专题4 平行线中的拐点模型（5大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题4】 平行线中的拐点模型（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 基础模型 模型 猪蹄模型 铅笔头模型 靴子模型 图例 结论 模型 鹰嘴模型 骨折模型 蛇形模型 图例 结论 2. 基础模型的扩展 模型 猪蹄模型的扩展 铅笔模型的扩展 锯齿模型 图例 结论 模型 靴子模型的扩展A 靴子模型的扩展B 图例 结论 【技巧总结·通用解题思路】 1. 作辅助线：过拐点作已知平行线的平行线，构造基本平行线组 2. 拆分角度：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）进行角度转换 3. 等量代换：通过角度和差关系建立等式，求解目标角 【易错点】 1. 混淆模型类型：不同模型的结论不同，需先明确拐点位置和结构特征 2. 跳步推导：必须写出辅助线作法及根据几何依据逐步撰写逻辑 3. 动态拐点问题：若拐点位置变化，需结合整体角度关系分析 【例1】猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 【典例】如图，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 【变式1】如图，，，，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，，，则，和的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【例2】铅笔模型及其扩展 【典例】如图，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题． 【变式1】如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 【变式2】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记． (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 【例3】靴子模型、鹰嘴模型 【典例】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 【变式1】已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式2】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图5过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； ②如图6过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴． 【变式3】问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)；证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如图分别过点、点作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键． 【例4】靴子模型的扩展及蛇形模型 【典例】如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 【变式1】如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 【变式2】如图，，点在直线，之间，连接，． (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 【变式3】已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【例5】骨折模型 【典例】如图，直线，， ，则 ． 【答案】/30度 【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【变式1】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 【变式2】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式3】已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题4】 平行线中的拐点模型（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 基础模型 模型 猪蹄模型 铅笔头模型 靴子模型 图例 结论 模型 鹰嘴模型 骨折模型 蛇形模型 图例 结论 2. 基础模型的扩展 模型 猪蹄模型的扩展 铅笔模型的扩展 锯齿模型 图例 结论 模型 靴子模型的扩展A 靴子模型的扩展B 图例 结论 【技巧总结·通用解题思路】 1. 作辅助线：过拐点作已知平行线的平行线，构造基本平行线组 2. 拆分角度：利用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）进行角度转换 3. 等量代换：通过角度和差关系建立等式，求解目标角 【易错点】 1. 混淆模型类型：不同模型的结论不同，需先明确拐点位置和结构特征 2. 跳步推导：必须写出辅助线作法及根据几何依据逐步撰写逻辑 3. 动态拐点问题：若拐点位置变化，需结合整体角度关系分析 【例1】猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 【典例】如图，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 【变式1】如图，，，，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，，，则，和的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【例2】铅笔模型及其扩展 【典例】如图，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题． 【变式1】如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 【变式2】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记． (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 【例3】靴子模型、鹰嘴模型 【典例】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 【变式1】已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式2】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图5过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； ②如图6过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴． 【变式3】问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)；证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如图分别过点、点作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键． 【例4】靴子模型的扩展及蛇形模型 【典例】如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 【变式1】如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 【变式2】如图，，点在直线，之间，连接，． (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 【变式3】已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【例5】骨折模型 【典例】如图，直线，， ，则 ． 【答案】/30度 【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【变式1】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 【变式2】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式3】已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$