课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学下册（人教版 安徽专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第十六章 二次根式 ⊙)考点1二次根式 1.定义：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 2.二次根式应满足的条件 (1)含有二次根号“”：(2)被开方数是非负数 【注意】被开方数a可以是数，也可以是代数式. 3.二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数，即a有意义一a≥0. 4.二次根式无意义的条件：被开方数（式）是负数，即a无意义台a<0. 【拓展延伸】求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的三种类型：(1)二次根式：被 开方数大于等于0.(2)分式：分母不等于0.(3)“复合型”式子：取使得各部分都有意义 的字母取值范围的公共部分 ○)考点2)二次根式的性质 1.二次根式的非负性 因为a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，而非负数a的算术平方根也是非负数，即a(a ≥0)也是非负数，故二次根式ā具有双重非负性，即 (1)被开方数具有非负性，即a≥0： (2)非负数a的算术平方根也具有非负性，即a≥0(a≥0) 【拓展延伸】当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0： 2.二次根式的基本性质 性质 文字语言 应用及拓展 (1)正用公式：如(2)2=2 一个非负数的算术平方根 (a)2=a(a≥0) 的平方等于它本身 (2)逆用公式：若a≥0，则a=(va)2, 如5=(5)2 化简形如√匠的式子时，先转化为lal, a2=lal= a(a≥0) 一个数的平方的算术平方 再根据a的符号去掉绝对值符号，如 -a(a<0) 根等于这个数的绝对值 /(T-4)2=1π-41=4-π. ⊙考点3二次根式的运算 1.二次根式的乘法：a·b=√ab(a≥0，b≥0) 积的算术平方根：√ab=√a·W石(a≥0，b≥0).实质是逆用二次根式的乘法法则 2二次根式的除法： 6√6(a≥0，>0). a 商的算术平方根：层-(a≥0，>0，.实质是道用二次根式的除法法则 安徽专版·ZBR·八年级数学下 3.最简二次根式 被开方数不含分母： (1)满足条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 (2)化简二次根式的一般方法 ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方： ②化去根号下的分母：a.若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数：b.若被开方数 中含有小数，应先将小数化成分数：.若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形 式再进行开方运算： ③被开方数是多项式的要先进行因式分解. 4.分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化， 分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中 的根号（有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，它们的积不含有根式）. 5.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开 方数相同的二次根式进行合并. 6.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先算乘方、开 方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.且运算结果要化成最简二次根式 【补充提醒】整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运 算中仍然适用】 第十七章 勾股定理 ⊙)考点1勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 【注意】应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的斜边，不一定是斜边 2.勾股定理的验证：验证勾股定理的方法比较多，如测量法、数格子法、拼图法（拼接法和割补 法)等，最常用的是拼图法.如下表： 方法 图形 推导过程 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角 拼接法 梯形，根据整体的面积等于各部分的面积之和，得S二2(a+b) a+6)归2X2zb+22所以a+6=2 在边长为c的小正方形的每条边上补上一个边长分别为a,b,c 的直角三角形(c为斜边)，得到一个以a+b为边长的大正方形， 割补法 则(a+b)'=4x2b+c,所以a2+=c 把边长为c的大正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小 正方形，则4x2b+(a-b)2=c,所以a2+=c 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 ○考点2)利用勾股定理求面积 图形面积之间的关系：常见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形，如 图所示，它们具有相同的结论，即S,+S2=S,与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正 六边形等时，结论同样成立 考点3作长为n(n为大于1的整数)的线段 1.实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对 应的点，对于无理数，可以借助勾股定理作出长为n(n为大于1的整数)的线段 2.用勾股定理画长为√n的线段：一般地，作长为n(n为大于1的整数)的线段的关键是找到 两个数a,b,使a2+b2=n,因此只要作出直角边长为a,b的直角三角形，斜边的长即为n. ⊙)考点4勾股定理的逆定理及勾股数 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 是直角三角形 2.直角三角形的判定方法 (1)根据角：利用两锐角互余判定： (2)根据边：运用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 步骤：①确定最长边：②计算最长边的平方及较短两边的平方和：③比较计算结果， 作出判断，若相等，则是直角三角形否则，不是直角三角形 3勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数， 4.常见的勾股数：①3,4,5：②6,8,10：③5,12,13：④7,24,25：⑤815,17：⑥9,12,15. ○)考点5勾股定理的简单应用 1.求长度、宽度：利用图中直角三角形，或作辅助线（作垂线）构造直角三角形：确定 待求线段与相关直角三角形已知边的关系， 2.最短路径问题：常涉及的定理有：两点之间线段最短和垂线段最短， 利用勾股定理解决最短路径问题主要体现在：(1)台阶中的最短路径问题：(2)立体图形（圆 柱、长方体或正方体等)中的最短路径问题 ○⊙考点6)互逆命题与互逆定理 1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果 把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题， 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这 两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 3 安徽专版·ZBR·八年级数学下 第十八章 平行四边形 ○考点1平行四边形的性质 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形， 2.平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 (1)边 (2)角 AD=BC,AB=CD,AD∥BC,AB∥CD ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 「对角线互相平分 (3)对角线 0M=0C=24C,0B=0D=2BD 【拓展延伸】(1)平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，并且相邻的 两个小三角形周长之差等于邻边之差.(2)过对角线交点的直线一定平分平行四边形的 周长和面积 3.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离相等.两条平行线中，一条 直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 ⊙)考点2)平行四边形的判定 平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 :AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (1)边 ,AD=BC,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ,ADBC(或AB LCD),∴.四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (2)角 ,∠DAB=∠DCB,∠ABC=∠ADC,∴.四边形ABCD是平行四边形 「对角线互相平分的四边形是平行四边形 (3)对角线 :OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形 心》考点3)三角形的中位线及直角三角形斜边中线的性质 1.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线）. 2.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 3.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【拓展延伸】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是矩形性质的推论，其成立的 前提是在直角三角形中，对一般的三角形不适用.(2)直角三角形斜边上中线的性质的逆 命题也是真命题，即如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直 角三角形 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 ○)考点4矩形的性质和判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形. 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， 矩形的四个角都是直角 (1)角 .四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90 矩形的对角线相等 (2)对角线 四边形ABCD是矩形，.AC=BD ①有两条对称轴 (3)对称性 ②对称轴是过每组对边中，点的直线 【拓展延伸】(1)矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形：(2)矩形的 两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形： 3.矩形的判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形 :∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，.四边形ABCD是矩形 (1)角 ②定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ,四边形ABCD是平行四边形，∠CDA=90°，.四边形ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形 (2)对角线 .四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形 【注意】对角线相等的四边形不一定是矩形 ○考点5菱形的性质和判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质 四条边都相等 (1)边} :四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=DA 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (2)对角线：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB=∠ABD =∠CBD,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA ①有两条对称轴 (3)对称性 ②对称轴是两条对角线所在的直线 【拓展延伸】①对角线互相垂直平分的四边形是菱形：②菱形的对角线将菱形分成4个全 对角线长的乘积 等的直角三角形：③菱形的面积= :④菱形既是轴对称图形，又是中心对称 图形，对称轴是它的对角线所在的直线。 5 安徽专版·ZBR·八年级数学下 3.菱形的判定 ①定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在□ABCD中，AB=BC,∴.□ABCD是菱形 (1)边 ②四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，，AB=BC=CD=DA,,四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)对角线 在口ABCD中，AC⊥BD,.□ABCD是菱形 【注意】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形。 ○)考点6正方形的性质和判定 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 2.性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质. 3.正方形的判定 ǐ①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形 (1)从四边形出发 ②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 (2)从平行四边形出发 ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)从矩形出发 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ①有一个角是直角的菱形是正方形 (4)从菱形出发 ②对角线相等的菱形是正方形 4.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对角线互相垂直平分，每一条 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等， 正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 每一条对角线平分一组对角 【拓展延伸】顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中，点四边形.平行四边 形的中点四边形是平行四边形；矩形的中，点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正 方形的中点四边形是正方形：⑤任意四边形的中点四边形是平行四边形. 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 第十九章 一次函数 ⊙考点1函数 1.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数 2.确定自变量取值范围的方法 ①要使函数关系式有意义：②还应该使得问题有实际意义， 3.描点法画函数图象的一般步骤如下： 列表一表中给出一些自变量的值及其对应的函数值： 描点一在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值 对应的各点： 连线— 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来」 ○)考点2一次函数的图象及性质 1.正比例函数 (1)定义：一般地，形如y=x(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数， (2)图象：一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称 它为直线y=kx(k≠0) 2.一次函数 (1)定义：一般地，形如y=x+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数 (2)图象：一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它是直线y=+b (k≠0).当b≠0时，它是过点(0，b)且与直线y=x(k≠0)平行的一条直线 3.一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b(k≠0) k>0 k<0 k,b的符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 2 图象的位置 / 木 0云 小 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 【拓展延伸】(1)由k,b的符号可以确定直线y=kx+b所经过的象限：反之，由直线y=k+ b所经过的象限也可以确定k,b的符号.(2)k决定一次函数y=kx+b的增减性，b决定函 数图象与y轴的交点位置， 4.待定系数法求一次函数解析式的步骤 (1)设：设函数解析式为y=kx+b(k≠0)： (2)代：将已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数解析式，得到关于k,b的二元 一次方程组： (3)解：解方程组，求出k,b的值： 安徽专版·ZBR·八年级数学下 (4)代：将求得的k,b的值代到所设的函数解析式中，即可得到所求的一次函数解析式 5.一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线y=kx向上或向下平移1b1个单位 长度得到的， ○考点3一次函数与方程（组）、不等式的关系 -元一次方程x+b=0(≠0的解 与一元一次 方程的关系 ① ,直线y=x+6(岳≠0)与x轴交点的横坐标 一次函效 与方程() 一元一次不等式r+b>0(x+b<0k≠0)的解集 与一元一次 不等式的 ① 不等式的关系 关系 直线y=x+h东x轴上方（下方）部分对应的自 变资的取值范固 与二元一次方程()的关系：两个一次弱敏图象的交点，即 为和应二元一次方程组的解 ⊙考点4)一次函数的应用 1.解决实际问题：根据实际问题分别求出各个方案的函数表达式，再通过计算，得出结论 2.几何图形的探究问题：要结合图形分析已知条件，然后利用几何图形上的点的坐标、点之间的 距离、图形的周长以及面积的计算公式、特殊图形的性质等，找出等量关系，列出一次函数表 达式，从而求解相关问题， 第二十章 数据的分析 (○)考点1)数据的集中趋势 1.算术平均数：一般地，对于n个数1，，…，x,我们把(，+，++x,)叫做这n个数的算术 平均数，简称平均数，记为x 2.加权平均数：如果n个数中x,出现了f次，x2出现了次，…，x出现了f次，且f+5+…f =n,那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x=(x+x2++xf),这 样求得的平均数叫做加权平均数，其中f,…分别叫做x,x2,…,的权， 3.中位数：将一组数据按照由大到小或由小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则称处于 中间位置的数为这组数据的中位数：如果数据的个数为偶数，则称中间两个数据的平均数为 这组数据的中位数， 4.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数， ○考点2数据的波动程度 1.方差：若数据x1,2,…,x的平均数为元，则方差2=[(x-x2+(,-x)2++(x-)21.方 差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小 2.极差：一组数据中最大值与最小值的差称为这组数的极差.（仅仅反映数据波动范围） 3.标准差：方差的算术平方根。 【注意】一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 8