精品解析：山西省太原市第五中学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

太原五中2024~2025学年第二学期高一年级5月月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章解三角形，第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 2. 如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 椭圆 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 3. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ ） A. A，B，C，D四点中必有三点共线 B. 直线与相交 C. A，B，C，D四点中不存在三点共线 D. 直线与平行 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知条件将四个点的位置定下来，可得选项. 【详解】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确， 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故D不正确， 故选：C. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误； 若，，则或，又， 则与可能平行，可能相交，故C错误； 两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确． 故选：D． 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，所以， 所以，所以， 因为，，所以，，则， 所以为直角三角形，但为直角三角形时不一定是， 所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 已知圆锥的母线长度为6，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径． 【详解】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示： 又蚂蚁爬行的最短路程为，故，又， 所以， 所以．设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，所以， 所以圆锥的体积． 故选：B． 7. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知这是一个正四面体，即各面都是等边三角形，通过平移，就可作出异面直线所成的角，再进行解三角形计算,就可得到结果. 【详解】 取线段的中点G，连接由点是棱的中点，可得， 所以为直线与所成角或其补角． 不妨设，由等边三角形可得，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以．在中，由余弦定理得， 即直线PD与CE所成角的余弦值为． 故选：C． 8. 已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并由单调性得，再利用正弦定理及三角恒等变换，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】令函数，函数在上都递增， 则函数在上递增，由，得， 即，由为锐角三角形，得，因此，， 由及正弦定理得，则，， 又，，则， 因此 ， 由，得，则， 所以的取值范围为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点D到平面ABC的距离为 D. 球O的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，证明，即可用勾股定理求解； 对于B选项，证明线面垂直即可求解； 对于C选项，过点D作AB的垂线，垂足为E，证明，求出长度即可； 对于D选项，结合正弦定理，求外接圆半径r，外接球半径R与r构造直角三角形，利用勾股定理即可求出外接球的半径，从而得表面积. 【详解】如图， 对于A选项，因为点D是棱PB的中点，所以，又，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以，，又，， 所以，又，所以，故B正确； 对于C选项，在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，又，， 所以，又，，， 所以，所以点D到平面ABC的距离为DE， 又，故C错误； 对于D选项，设球O的半径为R，的外接圆的半径为r， 所以 ，解得，所以， 所以球O的表面积，故D正确, 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长，再利用画直观图的规则求出直观图的周长即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 直观图中,，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为：. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即得． 【详解】依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为，，而棱台的高为， 所以该香料收纳罐的容积为． 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体表面积. 16. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【小问1详解】 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； 【小问2详解】 由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． 【小问2详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得， 由， 得， 解得． 18. 如图，直四棱柱中，平面平面，平面与交于点. （1）证明：三线共点； （2）若二面角的大小为， ①求该四棱柱的体积； ②求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，根据线面与面面的关系证明即可； （2）①：如图，根据线面垂直的判定定理与性质确定为二面角的平面角，求得，结合柱体的体积公式计算即可求解；②：根据面面平行的性质可得、，利用相似三角形的性质可得，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【小问1详解】 易知与相交，设， 由平面，平面，平面平面， 知， 所以、三线共点. 【小问2详解】 ①：过作，垂足为，连接， 又平面，平面，所以. 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以. 故为二面角的平面角，即， 所以，得. 所以，得. 故四棱柱的体积为. ②：由平面平面，平面平面，平面平面， 得.同理可得， 在四棱柱中，， 所以，则， 得，又，， 所以，则， 所以 . 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太原五中2024~2025学年第二学期高一年级5月月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章解三角形，第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 椭圆 D. 梯形 3. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ ） A A，B，C，D四点中必有三点共线 B. 直线与相交 C. A，B，C，D四点中不存在三点共线 D. 直线与平行 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知圆锥的母线长度为6，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11. 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点D到平面ABC的距离为 D. 球O的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 13. 某款厨房用具中香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 14. 如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 16. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 18. 如图，直四棱柱中，平面平面，平面与交于点. （1）证明：三线共点； （2）若二面角的大小为， ①求该四棱柱的体积； ②求多面体的体积. 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$