精品解析：山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

高一年级月考试题 数学 答题时间90分钟 满分100分 一、单选题（8小题，共32分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知平面向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. 8 C. D. 2 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 4. 在中，，则的面积为（ ） A B. C. D. 5. 已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）． 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 10. 已知，点是平面内一点，记，，则（ ） A. 当，时，则在方向上的投影向量为 B. 当，时，为锐角的充要条件是 C. 当时，点、、三点共线 D. 当，时，动点经过的重心 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题（共3小题，每小题4分，共12分）． 12. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 13. 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______． 14. 在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与射线分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为______. 四、解答题（共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 如图所示，在四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 16. 在中，记角A，B，C对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级月考试题 数学 答题时间90分钟 满分100分 一、单选题（8小题，共32分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知平面向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加法和共线的坐标表示求解即可. 【详解】由题意可得， 因为与共线， 所以，即，解得， 故选：D 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，然后再求复数的虚部即可. 详解】由， 可得， 所以的虚部是， 故选:A. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法分析运算. 【详解】在直观图中，， 可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为， 则另一边长为，所以原图形的周长为． 故选：A. 4. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及余弦定理得，进而有，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，且为三角形的最大角， 所以，则面积为. 故选：D 5. 已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴截面可得上下底面半径和母线，代入表面积公式即可. 【详解】该圆台的表面积. 故选：B 6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角函数的性质求出角，再利用三角形面积公式和角平分线性质建立关于边的方程，进而求出的值. 【详解】依题意，， 由正弦定理得. 移项可得. 所以. 所以，因为，所以， 两边同时除以，可得，即，所以. 由三角形面积公式可得，即，化简可得①. 因为，所以. 又因为平分，根据角平分线定理得， 即，所以②. 由①②解得. 故选：B 7. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）． 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的除法，可得标准式，根据共轭复数、几何意义、模长、乘方运算，可得答案. 【详解】，，故A正确； 复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误； 由，则，解得，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，点是平面内一点，记，，则（ ） A. 当，时，则在方向上的投影向量为 B. 当，时，为锐角的充要条件是 C. 当时，点、、三点共线 D. 当，时，动点经过的重心 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用投影向量的定义可判断A选项；分析可知且、不共线，求出的取值范围，可判断B选项；利用共线向量的基本定理可判断C选项；利用平面向量的加法可判断D选项. 详解】对于A选项，当，时， 则在方向上的投影向量为，A对； 对于B选项，当，时， 角为锐角且、不共线，即，解得且， 所以，为锐角的充要条件是，B错； 对于C选项，因为，即， 所以，，即， 又因为、有公共点，故点、、三点共线，C对； 对于D选项，设线段的中点为， 则， 因为，则， 此时，动点经过的重心，D对. 故选：ACD. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 三、填空题（共3小题，每小题4分，共12分）． 12. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 13. 若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】如下图所示：， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为： 14. 在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与射线分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案： 四、解答题（共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 如图所示，在四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析旋转体的结构特征，结合圆锥、圆台的侧面积公式运算求解； （2）根据题意结合锥体、台体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体， 过点作，垂足分别为，如下图所示： 易知，所以， 又，所以，可得； 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 母线长；高，母线长， 所以圆台的侧面积为， 圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为， 所以几何体的表面积为． 【小问2详解】 易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积， 即， 所以几何体的体积为． 16. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角； （2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知， 即， 又在中，， 则， 可得，即， 又由正弦定理可知， 即， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 又在中，， 即， 由，，则， 所以当，即时，取最大值为. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）16 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $