（22-23高二下·上海浦东新·期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答） 23..（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 24．（2023·全国·高三专题练习）某运输公司有个车队，每个车队的车多于辆.现从这个车队中抽出辆车组成一个运输队，且每个车队至少抽辆，则不同的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 26．（2022上·高二课时练习）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 考点07：排数问题 27.（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（    ） A．720 B．648 C．320 D．328 28.（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． （1）可以组成多少个三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 考点08：分组分配问题 29．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 30．（2022·全国·模拟预测）将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（    ） A．2720 B．3160 C．3000 D．2940 31.（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（    ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 32.（2024·山西运城·高三统考期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 33.（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 34.（24-25高三上·山东烟台·开学考试）安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家公司实习的概率为（    ） A． B． C． D． 考点09：涂色问题 35.（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 36.（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种B．300种C．360种D．420种 37.（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） 考点10：求二项展开式的特定项 38.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 39.（23-24高二下·浙江丽水·期中）的展开式中常数项是（    ） A．－225 B．－252 C．252 D．225 40.（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中的中间项． 41.（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 考点11：二项式系数与系数最值问题 42.（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）的展开式中含项的系数为（ ） A．20 B．-20 C．30 D．-30 43.（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 44.若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 45. 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 . 46.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 47.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 48．（24-25高三下·上海·阶段练习）在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 49．（24-25高二下·上海·阶段练习）若的展开式中的系数为，则 50．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则（   ） A．80 B．242 C．405 D．810 考点12：二项式系数和问题 51.（23-24高二下·四川内江·期中）若，则 . 52.（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A．722 B．729 C．-7 D．-729 53.（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 . （1）求的值； （2）求的值. 考点13：整除和余数问题 54.（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 55.已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 考点14：综合提升 56．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 57．（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项； （2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数. 58．（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$