专题5 平行线中的角平分线模型与标角法（4大题型） 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题5】 平行线中的角平分线模型与标角法（4大题型） 【核心知识点总结】 1. 平行线中的角平分线模型 模型 平行线中的角平分线 猪蹄模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 铅笔头模型的角平分线扩展 靴子模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 靴子模型扩展A的角平分线扩展 靴子模型扩展B的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 骨折模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 结论 2. 平行线中的标角法 标角法是通过设定未知角为变量（如α、β），结合平行线与角平分线的性质简化推导过程的核心方法。在角平分线条件下，具体步骤如下： （1）基本角度设定： a. 设定较小角为变量：将角平分线分出的较小角设为α或β，通过变量表示角度关系 b. 标记已知与未知角：用同一字母标记相等或有倍数关系的角，例如将角平分线分出的两母角设为或 （2） 利用平行线性质推导 a. 同位角、内错角转化：通过平行（线构造辅助线）性质将分散的角转移到同一位置 b. 互补/互余关系：结合平角、周角等特性建立方程，进行化简 （3） 代数方程简化 a. 建立变量间的关系：通过平行线截取的角关系列出方程，，用α和β表示其他角 b. 整体代换消元：观察代数式之间的关联，对已知表达式进行代换转化消元运算 【技巧总结】 在平行线中，角平分线常与等腰三角形、对称性等几何性质结合，形成固定解题模型 1. 对称性与等量代换 （1） 角平分线对称性：角平分线将角分为两个相等的部分，可利用对称性构造全等三角形或等角关系 （2） 等距离性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可用于证明线段相等或面积比例 2. 辅助线构造技巧 （1） 平行线转移角：通过作平行线将复杂角度关系转化为已知模型 （2） 分情况讨论：当点E在不同位置时（如平行线的上方或下方），需分类讨论角度关系（如或） 【易错点】 1. 变量混淆：未明确区分α、β的设定范围，导致代数关系错误 2. 漏解问题：未考虑角平分线在不同位置时的多解情况 【例1】平行线中的角平分线 【典例】完成下面的解答过程： 已知：如图，平分，平分，且．试判断与是否平行． 解：平分（已知）， （   ） 平分（已知）， （角平分线的定义）． （   ）． （已知）， （等量代换）． （   ）． 【变式1】科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 【变式2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （①________________）， 又（已知）， （②________________）， ③________________（④________________）， （⑤________________）， 又（已知）， （⑥________________）， （⑦________________）． 【变式3】已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数． (2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． (3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）． 【例2】猪蹄模型、靴子模型与骨折模型的角平分线扩展 【典例】某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【变式1】如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式2】综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】（3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【变式3】（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【例3】铅笔头模型、靴子模型扩展AB的角平分线扩展 【典例】已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【变式1】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ． 【变式3】经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【例4】平行线中的复杂角度计算 【典例】如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，． (1)求证：； (2)如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数． 【变式1】已知． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小； (3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小． 【变式2】如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【变式3】已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题5】 平行线中的角平分线模型与标角法（4大题型） 【核心知识点总结】 1. 平行线中的角平分线模型 模型 平行线中的角平分线 猪蹄模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 铅笔头模型的角平分线扩展 靴子模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 靴子模型扩展A的角平分线扩展 靴子模型扩展B的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 骨折模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 结论 2. 平行线中的标角法 标角法是通过设定未知角为变量（如α、β），结合平行线与角平分线的性质简化推导过程的核心方法。在角平分线条件下，具体步骤如下： （1）基本角度设定： a. 设定较小角为变量：将角平分线分出的较小角设为α或β，通过变量表示角度关系 b. 标记已知与未知角：用同一字母标记相等或有倍数关系的角，例如将角平分线分出的两母角设为或 （2） 利用平行线性质推导 a. 同位角、内错角转化：通过平行（线构造辅助线）性质将分散的角转移到同一位置 b. 互补/互余关系：结合平角、周角等特性建立方程，进行化简 （3） 代数方程简化 a. 建立变量间的关系：通过平行线截取的角关系列出方程，，用α和β表示其他角 b. 整体代换消元：观察代数式之间的关联，对已知表达式进行代换转化消元运算 【技巧总结】 在平行线中，角平分线常与等腰三角形、对称性等几何性质结合，形成固定解题模型 1. 对称性与等量代换 （1） 角平分线对称性：角平分线将角分为两个相等的部分，可利用对称性构造全等三角形或等角关系 （2） 等距离性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可用于证明线段相等或面积比例 2. 辅助线构造技巧 （1） 平行线转移角：通过作平行线将复杂角度关系转化为已知模型 （2） 分情况讨论：当点E在不同位置时（如平行线的上方或下方），需分类讨论角度关系（如或） 【易错点】 1. 变量混淆：未明确区分α、β的设定范围，导致代数关系错误 2. 漏解问题：未考虑角平分线在不同位置时的多解情况 【例1】平行线中的角平分线 【典例】完成下面的解答过程： 已知：如图，平分，平分，且．试判断与是否平行． 解：平分（已知）， （   ） 平分（已知）， （角平分线的定义）． （   ）． （已知）， （等量代换）． （   ）． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判断即可得． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 【变式1】科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据推理过程逐一填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，． ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【变式2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （①________________）， 又（已知）， （②________________）， ③________________（④________________）， （⑤________________）， 又（已知）， （⑥________________）， （⑦________________）． 【答案】①角平分线的定义，②等量代换，③，④内错角相等，两直线平行，⑤两直线平行，同旁内角互补，⑥同角的补角相等，⑦同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键．根据已知条件、所给步骤结合图形进行解答即可． 【详解】解：解：是的角平分线， （①角平分线的定义）， 又（已知）， （②等量代换）， ③（④内错角相等，两直线平行）， （⑤两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （⑥同角的补角相等）， （⑦同位角相等，两直线平行）． 【变式3】已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数． (2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． (3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； （1）过点作，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解； （3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，根据平行线的性质得出，进而即可求解；当在上方时，根据平行线的性质，同理可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵，即， 解得：， ∴； （3）解：当在下方时，如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 由（1）可得 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴． 当在上方时，如图所示，过点作 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【例2】猪蹄模型、靴子模型与骨折模型的角平分线扩展 【典例】某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【变式1】如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，由平行线及角平分线得到设，由，得到，同理可得，即可得； （2）①依据题意即可补全图形；②由角平分线设，平行得到，，而，则，即，即，即可求证． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴设， ∵， ∴， 即，同理可得， ∴， 即在题干图中：； （2）解：①补全图： ②，理由如下： 证明：平分， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴． 【变式2】综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】（3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下： 如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（1）【问题发现】①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定及性质， （1）①过点作，根据平行线的判定及性质即可证明； ②过点作，根据平行线的判定及性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可设，，由，得到，根据平行线的性质得到，即，从而 ； （3）由（1）可得，，，设，，则，，即可得到． 【详解】（1）①证明：过点作，则， ， ， ， ， ． ②过点作，则， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， ， 由（1）知， ． （3）         由（1）可得， ， ， 设，， 则，， ∴，，， ∴， ． 【例3】铅笔头模型、靴子模型扩展AB的角平分线扩展 【典例】已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 【变式2】如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ∵ ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， 综上，的读数为或， 故答案为：或． 【变式3】经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理可得，，则，即可作答． （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【例4】平行线中的复杂角度计算 【典例】如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，． (1)求证：； (2)如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）先证明，，可得，再证明，从而可得答案； （2）求解，可得，证明，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】已知． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小； (3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键。 （1）过点N作交于点F，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，结合角平分线定义求出，则，结合（1）的结论及邻补角定义即可求出； （3）设，结合（1）（2）得出，结合，求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点N作交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，设的平分线是，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 即， ∵，由（1）得， ∴， ∴； （3）解：如图③，∵平分， ∴， 设， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【变式3】已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$