第四讲 曲线与抛体运动 讲义 -2026届新高三暑假衔接课

夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第四讲 曲线与抛体运动 知识梳理 1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 【典例分析一】小船过河问题： 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 【典例分析二】绳(杆)端的关联速度问题：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。 2.平抛运动 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度 改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 两个重要推论： (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα。 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 1.曲线运动考点分析 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 4．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 典例分析 例1.关于曲线运动，下列说法中正确的是（    ） A．物体做曲线运动时，速度一定随时间均匀变化 B．做曲线运动的物体在某段时间内的路程不可能为零 C．物体做曲线运动时，加速度方向一定不断变化 D．物体做曲线运动时，其合力的方向与加速度方向一定不在同一直线上 例2.汽车上坡性能主要取决于发动机功率、传动系统效率、轮胎抓地力以及悬挂系统的性能。这些因素共同决定了汽车在爬坡时的表现。如图所示，汽车在圆形拱形桥上进行相关性能测试，若图中汽车正在减速上坡，则汽车此时所受合力F的画法合理的是（    ） A． B． C． D． 例3.如图所示，一无动力飞行爱好者在某次翼装飞行过程中，在同一竖直平面内从A到B滑出了一段曲线轨迹，该过程中，下列说法正确的是（　　） A．爱好者在某点所受合外力方向可能沿斜下方 B．爱好者的某一小段运动可转化为圆周运动来处理 C．爱好者在某点的速度方向可能与加速度方向共线 D．若爱好者在某点所受合外力方向与速度方向成锐角，爱好者的速度将减小 例4.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到点（点是曲线的拐点）时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从点运动到点的过程中，下列说法中正确的是（　　）    A．质点从到的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小 B．质点经过点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90° C．质点经过点时的加速度比点的大 D．质点经过点的速率比点的大 考点分析 2. 运动的合成与分解 1. 合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 2. 合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动同时开始，同时进行，同时结束 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 典例分析 例1.如图所示，一物体在光滑水平面上受到三个水平恒力的作用，物体沿图中速度方向做匀速直线运动，图中速度方向和的方向相反，的方向与的方向垂直。下列说法正确的是（　　） A．撤掉，物体做加速度变化的曲线运动 B．撤掉，物体做匀变速直线运动 C．撤掉，物体做匀速圆周运动 D．同时撤掉和，物体做加速度变化的曲线运动 例2.关于运动的合成与分解下列说法正确的是（　　） A．物体作抛物线运动可以分解为互成角度的一个匀速直线运动和匀变速直线运动 B．不在一条直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 C．不在一条直线上的两个直线运动的合运动不可以是圆周运动 D．不在一条直线上的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动 例3.各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（    ） A．时货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为150N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为11m 例4.在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系，一辆电动玩具小车在地板上运动，坐标原点为时刻小车的位置坐标，如图（a）所示，其沿轴正方向的速度随时间变化规律如图（b）所示，沿轴正方向的位移随时间的变化规律如图（c）所示（图线为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点），则（　　） A．小车的加速度大小为 B．时刻小车的速度大小为 C．时刻小车的位移大小为 D．时刻小车的位置坐标为（32m，24m） 考点分析 3.小船渡河问题 小船渡河的两种方式 1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种相关速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3．两种渡河方式 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 典例分析 例1.如图所示，一两岸平行的河宽为，、点为两侧河岸上正对着的两点。一艘小船从点出发渡河，渡河过程中小船保持船头始终与河岸垂直，在垂直河岸方向小船以的加速度从静止开始做匀加速直线运动。已知水流速度保持不变，小船到达对岸下游距离点20m处的点，下列说法正确的是（　　）    A．小船到达对岸的时间为20s B．水流速度为 C．只增大水流速度，过河时间变短 D．只增大水流速度，小船到达对岸时的速度大小不变 例2.如图所示，一条宽度两岸平行的河流，河中各处水流速大小均为，小船从点保持船头与河岸始终成角匀速驶向对岸，点的正对岸是点。小船在静水中的速度大小为。（，）下列说法正确的是（　　） A．小船刚好到达正对岸的点 B．小船到达对岸用时 C．小船到达对岸的位置在正对岸点的上游 D．若仅改变船头与岸的角度，小船可以在时间不变的情况下到正对岸的点 例3.如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道到固定目标的最近距离OA＝d。若不计空气阻力的影响，要想命中目标（靶心）且射出的箭在空中飞行时间最短（不考虑箭的竖直运动），则（　　） A．运动员放箭处到目标的距离为 B．运动员放箭处到目标的距离为 C．箭射到靶的最短时间为 D．箭射到靶的最短时间为 例4.有一条可视为质点的小船匀速横渡一条河宽为的河流，小船在静水中的速度为，水流速度为，则该小船（    ） A．可能垂直河岸到达正对岸 B．渡河的最短时间等于 C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．以最短位移渡河时，位移大小为 例5.．如图所示，河流宽度，各处水流速度大小均为。若小船在静水中的速度大小为，小船从A码头出发过河。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为25s B．小船渡河的最小位移为80m C．小船可以到达对岸B点的上游 D．小船以最小位移的方式到达对岸所需时间为 考点分析 4.关联速度 1 分解思路 1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．分解思路： 知识点2 解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 典例分析 例1.如图所示，物体A、B通过轻绳跨过轻质定滑轮相连接，在水平力F的作用下，B沿水平地面向右运动，A恰以3m /s的速度匀速上升。当轻绳与水平方向成角时（已知），B的速度大小为（　　） A．1.8 m/s B．2.4m /s C．3.75 m/s D．5m /s 例2.如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（    ） A． B． C． D． 例3.如图所示，竖直挡板放置在水平面上，长为的直杆一端可绕光滑固定轴转动，另一端固定一个质量为的光滑小球，小球靠在竖直挡板上，挡板以水平速度匀速向左运动。已知重力加速度为，当直杆与竖直方向夹角为且小球未与挡板脱离时，下列判断正确的是（　　） A．小球的速度大小为 B．小球的速度大小为 C．小球重力做功的功率为 D．小球重力做功的功率为 例4.如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A，B，О三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L>R），当OB杆以角速度逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块A从右向左滑动过程中（    ） A．滑块A做加速度减小的加速运动 B．滑块A做加速度减小的减速运动 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当β=90°时，滑块的速度大小为 考点分析 在于 5.平抛运动 1 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 6．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2 平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 典例分析 类型一：平抛运动的基本规律 例1.有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为（　　） A． B． C． D． 例2.某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 例3.连江含光廊桥如今已经成为连江人休闲的好去处。在这条廊桥附近有着丰富多彩的娱乐游戏项目，比如“套圈圈”游戏。如图所示小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，则（   ） A．大人抛出的圆环速度变化率较大 B．大人抛出的圆环在空中运动时间较长 C．大人抛出的圆环初速度较小 D．大人抛出的圆环在落地瞬间重力的功率较小 例4.如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比b的长 B．a的初速度可能比c的小 C．b的飞行时间比c的长 D．b与c的飞行时间相同 例5.在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。如图所示，某次在网前截击中，若郑钦文在球网正上方距地面处的点将球沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上点。已知底线到网的水平距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列有关说法正确的是（　　） A．网球击出后球的运动是加速度和速度都不断增大的曲线运动 B．网球从点击出至落在底线上点所用时间为 C．网球从点击出至落在底线上点位移的大小等于 D．网球做平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定 【答案】D 类型二：平抛运动推论的应用 例1.某游乐场有一项游乐项目，游戏选手从离地面高的发射平台把小球水平抛出，球垂直砸在表面为弹性材料的斜面A上，若能等速率反弹并沿原路回到发射平台即为游戏成功。如图所示，抛出点正下方是斜面A的最低点，忽略空气阻力，小球可视为质点，已知斜面与水平面夹角，重力加速度g取，。要想游戏成功，小球的抛出速度应为（　　） A． B． C． D． 例2.如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为和。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　） A． B． C． D． 例3.某同学以初速度水平抛出一个石子，石子在空中运动的轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为的斜坡上的A点。不计空气阻力，取，，，求： (1)石子打在A点的速度大小； (2)石子在空中运动的时间； (3)抛出点与A点在竖直方向的距离。 例4.跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同 B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比 C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角 D．运动员的质量越大，落点离A越远 考点分析 6.平抛运动的临界问题 1．平抛运动中临界问题的两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 3.典型规律 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 典例分析 例1.在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 例2.如图所示，在排球比赛中，发球员在底线中点距离地面高处将排球水平击出，已知排球场的长为，宽为，球网高为，重力加速度大小为g。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，排球初速度的最大值可能为（　　） A． B． C． D． 考点分析 7.斜抛运动 斜抛运动的基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 典例分析 例1.消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　） A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 例2.2024年7月31日，中国选手邓雅文在巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中夺得冠军。如图所示，某次翻越“山脊”过程中，自由式小轮车运动员以v0=10m/s的速度从“山脊”左侧A点飞出，飞出时速度与水平方向夹角为θ=53°，运动到最高点后落在“山脊”右侧B点。已知A、B两点间的高度差为h=1.8m，自由式小轮车及运动员可视为质点，取重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，空气阻力不计，求： (1)运动员运动到最高点时的速度大小； (2)运动员从A点运动到B点的时间。 例3.如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机在正对山坡坡面飞行的过程中，某时刻将一弹丸以与水平方向成60°的夹角、大小为的初速度斜向上方抛出，之后弹丸刚好垂直击中倾角为45°的斜坡，已知当地的重力加速度大小为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）    A．弹丸抛出后在空中飞行的时间为 B．弹丸抛出后在空中飞行的时间为 C．弹丸抛出后在空中飞行过程中，到所落斜坡坡面的最远距离为 D．弹丸抛出后在空中飞行过程中，到所落斜坡坡面的最远距离为 巩固练习 一、单选题 1．（2025·上海·一模）用运载火箭把“鹊桥”发射升空时，如图（b）所示水平风速为，当增大时，要保持火箭相对于地面的速度不变，则火箭相对于空气的速度需要（　　） A．减小 B．增大 C．不变 2．（24-25高一下·四川南充·期中）如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮，与质量为的物体连接，放在倾角为的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体连接。现、间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，在外力作用下以速度匀速下滑。设绳子的张力为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A做匀加速运动 B．物体A做匀速运动 C．可能小于 D．一定大于 3．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）2025年3月4日，重庆市大中小学国家安全教育工作推进会在重庆市育才中学校举行。会后，几名同学就如何以最短时间过河救人进行了讨论。假设在一条笔直的河道中，水流方向如题图所示，智能动力救生船由A点渡河，河宽200m，水流速度2m/s，救生船在静水中航行的速度5m/s。小船过河的最短时间为（　　） A．40s B．s C．s D．100s 4．（2025·河南·二模）如图甲所示，某人正在进行套圈游戏：将铁丝圈水平抛出，套中物体B就算赢。某次套圈时，铁丝圈的轨迹如图乙所示，落地点在物体B的正前方。为了使铁丝圈水平抛出后能套中物体，可采取的措施是（　　）（假设铁丝圈平面始终保持水平，不计空气阻力） A．仅适当增大抛出时的水平初速度 B．仅将抛出点A的位置适当上移 C．保持其他条件不变，套圈者适当后移 D．保持其他条件不变，套圈者适当前移 5．（24-25高一下·浙江衢州·期中）真人CS是同学们非常喜爱的一种军事模拟类真人户外竞技游戏，游戏使用仿真度极高的水弹枪威力不能太大，以免水弹对他人造成伤害。如图所示，为估算水弹射出时的速度，身高的小明同学在水平草地上持枪半蹲水平射出若干发水弹，观察到这些水弹落地点距离枪口约为，忽略空气阻力，则水弹从枪口射出时的速度约为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南·期中）一辆公交车沿直线匀速驶入站台时，站台上等候的某乘客不小心将手中小球掉落。若以小球为参考系，以公交车前进的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，不计空气阻力，则在下列四幅图中，可表示公交车运动轨迹的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西临汾·阶段练习）光滑的水平桌面上有一个直角坐标系，质量的物体从时刻由坐标原点沿桌面运动，它在x方向和y方向的分速度和随时间变化的图线如图所示。以下说法中正确的是（　　） A．物体所受合力的大小是，指向轴正方向 B．末，物体的位置坐标是 C．末，物体的速度是 D．时刻，物体的速度与轴正方向成角 8．（24-25高一下·湖南·期中）某同学站在台阶上将一可视为质点的小球以初速度水平抛出，小球抛出点距离地面高度为。与此同时，在小球抛出点正下方的一只小狗，由静止开始以恒定加速度沿水平方向朝着小球落地的位置跑去，试图接住小球。忽略空气阻力，重力加速度。若小狗刚好能在小球落地时接住它，下列说法错误的是（　　） A．小球在空中运动时间，且小球水平位移 B．小狗到达小球落地点时的速度大小为 C．若变为原来2倍，则小球在空中运动时间变为原来2倍 D．若变为原来2倍，小狗要在小球落地时接住它，则小狗加速度变为原来的2倍 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）某质点在Oxy平面内运动，时位于y轴上，在x方向运动的速度—时间图像如图甲所示，在y方向的位移—时间图像如图乙所示。质点（　　） A．时的速度大小为 B．内的位移大小为 C．时的位置坐标为（，） D．时的速度方向与x轴正方向夹角大于 10．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，三个可视为质点的小球a、b、c，先后从同一固定斜面（其中）的顶点A处水平抛出（初速度均平行于OD），落点分别为B、C、D。已知AB=BC，O、C、D三点共线且OC=CD，不计空气阻力，则小球a、b、c平抛时的初速度大小之比为（　　） A．1:2:4 B．1:4:8 C． D． 二、多选题 11．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为2l、l的a、b位置水平抛出，落地时水平位移分别为l、2l。忽略空气阻力，两箭都可以看做质点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两箭空中运动的位移相等 B．若改变两箭抛出的先后顺序和时间间隔，两箭可能在空中相遇 C．要想两箭落到同一点，a箭的初速度要变为原来的2倍 D．落地时a箭速度偏角正切值为b箭速度偏角正切值的 12．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，一质量为m的小球静止在A点，现给小球一水平向右的初速度，同时施加竖直向上、大小F=2mg的拉力，从A点运动到B点，在B点时撤去拉力继续运动到C点，运动轨迹如图中曲线ABC。曲线AB、BC恰好是以B为中心的中心对称图形，a、b是轨迹曲线上的两点，关于B点对称。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列对小球运动的描述正确的是（　　） A．小球运动到a、b两点时的速度相同 B．小球运动到a、b两点时加速度相同 C．小球在AB段与BC段运动的位移相同 D．小球在AB段与BC段运动的速度变化量相同 13．（24-25高一下·河南·期中）一小球从距离水平地面高为处的点，以水平向右的速度抛出，抛出后小球受到水平向左的恒定风力作用，小球正好落在点正下方的点。已知重力加速度为，小球的质量为，小球可看作质点，则（　　） A．小球的运动为平抛运动 B．小球在空中的运动时间为 C．小球运动过程中距离直线的最大距离为 D．水平风力的大小为 三、解答题 14．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图所示，一座小山的截面可近似视为底角的等腰三角形AOB，山高为。一架轰炸机以的速度水平匀速飞行，飞机飞到某位置时释放一枚炸弹，炸弹无动力飞行一段时间后，恰好落在坡面 AO的中点且速度与坡面垂直。不计空气阻力，不计炸弹大小，重力加速度g取，，。求： (1)炸弹落到OA坡面中点时的速度为多大； (2)轰炸机释放炸弹时离地面的高度为多少。 15．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）小明参加了跳台滑雪运动，他从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，如图所示。测得间的距离为，斜坡与水平方向的夹角为，不计空气阻力，取，求： (1)小明在空中飞行的时间； (2)小明在处飞出时的速度大小； (3)小明在空中离坡面的最大距离及所用的时间。 16．（24-25高一下·江西赣州·期中）如图为放置在水平桌面上的一个游戏弹射装置，该装置可以将弹性小球从出射口O点沿垂直于竖直墙壁的方向水平弹出，并且弹出的初速度大小可调节。某同学试射了两次，第一次击中了P点，第二次击中了Q点，P、Q两点距离出射口O点的竖直高度分别为20cm、45cm。已知出射口O点到竖直墙壁的距离为80cm，小球可看作质点，不计空气阻力，重力加速度大小取。求： (1)第一次小球从出射口O点弹出时的初速度大小； (2)第二次小球从出射口O点弹出，击中Q点时的速度大小（结果可用根号表示）。 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$夜市物理 新高三暑假自学衔接课 第四讲 曲线与抛体运动 知识梳理 1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 【典例分析一】小船过河问题： 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 【典例分析二】绳(杆)端的关联速度问题：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。 2.平抛运动 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度 改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 两个重要推论： (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα。 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 1.曲线运动考点分析 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 4．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 典例分析 例1.关于曲线运动，下列说法中正确的是（    ） A．物体做曲线运动时，速度一定随时间均匀变化 B．做曲线运动的物体在某段时间内的路程不可能为零 C．物体做曲线运动时，加速度方向一定不断变化 D．物体做曲线运动时，其合力的方向与加速度方向一定不在同一直线上 【答案】B 【详解】A．物体做匀变速曲线运动时，加速度变化时，则速度随时间不均匀变化，故A错误； B．做曲线运动的物体，路程不可能为0，故B正确； C．曲线运动的物体加速度可以保持不变，如平抛运动，故C错误； D．根据牛顿第二定律可知，物体做曲线运动时，其合力的方向与加速度方向一定在同一直线上，故D错误。 故选B。 例2.汽车上坡性能主要取决于发动机功率、传动系统效率、轮胎抓地力以及悬挂系统的性能。这些因素共同决定了汽车在爬坡时的表现。如图所示，汽车在圆形拱形桥上进行相关性能测试，若图中汽车正在减速上坡，则汽车此时所受合力F的画法合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AD．物体做曲线运动时，合外力及加速度指向运动轨迹凹的一侧，故AD错误； BC．汽车做减速曲线运动，合力与速度夹角为钝角，故C正确，B错误。 故选C。 例3.如图所示，一无动力飞行爱好者在某次翼装飞行过程中，在同一竖直平面内从A到B滑出了一段曲线轨迹，该过程中，下列说法正确的是（　　） A．爱好者在某点所受合外力方向可能沿斜下方 B．爱好者的某一小段运动可转化为圆周运动来处理 C．爱好者在某点的速度方向可能与加速度方向共线 D．若爱好者在某点所受合外力方向与速度方向成锐角，爱好者的速度将减小 【答案】B 【详解】A．曲线运动中，合外力方向指向轨迹弯曲的凹侧，故A错误； B．任何曲线运动都可拆分为小段的圆周运动来处理，故B正确； C．曲线运动速度方向和加速度方向不能共线，故C错误； D．若爱好者在某点所受合外力方向与速度方向成锐角，爱好者速度将增大，故D错误。故选B。 例4.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到点（点是曲线的拐点）时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从点运动到点的过程中，下列说法中正确的是（　　）    A．质点从到的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小 B．质点经过点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90° C．质点经过点时的加速度比点的大 D．质点经过点的速率比点的大 【答案】D 【详解】AC．由于质点做匀变速曲线运动，其加速度保持不变，由题意可知，加速度方向竖直向上，则质点从到的过程中加速度方向与速度方向的夹角减小，所以AC错误； B．质点经过点时的加速度方向与速度方向的夹角大于90°，所以B错误； D．质点经过点的速率比点的大，因为由C到D过程合外力负功，动能逐渐减小，所以D正确； 故选D。 考点分析 2. 运动的合成与分解 1. 合运动轨迹和性质的判断方法 标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线 (1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 (2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 2. 合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动同时开始，同时进行，同时结束 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 典例分析 例1.如图所示，一物体在光滑水平面上受到三个水平恒力的作用，物体沿图中速度方向做匀速直线运动，图中速度方向和的方向相反，的方向与的方向垂直。下列说法正确的是（　　） A．撤掉，物体做加速度变化的曲线运动 B．撤掉，物体做匀变速直线运动 C．撤掉，物体做匀速圆周运动 D．同时撤掉和，物体做加速度变化的曲线运动 【答案】B 【详解】A．题意知合力为0，故任意一个力与另外两个力的合力等大反向，故撤去后，物体合力与等大反向，由于大小不变，故物体加速度不变，且合力方向与速度不共线，故物体做加速度不变的曲线运动，故A错误； B．撤掉，物体合力与等大反向，即合力方向与速度方向反向，故物体做匀变速直线运动，故B正确； C．撤掉，物体合力与等大反向，图像可知合力方向与速度方向不共线且合力为恒力，故物体做匀变速曲线运动，但不是做匀速圆周运动（匀速圆周运动合力大小不变，方向时刻改变），故C错误； D．同时撤掉和，物体合力为且大小方向不变，此时物体速度方向与合力方向不共线，故物体做匀变速曲线运动，故D错误。 故选B。 例2.关于运动的合成与分解下列说法正确的是（　　） A．物体作抛物线运动可以分解为互成角度的一个匀速直线运动和匀变速直线运动 B．不在一条直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 C．不在一条直线上的两个直线运动的合运动不可以是圆周运动 D．不在一条直线上的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动 【答案】AD 【详解】A．物体作抛物线运动可以分解为互成角度的一个匀速直线运动和匀变速直线运动，选项A正确； B．不在一条直线上的两个匀加速直线运动的合运动不一定是匀加速直线运动，只有当合初速度和合加速度共线时合运动才是匀加速直线运动，选项B错误； C．不在一条直线上的两个直线运动的合运动可以是圆周运动，例如满足 的两个直线运动的合运动为圆周运动，方程为 选项C错误； D．不在一条直线上的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动，例如平抛运动，选项D正确。 故选AD。 例3.各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（    ） A．时货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是一条直线 C．货物所受的合力大小为150N D．0~2s这段时间内，货物的合位移大小为11m 【答案】C 【详解】AB．由图乙可知货物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为 由图丙可知货物在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，2s末货物的竖直分速度为3m/s，则时货物的速度大小为 货物的合运动为匀变速曲线运动，运动轨迹是一条抛物线，故AB错误； C．根据图丙可知，货物的加速度大小为 根据牛顿第二定律可得合力大小为 故C正确； D．由图乙可知0~2s这段时间内，货物的水平位移大小为 货物的竖直位移大小为 则合位移大小为 故D错误。 故选C。 例4.在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系，一辆电动玩具小车在地板上运动，坐标原点为时刻小车的位置坐标，如图（a）所示，其沿轴正方向的速度随时间变化规律如图（b）所示，沿轴正方向的位移随时间的变化规律如图（c）所示（图线为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点），则（　　） A．小车的加速度大小为 B．时刻小车的速度大小为 C．时刻小车的位移大小为 D．时刻小车的位置坐标为（32m，24m） 【答案】D 【详解】A．由图可知，小车沿轴正方向的运动为初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小沿轴正方向的运动也为初速度为零的匀加速直线运动，根据加速度大小为所以小车的实际加速度大小为方向与轴正方向成37°角，A项错误； B．由可知，时刻小车的速度大小为，B项错误； C．由运动学公式可得时刻小车的位移大小为，C项错误； D．同理可知时刻小车的位移大小为，，即时刻小车的位置坐标为，D项正确。故选D。 考点分析 3.小船渡河问题 小船渡河的两种方式 1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种相关速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3．两种渡河方式 方式 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝ 典例分析 例1.如图所示，一两岸平行的河宽为，、点为两侧河岸上正对着的两点。一艘小船从点出发渡河，渡河过程中小船保持船头始终与河岸垂直，在垂直河岸方向小船以的加速度从静止开始做匀加速直线运动。已知水流速度保持不变，小船到达对岸下游距离点20m处的点，下列说法正确的是（　　）    A．小船到达对岸的时间为20s B．水流速度为 C．只增大水流速度，过河时间变短 D．只增大水流速度，小船到达对岸时的速度大小不变 【答案】A 【详解】A．在垂直河岸方向有 解得小船到达对岸的时间为 故A正确； B．在沿河岸方向，有 解得水流速度为 故B错误； C．只增大水流速度，垂直河岸的分运动不变，即渡河时间不变，故C错误； D．只增大水流速度，根据运动的合成可知小船到达对岸时的速度大小变大，故D错误。 故选A。 例2.如图所示，一条宽度两岸平行的河流，河中各处水流速大小均为，小船从点保持船头与河岸始终成角匀速驶向对岸，点的正对岸是点。小船在静水中的速度大小为。（，）下列说法正确的是（　　） A．小船刚好到达正对岸的点 B．小船到达对岸用时 C．小船到达对岸的位置在正对岸点的上游 D．若仅改变船头与岸的角度，小船可以在时间不变的情况下到正对岸的点 【答案】C 【详解】A．小船沿河岸方向速度 可知该速度大于水流速度，即小船到达正对岸的点的上游位置，故A错误，C正确； B．小船沿垂直河岸方向有 解得小船过河时间 故B错误； D．若小船到达对岸的点要满足 即 可知变大，小船过河时间，时间变短，故D错误。 故选C。 例3.如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道到固定目标的最近距离OA＝d。若不计空气阻力的影响，要想命中目标（靶心）且射出的箭在空中飞行时间最短（不考虑箭的竖直运动），则（　　） A．运动员放箭处到目标的距离为 B．运动员放箭处到目标的距离为 C．箭射到靶的最短时间为 D．箭射到靶的最短时间为 【答案】A 【详解】CD．要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的箭速度v2的方向与OA线段平行，运动员骑马奔驰的速度v1和运动员相对静止时射出的箭速度v2的合速度v3的方向指向固定目标如图所示 箭射到靶的最短时间为 故CD错误； AB．动员放箭处到目标的距离为 解得 故A正确，B错误。 故选A。 例4.有一条可视为质点的小船匀速横渡一条河宽为的河流，小船在静水中的速度为，水流速度为，则该小船（    ） A．可能垂直河岸到达正对岸 B．渡河的最短时间等于 C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】C 【详解】A．因船在静水中的速度小于水流的速度，由平行四边形定则，求得合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到达正对岸，A错误； B．当船在静水中的速度垂直河岸渡河时时间最短，最短时间为 tmin==s=60s 故B错误； C．船以最短时间60s渡河时，沿着河岸的位移为 故C正确； D．当船在静水中速度与船的合速度垂直时，渡河的位移最短，如图所示 由三角形相似得，最短位移为 s=d=×180m=240m 故D错误。 故选C。 例5.．如图所示，河流宽度，各处水流速度大小均为。若小船在静水中的速度大小为，小船从A码头出发过河。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为25s B．小船渡河的最小位移为80m C．小船可以到达对岸B点的上游 D．小船以最小位移的方式到达对岸所需时间为 【答案】D 【详解】A．当船头指向河对岸时渡河的时间最短，则小船渡河的最短时间为选项A错误； BD．当船速与合速度垂直时，小船渡河的位移最小，最小位移为 此时渡河的时间为选项B错误，D正确； C．因船的静水速度小于河水流速，可知小船不可以到达对岸B点，只能到达B点的下游，选项C错误； 故选D。 考点分析 4.关联速度 1 分解思路 1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．分解思路： 知识点2 解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 典例分析 例1.如图所示，物体A、B通过轻绳跨过轻质定滑轮相连接，在水平力F的作用下，B沿水平地面向右运动，A恰以3m /s的速度匀速上升。当轻绳与水平方向成角时（已知），B的速度大小为（　　） A．1.8 m/s B．2.4m /s C．3.75 m/s D．5m /s 【答案】D 【详解】设B 的速度大小为vB，根据速度的合成与分解，可得 当α=53°时 B 的速度vB=5m /s 故选D。 例2.如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将B的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，则 解得 故选C。 例3.如图所示，竖直挡板放置在水平面上，长为的直杆一端可绕光滑固定轴转动，另一端固定一个质量为的光滑小球，小球靠在竖直挡板上，挡板以水平速度匀速向左运动。已知重力加速度为，当直杆与竖直方向夹角为且小球未与挡板脱离时，下列判断正确的是（　　） A．小球的速度大小为 B．小球的速度大小为 C．小球重力做功的功率为 D．小球重力做功的功率为 【答案】C 【详解】AB.小球的速vp可以分解为水平方向的v1和竖直方向的v2，如图所示， 其中水平方向的速度v1与挡板的速度相等，即根据几何知识可得，选项AB错误； CD．小球重力做功的功率为选项C正确，选项D错误。故选C。 例4.如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A，B，О三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L>R），当OB杆以角速度逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块A从右向左滑动过程中（    ） A．滑块A做加速度减小的加速运动 B．滑块A做加速度减小的减速运动 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当β=90°时，滑块的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．滑块A与B点沿杆方向的分速度相等；当B点处于水平杆O点左侧时，B点速度垂直杆OB向下，此时滑块处于最右端，滑块的速度为零；当B点处于水平杆O点右侧时，B点速度垂直杆OB向上，此时滑块处于最左端，滑块的速度为零；则滑块A从右向左滑动过程中，滑块A应先加速后减速，故AB错误； C．当OB杆与OA垂直时，此时B点速度与水平杆平行，即B点速度与滑块A的速度方向相同，则有可得滑块的速度大小为故C正确； D．当时，此时B点速度沿AB杆方向，设滑块的速度为，则有又联立解得故D错误。故选C。 考点分析 在于 5.平抛运动 1 平抛运动的基本规律 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2。 6．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2 平抛运动的两个重要推论 1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 典例分析 类型一：平抛运动的基本规律 例1.有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A．竖直方向上做自由落体运动，则，解得 故A错误； B．水平方向上匀速运动，则，解得 故B正确； C．物体落地时竖直方向的速度大小为 由，解得 故C正确； D．竖直方向上做自由落体运动，则 解得 故D正确。 故选BCD。 例2.某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，速度与水平方向的夹角为 【详解】（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有 解得 （2）网球在水平方向上有 解得 （3）竖直方向上，根据速度公式， 根据速度的合成有 ，速度与水平方向的夹角为。 例3.连江含光廊桥如今已经成为连江人休闲的好去处。在这条廊桥附近有着丰富多彩的娱乐游戏项目，比如“套圈圈”游戏。如图所示小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，则（   ） A．大人抛出的圆环速度变化率较大 B．大人抛出的圆环在空中运动时间较长 C．大人抛出的圆环初速度较小 D．大人抛出的圆环在落地瞬间重力的功率较小 【答案】BC 【详解】A．大人、小孩抛出的圆环在空中的加速度均为重力加速度，所以速度变化率相等，故A错误； BD．圆环在空中做平抛运动，竖直方向有 可得 由于大人抛出的圆环在空中下落高度较大，则大人抛出的圆环在空中运动时间较长；根据 可知大人抛出的圆环在落地瞬间重力的功率较大，故B正确，D错误； C．水平方向有 由于水平位移相等，大人抛出的圆环在空中运动时间较长，则大人抛出的圆环初速度较小，故C正确。 故选BC。 例4.如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比b的长 B．a的初速度可能比c的小 C．b的飞行时间比c的长 D．b与c的飞行时间相同 【答案】D 【详解】ACD．根据，得平抛运动的时间 b、c的高度相同，大于a的高度，可知a的飞行时间小于b、c的时间，b、c的运动时间相同，故AC错误，D正确； B．a、c相比较，因为a的飞行时间短，但是水平位移大，根据知，a的水平初速度大于c的水平初速度，故B错误。 故选D。 例5.在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。如图所示，某次在网前截击中，若郑钦文在球网正上方距地面处的点将球沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上点。已知底线到网的水平距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列有关说法正确的是（　　） A．网球击出后球的运动是加速度和速度都不断增大的曲线运动 B．网球从点击出至落在底线上点所用时间为 C．网球从点击出至落在底线上点位移的大小等于 D．网球做平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定 【答案】D 【详解】A．网球击出之后网球的运动视作平抛运动，平抛运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，速度不断增大，故A错误； B．竖直方向，根据，网球从击出至落地所用时间为，故B错误； C．网球从击球点至落地点的位移大小为，故C错误； D．根据 可知平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定，故D正确。 故选D。 类型二：平抛运动推论的应用 例1.某游乐场有一项游乐项目，游戏选手从离地面高的发射平台把小球水平抛出，球垂直砸在表面为弹性材料的斜面A上，若能等速率反弹并沿原路回到发射平台即为游戏成功。如图所示，抛出点正下方是斜面A的最低点，忽略空气阻力，小球可视为质点，已知斜面与水平面夹角，重力加速度g取，。要想游戏成功，小球的抛出速度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，小球垂直射到斜面上，则有 又因为小球从离地面高处抛出，根据几何关系可知 其中， 联立解得， 故选B。 例2.如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为和。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由平抛运动规律得水平方向 竖直方向 而 解得 代入数据可得 水平位移之比 故选D。 例3.某同学以初速度水平抛出一个石子，石子在空中运动的轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为的斜坡上的A点。不计空气阻力，取，，，求： (1)石子打在A点的速度大小； (2)石子在空中运动的时间； (3)抛出点与A点在竖直方向的距离。 【答案】(1)25m/s (2)2s (3)20m 【详解】（1）石子垂直打在斜坡上A点，有 解得石子打在A点的速度大小为 （2）石子打在A点时，有 又 解得石子在空中运动的时间为 （3）抛出点与A点在竖直方向的距离为 解得 例4.跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同 B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比 C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角 D．运动员的质量越大，落点离A越远 【答案】A 【详解】A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确； B．落点到A的距离利用平抛规律，，，得，所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误； C．速度与水平方向夹角的正切值是，C错误； D．落点与质量无关，D错误。故选A。 考点分析 6.平抛运动的临界问题 1．平抛运动中临界问题的两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 3.典型规律 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 典例分析 例1.在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为，如图所示 显然所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有，解得，故AB错误； C．排球击出时的速度大小故C正确； D．排球着地时的速度大小故D错误。故选C。 例2.如图所示，在排球比赛中，发球员在底线中点距离地面高处将排球水平击出，已知排球场的长为，宽为，球网高为，重力加速度大小为g。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，排球初速度的最大值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】排球的飞行时间是固定不变的，当排球的水平位移最大时，其初速度有最大值，也就是说排球恰好落在对方球场区域的两个边角中的其中一个角时排球的水平位移最大，根平抛运动规律可得，解得排球初速度的最大值故选D。 考点分析 7.斜抛运动 斜抛运动的基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 典例分析 例1.消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（　　） A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 【答案】B 【详解】AB．令喷出水的初速度与水平方向夹角为，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有 解得 根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确； C．斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有 根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间 解得 即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误； D．斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度 结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。 故选B。 例2.2024年7月31日，中国选手邓雅文在巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中夺得冠军。如图所示，某次翻越“山脊”过程中，自由式小轮车运动员以v0=10m/s的速度从“山脊”左侧A点飞出，飞出时速度与水平方向夹角为θ=53°，运动到最高点后落在“山脊”右侧B点。已知A、B两点间的高度差为h=1.8m，自由式小轮车及运动员可视为质点，取重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，空气阻力不计，求： (1)运动员运动到最高点时的速度大小； (2)运动员从A点运动到B点的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）运动员运动到最高点时，竖直方向的分速度为零，由速度分解得 解得运动员运动到最高点时的速度大小为 （2）在A点由速度分解得 运动员从A点运动到B点的过程中，取竖直向下为正方向，在竖直方向由匀变速直线运动的规律得 解得 例3.如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机在正对山坡坡面飞行的过程中，某时刻将一弹丸以与水平方向成60°的夹角、大小为的初速度斜向上方抛出，之后弹丸刚好垂直击中倾角为45°的斜坡，已知当地的重力加速度大小为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）    A．弹丸抛出后在空中飞行的时间为 B．弹丸抛出后在空中飞行的时间为 C．弹丸抛出后在空中飞行过程中，到所落斜坡坡面的最远距离为 D．弹丸抛出后在空中飞行过程中，到所落斜坡坡面的最远距离为 【答案】C 【详解】AB．由题意可知，弹丸在水平方向的初速度大小为在竖直方向的初速度大小为落至斜坡时，竖直方向的速度大小为由几何关系可知解得故AB错误； CD．弹丸落至斜坡时的速度大小为弹丸在垂直于斜面方向上的加速度大小为由逆向思维可知，弹丸到坡面的最远距离解得故C正确，D错误。故选C。 巩固练习 一、单选题 1．（2025·上海·一模）用运载火箭把“鹊桥”发射升空时，如图（b）所示水平风速为，当增大时，要保持火箭相对于地面的速度不变，则火箭相对于空气的速度需要（　　） A．减小 B．增大 C．不变 【答案】B 【详解】速度的分解关系如图 当增大时，要保持火箭相对于地面的速度不变，需要增大。 故选B。 2．（24-25高一下·四川南充·期中）如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮，与质量为的物体连接，放在倾角为的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体连接。现、间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，在外力作用下以速度匀速下滑。设绳子的张力为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A做匀加速运动 B．物体A做匀速运动 C．可能小于 D．一定大于 【答案】D 【详解】由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示 根据平行四边形定则，可知；因B以速度匀速下滑，又增大，所以增大，则物体A做变加速运动；对A进行受力分析，结合牛顿第二定律，则有。 故选D。 3．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）2025年3月4日，重庆市大中小学国家安全教育工作推进会在重庆市育才中学校举行。会后，几名同学就如何以最短时间过河救人进行了讨论。假设在一条笔直的河道中，水流方向如题图所示，智能动力救生船由A点渡河，河宽200m，水流速度2m/s，救生船在静水中航行的速度5m/s。小船过河的最短时间为（　　） A．40s B．s C．s D．100s 【答案】A 【详解】当救生船的速度垂直河对岸时过河的时间最短，则最短过河时间为 故选A。 4．（2025·河南·二模）如图甲所示，某人正在进行套圈游戏：将铁丝圈水平抛出，套中物体B就算赢。某次套圈时，铁丝圈的轨迹如图乙所示，落地点在物体B的正前方。为了使铁丝圈水平抛出后能套中物体，可采取的措施是（　　）（假设铁丝圈平面始终保持水平，不计空气阻力） A．仅适当增大抛出时的水平初速度 B．仅将抛出点A的位置适当上移 C．保持其他条件不变，套圈者适当后移 D．保持其他条件不变，套圈者适当前移 【答案】C 【详解】AB．根据平抛运动规律， 可得铁丝圈水平抛出后水平方向位移 由图知，为了使铁丝圈水平抛出后能套中物体，则需要减小。若仅增大抛出时的初速度将使水平射程增大；仅将抛出点适当上移，将使铁丝圈飞行时间增大，水平射程也将增大，故AB错误； CD．保持其他条件不变，套圈者适当后移，也就是将原运动轨迹适当向后平移，铁丝圈水平抛出后能套中物体；同理，保持其他条件不变，套圈者适当前移，也就是将原运动轨迹适当向前平移，铁丝圈水平抛出后不可能套中物体。故C正确，D错误。 故选C。 5．（24-25高一下·浙江衢州·期中）真人CS是同学们非常喜爱的一种军事模拟类真人户外竞技游戏，游戏使用仿真度极高的水弹枪威力不能太大，以免水弹对他人造成伤害。如图所示，为估算水弹射出时的速度，身高的小明同学在水平草地上持枪半蹲水平射出若干发水弹，观察到这些水弹落地点距离枪口约为，忽略空气阻力，则水弹从枪口射出时的速度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】身高的小明同学在水平草地上持枪半蹲水平射出若干发水弹，观察到这些水弹落地点距离枪口约为，水弹在空中做平抛运动，竖直方向有 可得 水平方向有 其中 联立解得水弹从枪口射出时的速度为 故选C。 6．（24-25高一下·云南·期中）一辆公交车沿直线匀速驶入站台时，站台上等候的某乘客不小心将手中小球掉落。若以小球为参考系，以公交车前进的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，不计空气阻力，则在下列四幅图中，可表示公交车运动轨迹的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以小球为参照物，以汽车前进方向为正x轴方向，竖直向下为y轴，公交车的运动可视为沿x轴正方向的匀速直线运动和竖直向上的自由落体运动的合运动，即相当于沿x轴正方向且向上弯曲的类平抛运动。符合公交车运动轨迹的是C图。 故选C。 7．（24-25高一下·山西临汾·阶段练习）光滑的水平桌面上有一个直角坐标系，质量的物体从时刻由坐标原点沿桌面运动，它在x方向和y方向的分速度和随时间变化的图线如图所示。以下说法中正确的是（　　） A．物体所受合力的大小是，指向轴正方向 B．末，物体的位置坐标是 C．末，物体的速度是 D．时刻，物体的速度与轴正方向成角 【答案】D 【详解】A．由图可知，物体在y轴方向做匀速直线运动，在x轴方向做匀减速直线运动，方向沿x轴正方向，物体的加速度沿x轴负方向，大小 物体受到的合力 负号表示加速度的方向指向x轴负方向，故A错误； B．由图可知物体沿y轴方向的速度始终是4m/s，沿x方向的初速度为4m/s，则物体2s内沿x方向的位移 物体沿y方向的位移 所以2s末，物体的位置坐标是（6 m，8m），故B错误； C．t=2s时，物体沿x方向的速度 末，物体的速度大小为 故C错误； D．时刻，物体的速度与轴正方向成角，则 解得 故D正确。 故选D。 8．（24-25高一下·湖南·期中）某同学站在台阶上将一可视为质点的小球以初速度水平抛出，小球抛出点距离地面高度为。与此同时，在小球抛出点正下方的一只小狗，由静止开始以恒定加速度沿水平方向朝着小球落地的位置跑去，试图接住小球。忽略空气阻力，重力加速度。若小狗刚好能在小球落地时接住它，下列说法错误的是（　　） A．小球在空中运动时间，且小球水平位移 B．小狗到达小球落地点时的速度大小为 C．若变为原来2倍，则小球在空中运动时间变为原来2倍 D．若变为原来2倍，小狗要在小球落地时接住它，则小狗加速度变为原来的2倍 【答案】C 【详解】A．小球做平抛运动，在竖直方向，可得小球在空中运动时间 小球水平位移 故A正确，不符合题意； B．小狗位移为小球水平位移，由，解得小狗速度 故B正确，不符合题意； C．根据，h变为原来2倍，小球在空中运动时间变为原来倍，故C错误，符合题意； D．由，变为原来2倍，小球水平位移变为原来2倍，小狗位移也变为原来2倍，在竖直方向高度不变，小球在空中运动时间不变。由，小狗要在小球落地时接住它，则小狗加速度变为原来的2倍，故D正确，不符合题意。 故选C。 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）某质点在Oxy平面内运动，时位于y轴上，在x方向运动的速度—时间图像如图甲所示，在y方向的位移—时间图像如图乙所示。质点（　　） A．时的速度大小为 B．内的位移大小为 C．时的位置坐标为（，） D．时的速度方向与x轴正方向夹角大于 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度大小为 则时的速度大小为 故A错误； B．内x方向的位移大小为 y方向的位移大小为，则内的位移大小为 故B错误； C．内x方向的位移大小为 时位于y轴上，结合图乙可知，时的位置坐标为（，），故C正确； D．时的速度方向与x轴正方向夹角的正切值为 可知时的速度方向与x轴正方向夹角小于，故D错误。 故选C。 10．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，三个可视为质点的小球a、b、c，先后从同一固定斜面（其中）的顶点A处水平抛出（初速度均平行于OD），落点分别为B、C、D。已知AB=BC，O、C、D三点共线且OC=CD，不计空气阻力，则小球a、b、c平抛时的初速度大小之比为（　　） A．1:2:4 B．1:4:8 C． D． 【答案】D 【详解】设小球a、b、c平抛时的初速度大小分别为va、vb、vc，对小球a、b，竖直方向有 水平方向有 联立可得 对小球b、c，有， 可得 因此 故选D。 二、多选题 11．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）投壶是由古代礼仪演化而来，非常盛行的一种文雅游戏。如图，某次投壶游戏时，两箭分别从高度为2l、l的a、b位置水平抛出，落地时水平位移分别为l、2l。忽略空气阻力，两箭都可以看做质点，下列说法正确的是（　　） A．a、b两箭空中运动的位移相等 B．若改变两箭抛出的先后顺序和时间间隔，两箭可能在空中相遇 C．要想两箭落到同一点，a箭的初速度要变为原来的2倍 D．落地时a箭速度偏角正切值为b箭速度偏角正切值的 【答案】BC 【详解】A．a、b两箭在空中运动的位移大均为 但位移方向不相同，故A错误； B．若a箭先抛出，b箭后以更大的初速度抛出，两箭可以在空中相遇，故B正确； C．由平抛运动规律， 可得 可得a、b点抛出的初速度分别为， 故要想两箭落到同一点，a箭的初速度要变为原来的2倍，故C正确； D．由图可知，a箭位移偏角的正切值为b箭位移偏角正切值的4倍，根据平抛运动的推论，a箭速度偏角的正切值也应为b箭的4倍，故D错误。 故选BC。 12．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，一质量为m的小球静止在A点，现给小球一水平向右的初速度，同时施加竖直向上、大小F=2mg的拉力，从A点运动到B点，在B点时撤去拉力继续运动到C点，运动轨迹如图中曲线ABC。曲线AB、BC恰好是以B为中心的中心对称图形，a、b是轨迹曲线上的两点，关于B点对称。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列对小球运动的描述正确的是（　　） A．小球运动到a、b两点时的速度相同 B．小球运动到a、b两点时加速度相同 C．小球在AB段与BC段运动的位移相同 D．小球在AB段与BC段运动的速度变化量相同 【答案】AC 【详解】ABC．小球的受力与运动情况是：在AB段受恒力作用，运动到B点时，力的方向调整为相反的方向；小球在BC段的运动视为AB段的逆过程，所以小球运动到a、b两点时的速度一定相等；加速度大小相等方向相反；小球在AB段运动的位移与BC段运动的位移相等，故AC正确，B错误； D．在AB段与BC段运动时力的方向相反，速度的变化量大小相等，方向相反，故D错误。 故选AC。 13．（24-25高一下·河南·期中）一小球从距离水平地面高为处的点，以水平向右的速度抛出，抛出后小球受到水平向左的恒定风力作用，小球正好落在点正下方的点。已知重力加速度为，小球的质量为，小球可看作质点，则（　　） A．小球的运动为平抛运动 B．小球在空中的运动时间为 C．小球运动过程中距离直线的最大距离为 D．水平风力的大小为 【答案】BC 【详解】A．由于小球受到重力和水平向左的恒定风力，故小球做的不是平抛运动，故A错误； B．对小球，竖直方向有 解得 故B正确； C．设小球水平方向加速度大小为，水平方向有 代入题中数据，联立解得 当小球在水平方向速度减为0时，距离直线的距离最大，则最大距离 故C正确； D．水平风力的大小为 故D错误。 故选BC。 三、解答题 14．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图所示，一座小山的截面可近似视为底角的等腰三角形AOB，山高为。一架轰炸机以的速度水平匀速飞行，飞机飞到某位置时释放一枚炸弹，炸弹无动力飞行一段时间后，恰好落在坡面 AO的中点且速度与坡面垂直。不计空气阻力，不计炸弹大小，重力加速度g取，，。求： (1)炸弹落到OA坡面中点时的速度为多大； (2)轰炸机释放炸弹时离地面的高度为多少。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设炸弹落到OA中点时速度为，根据题意 解得 （2）设沿竖直方向的分速度为，则 设飞机第一次释放炸弹时离地面的高度为H，则 解得 15．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）小明参加了跳台滑雪运动，他从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，如图所示。测得间的距离为，斜坡与水平方向的夹角为，不计空气阻力，取，求： (1)小明在空中飞行的时间； (2)小明在处飞出时的速度大小； (3)小明在空中离坡面的最大距离及所用的时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，竖直方向有 解得小明在空中飞行的时间为 （2）水平方向有 解得小明在处飞出时的速度大小为 （3）将小明在空中的运动分解为沿斜坡方向和垂直斜坡方向两个分运动，垂直斜坡方向的初速度大小和加速度大小分别为， 则小明在空中离坡面的最大距离为 所用的时间为 16．（24-25高一下·江西赣州·期中）如图为放置在水平桌面上的一个游戏弹射装置，该装置可以将弹性小球从出射口O点沿垂直于竖直墙壁的方向水平弹出，并且弹出的初速度大小可调节。某同学试射了两次，第一次击中了P点，第二次击中了Q点，P、Q两点距离出射口O点的竖直高度分别为20cm、45cm。已知出射口O点到竖直墙壁的距离为80cm，小球可看作质点，不计空气阻力，重力加速度大小取。求： (1)第一次小球从出射口O点弹出时的初速度大小； (2)第二次小球从出射口O点弹出，击中Q点时的速度大小（结果可用根号表示）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于击中P点的小球，根据平抛运动的规律，水平方向上 竖直方向上 第一次小球从出射口O点弹出时的初速度大小 （2）对于击中Q点的小球，根据平抛运动的规律 水平方向上 竖直方向上， 击中Q点时速度大小为 解得 轻松学物理 1 学科网（北京）股份有限公司 $$