专题6 相交线与平行线中的思想方法（5大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题6】 相交线与平行线中的思想方法（5大基本题型） 【核心思想方法总结】 1. 方程思想：涉及角度、线段比例或未知量计算时，通过设定变量建立方程求解。关键在于，将几何关系转化为代数方程，简化复杂角度计算。 2. 转化思想：通过辅助线或模型转换，将复杂图形转化为基本几何模型（如“三线八角”） 3. 分类讨论思想：图形未明确或动点位置不确定时，需分情况讨论 4. 整体思想：将复杂几何关系转化为可解模型 5. 建模思想：将实际问题抽象为几何模型（如测量塔底角） 【技巧总结】 1. 角度计算题的关键步骤 （1） 标注已知角与未知角，利用同位角、内错角等性质建立关系 （2） 结合方程思想或转化思想求解 2. 平行线判定与性质综合题 （1） 判定：由角的关系（同位角、内错角相等）推平行 （2） 性质：由平行推角的关系，结合辅助线构造全等或等腰三角形 3. 动点问题 （1） 分析动点轨迹，分类讨论不同位置下的角度关系 （2） 利用辅助线（如过动点作平行线）统一角度表达式 【易错点】 1. 忽略分类讨论： （1） 示例：未考虑角平分线在不同位置时的多解情况（如互补角可能对应两种图形） （2） 对策：画图时标注所有可能性，验证每种情况的合理性。 2. 混淆判定与性质 （1） 示例：误将“两直线平行→内错角相等”作为判定条件使用。 （2） 对策：明确“由角推平行是判定，由平行推角是性质”。 3. 代数计算错误 （1） 示例：方程建立时漏项或符号错误（如平角未计入360°）。 （2） 对策：列方程后检查几何关系是否全面（如周角、对顶角）。 【例1】方程思想 【典例】一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 解：设这个角的度数是x，则它的余角和补角的度数用含x的代数式分别表示为__________，__________，根据题意列出方程__________，解得__________，所以这个角的度数是__________． 【变式1】如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 【变式2】已知点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，其中，，，设． (1)根据图1填空：______°． (2)如图2，的平分线交直线于点，而且，求此时的度数． (3)在（2）的条件下，将三角板绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当时，求射线的运动时间的值． 【变式3】【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 【例2】转化思想 【典例】【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 (1)如图，已知，当，求出的度数． (2)如图1，若，则___________； (3)①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【变式1】【问题初探】在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 【学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 【变式2】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【变式3】【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数． 【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【例3】分类讨论思想 【典例】【实验操作】如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【变式1】如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ (2)如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． (3)若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【例4】整体思想 【典例】综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P． (1)如图2，若和，则 ； (2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程） (4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示） 【变式2】已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【变式3】问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 【例5】建模思想 【典例】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【变式1】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 【变式2】在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【变式3】．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题6】 相交线与平行线中的思想方法（5大基本题型） 【核心思想方法总结】 1. 方程思想：涉及角度、线段比例或未知量计算时，通过设定变量建立方程求解。关键在于，将几何关系转化为代数方程，简化复杂角度计算。 2. 转化思想：通过辅助线或模型转换，将复杂图形转化为基本几何模型（如“三线八角”） 3. 分类讨论思想：图形未明确或动点位置不确定时，需分情况讨论 4. 整体思想：将复杂几何关系转化为可解模型 5. 建模思想：将实际问题抽象为几何模型（如测量塔底角） 【技巧总结】 1. 角度计算题的关键步骤 （1） 标注已知角与未知角，利用同位角、内错角等性质建立关系 （2） 结合方程思想或转化思想求解 2. 平行线判定与性质综合题 （1） 判定：由角的关系（同位角、内错角相等）推平行 （2） 性质：由平行推角的关系，结合辅助线构造全等或等腰三角形 3. 动点问题 （1） 分析动点轨迹，分类讨论不同位置下的角度关系 （2） 利用辅助线（如过动点作平行线）统一角度表达式 【易错点】 1. 忽略分类讨论： （1） 示例：未考虑角平分线在不同位置时的多解情况（如互补角可能对应两种图形） （2） 对策：画图时标注所有可能性，验证每种情况的合理性。 2. 混淆判定与性质 （1） 示例：误将“两直线平行→内错角相等”作为判定条件使用。 （2） 对策：明确“由角推平行是判定，由平行推角是性质”。 3. 代数计算错误 （1） 示例：方程建立时漏项或符号错误（如平角未计入360°）。 （2） 对策：列方程后检查几何关系是否全面（如周角、对顶角）。 【例1】方程思想 【典例】一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 解：设这个角的度数是x，则它的余角和补角的度数用含x的代数式分别表示为__________，__________，根据题意列出方程__________，解得__________，所以这个角的度数是__________． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．根据余角和补角的定义即可解答． 【详解】解：设这个角的度数是x，则它的余角和补角的度数用含x的代数式分别表示为，， 根据题意列出方程， 解得， 所以这个角的度数是． 故答案为：；；；；． 【变式1】如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 【答案】C 【分析】此题考查垂直的定义，解一元一次方程，几何图形中角度计算，正确理解垂直的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵的度数比的度数的2倍少， ∴， ∴， 解得 ∴ 故选：C． 【变式2】已知点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，其中，，，设． (1)根据图1填空：______°． (2)如图2，的平分线交直线于点，而且，求此时的度数． (3)在（2）的条件下，将三角板绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当时，求射线的运动时间的值． 【答案】(1)270 (2) (3)的值为秒或秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． （1）先作辅助线构造平行，根据平行线的性质求出，进而可求出的值； （2）由平行线的性质求出，从而，由角平分线的定义得，进而可求出； （3）分三种情况，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵的平分线交直线于点H， ， ∵ ∴， 即； （3）∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动． ∴ 分三种情况： 当在下方时， 由题意，得， ∵， ∴，即， 解得； 如图，当在直线的上方时， 由题意，得， ∴． ∵， ∴，即， 解得； 当在直线的上方时， 由题意，得， ∵ ∴ ∴ 解得； 综上可知，的值为秒或秒或60秒． 【变式3】【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）80；（2），理由见解析；（3）或. 【分析】本题考查的是平行线的性质的应用，平行公理的应用，角的和差运算； （1）因为两面镜子平行，所以入射角等于反射角，且同位角相等．已知入射光线与平面镜的夹角，则反射角也为，那么反射光线与平面镜的夹角为，同理另一面镜子的反射光线与平面镜夹角也为，进一步可得答案． （2）设，．证明，可得，即，再进一步可得答案． （3）如图，当在的下方时，过作，如图，当在的上方时，过作，再进一步的利用平行线的性质与角的和差运算可得答案. 【详解】（1）解：由入射角反射角可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：． 理由：设，． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． （3）解：如图，当在的下方时，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在的上方时，过作， 同理可得：，， ∴， 综上：或. 【例2】转化思想 【典例】【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 (1)如图，已知，当，求出的度数． (2)如图1，若，则___________； (3)①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理的推论，角平分线的性质及角的和差等知识，作出必要的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （2）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （3）①利用（1）（2）的结论，结合角平分线的性质即可求解； ②利用（1）（2）的结论，结合即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作， 则； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作， 则， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：①由（2）知，； 由（1）知，； ∵、分别平分和， ∴， ∴， 即， ∴， 即； 故答案为：； ②由（2）知，； 由（1）知，； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 【变式1】【问题初探】在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 【学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）过点P作   （2）转化   （3）  （4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过拐点作平行线即可； （2）根据转化思想进行作答即可； （3）选择图3，根据平行线的性质结合平角的定义推出，即可得出结果；选择图4，推出，进行求解即可； （4）过点作，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）勤奋小组的同学辅助线的做法为：过点作； 故答案为：过点作； （2）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想． 故答案为：转化； （3）如图3，过点作， ∵， ∴，即， ∵，， ，， ， ， ， ， 如图4，过点作， 则， ∵，， ，， ， ， ， ； （4）设，， 过点作， ，， ∵， ∴， ， ， 由， ， ， 即． 【变式2】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作，， ，，，， ，即． 运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】： （1）如图3，已知，，，求的度数． 【拓展提升】： （2）如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2），理由如下： 如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数． 【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数． 【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． 【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题考查的重点是平行线的判定与性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． （1）过点P作，可得，从而得到，即可解答； （2）过点P作，可得，从而得到， ，即可解答； （3）分两种情况讨论：点P在射线上时，点P在射线上，即可求解． 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ，， ， ，  ， ， ∴； （2），理由： 过点P作，如图： ， ， ， ， ； （3）①点P在射线上时，如图，作， ， ， ， ， ，，， ； ②点P在射线上，如图，作， ， ， ， ， ，，， 【例3】分类讨论思想 【典例】【实验操作】如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 【变式1】如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，全面分类、熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 【变式2】2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ (2)如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． (3)若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，准确添加辅助线是解题关键； （1）由题意可得甲、乙两光束速度为/秒和/秒，然后根据平行线的性质列方程求解； （2）过点作，结合平行线的性质和判定推理计算即可； （3）分束甲尚未第一次到达前和当光束甲转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到时，两种情况，结合方程思想推理计算 【详解】（1）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， 乙先转运所需的时间为：（秒）， 延长交于点 由题意可得， ∵， ∴ ，解得：， ∴两光束同时旋转秒后首次平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ （3）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， ①光束甲尚未第一次到达前，当时 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴， ，解得； ②当光束甲转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到时， 过点作， ∵ ∴ 此时， ，解得， 综上，或． 【变式3】在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 【例4】整体思想 【典例】综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． (1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． (2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． (3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，代入数据，即可求解． （3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 【变式1】如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P． (1)如图2，若和，则 ； (2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程） (4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点P作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）同法（1）进行求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质，进行求解即可； （4）设，得到，，由（2）（3）的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2所示，过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示： ∵， ∴，       ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由如下： 过点P作（点S在点P的左侧），如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （4）设， ∵，， ∴，， 由（2）的结论得：， 由（3）的结论得：， ∴，                    ∴， ∴． 【变式2】已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 【变式3】问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移： （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动． ①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？ ②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①当点在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，；②当在延长线时，；当在之间时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当在延长线时，过作交于，结合图形可得；同理：可求当在之间时． 【详解】（1）解：如图：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解 ：①，理由如下： 如图：过作交于， ， ， ， ； ②如图：当 P 在延长线时， 如图：过作交延长线于， ， ， ， 如图：当在之间时， 如图：过作交于， ， ， ， ． 【例5】建模思想 【典例】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 【变式1】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，则有，根据，得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式2】在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 【变式3】．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 【答案】(1)① ②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． （1）①根据，即可得出结果； ②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可； （2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解． 【详解】（1）解：①，， ， 故答案为：； ②，理由如下： ，， ， 同理，， ， ， 即， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$