专题06 反比例函数代数考点综合问题训练（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 反比例函数代数考点综合题型训练 1．（2024春•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝|x|与反比例函数y2（k≠0）的图象交于点A（1，y1）．若y1＞y2，则x的取值范围是 　 　 ． 2．（2024春•嵊州市期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图形分成面积为5：7的两部分，则k的值为 　 　 . 3．（2024春•滨江区校级期末）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 4．（2024春•苍南县期末）如图，一次函数y1＝3x与反比例函数的图象交于点A（1，m）和点B． （1）求反比例函数的解析式及点B的坐标． （2）请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． （3）点C（n，1）是反比例函数图象上的点，连结AC，BC，求△ABC的面积． 5．（2024春•平湖市期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 6．（2024春•平湖市期末）已知A（n﹣1，y1），B（n+1，y2），C（n，y3）是反比例函数图象上的三点． （1）请直接写出y1，y2，y3的大小关系，并用“＜”连结； （2）请判断y1+y2与2y3之间的大小关系，并说明理由． 7．（2024春•嘉兴期末）平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1+x2＝0．（1）若x1y2＝﹣2，求k的值； （2）若x1＝y3，求证：x3+y2＝0． 8．（2024春•拱墅区期末）已知反比例函数y（k≠0）． （1）若点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上； ①求k的值； ②当x＞1时，求y的取值范围． （2）若点（x1，y1），（x2，y2）都在该反比例函数图象上，且x1＞1，k＞0，x1+x2＜0，小浙同学说“此时不能判断y1﹣y2与2k的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到y1﹣y2＜2k”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 9．（2024春•拱墅区期末）在直角坐标系中，设． （1）已知点A（2，3），B（n，n+1）都在该函数的图象上． ①求k的值； ②若n≠2，求n的值． （2）当x＝m时，y＝m+1；当x＝m+1时，y＝2m﹣3，求k的值． 10．（2024春•江北区期末）如图，一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象，直接写出﹣x+50时x的取值范围． （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象于点Q，若，求△PMO的面积． 11．（2024春•越城区期末）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（6，1），B（﹣3，m）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围； （3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当∠EBA＝45°时，求直线BE的函数表达式． 12．（2023春•钱塘区期末）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（a，2），B（﹣2，2b）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当y1≤y2时，x的取值范围． （3）设t≠0，当x＝t时，y1＝m；当x＝t+1时，y1＝n，方方说：“m一定小于n”．你认为方方的说法正确吗？为什么？ 13．（2024春•东阳市期末）如图，Rt△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点A在BC的上方，点C的坐标为（1，1），BC＝1，AC＝a，点M在Rt△ABC内（含边界），反比例函数的图象经过点M． （1）当a＝2时， ①点M在点A处时，求k的值． ②分别求出k的最小值与最大值． （2）k的最大值与最小值之差记作p，求出p关于a的函数表达式及a的取值范围． 14．（2024春•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，设函数y1＝﹣x+m（m是实数），，已知函数y1与y2的图象都经过点A（1，7﹣m）和点B． （1）求函数y1，y2的解析式与B点的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点C（a，b）和点D（c，d）在函数y2的图象上，且a+c＝4，设，当1＜a＜c＜3时，求P的取值范围． 15．（2024春•余姚市期末）已知反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（﹣3，4）． （1）请判断点B（6，2）是否在此反比例函数图象上，并说明理由． （2）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，x2＝x1+3， ①若y1＞y2，求x的取值范围． ②若y1＝2y2，求x＜x1+x2时，y的取值范围． 16．（2024春•丽水期末）已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值． （2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小． （3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数代数考点综合题型训练 1．（2024春•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝|x|与反比例函数y2（k≠0）的图象交于点A（1，y1）．若y1＞y2，则x的取值范围是 　x＜0或x＞1　 ． 【分析】观察函数图象，当x＜0或x＞1时，y1＞y2． 【解答】解：由图可知：当x＜0或x＞1时，y1＞y2． 故答案为：x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力． 2．（2024春•嵊州市期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图形分成面积为5：7的两部分，则k的值为 　3或4.5　 . 【分析】根据图形可知A、B的纵坐标分别为1、3，代入反比例解析式表示出各自的横坐标，进而表示出BC，AD，CD的长，利用梯形的面积公式表示出梯形ABCD的面积，再加上3个小正方形的面积，可得出线段AB分该图形的左侧部分，根据图形的面积为12，线段AB把该图形分成面积为5：7的两部分，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值． 【解答】解：根据题意可得：A（k，1），B（，3）， ∴BC1，AD＝k﹣1，CD＝2， ∴S梯形ABCD2×（1+k﹣1）k﹣2， ∵线段AB把该图形分成面积为5：7的两部分， ∴k﹣2+3＝5或k﹣2+3＝7， 解得：k＝3或k＝4.5． 故答案为：3或4.5． 【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，弄清题意是解本题的关键． 3．（2024春•滨江区校级期末）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值． （2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；a﹣4，②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y1最大值为，①； 当x＝2时，y2最小值为a﹣4，②； 由①，②得：a＝2，k＝4； （2）圆圆的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0， 则m0＜0，m0+1＞0， ∴当x＝m0时，p＝y1， 当x＝m0+1时，q＝y10， ∴p＜0＜q， ∴圆圆的说法不正确． 方法二、当x＝m时，p＝y1，当x＝m+1时，q＝y1， ∴p﹣q， ∴当m＜﹣1时，则p﹣q0， ∴p＞q， 当﹣1＜m＜0时，则p﹣q0， ∴p＜q， 当m＞0时，则p﹣q0， ∴p＞q， ∴圆圆的说法不正确． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 4．（2024春•苍南县期末）如图，一次函数y1＝3x与反比例函数的图象交于点A（1，m）和点B． （1）求反比例函数的解析式及点B的坐标． （2）请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． （3）点C（n，1）是反比例函数图象上的点，连结AC，BC，求△ABC的面积． 【分析】（1）先求出点A坐标即可得到反比例函数解析式，根据反比例函数图象的中心对称性质可得点B坐标； （2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出直线BC解析式得到点D坐标求出三角形BOC的面积再乘2可得结果． 【解答】解：（1）∵点A（1，m）在直线y1＝3x图象上， ∴m＝3， ∴A（1，3）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝3， ∴反比例函数解析式为y， 根据反比例函数图象的中心对称性质，可得点B（﹣1，﹣3）． （2）根据两个函数图象，不等式y1＜y2时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＜﹣1． （3）由（1）可知，反比例函数解析式为y， 当y＝1时，n＝3， ∴C（3，1）， 设直线BC解析式为y＝kx+b，B（﹣1，﹣3），C（3，1）在直线上， ，解得， ∴直线BC解析式为y＝x﹣2， 当y＝0时，x＝2， ∴D（2，0），即OD＝2， ∴S△BOC＝S△COD+S△BOD4， S△ABC＝2S△COB＝2×4＝8． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 5．（2024春•平湖市期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由S△CDE（﹣m）×（m+2）（m+2）2+4，即可求解． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣3）点在反比例函数图象上， ∴k＝﹣6； ∴反比例函数解析式为y， ∵A（m，1）点在反比例函数图象上， ∴1，解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，1），B（2，﹣3）， ∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函数y＝ax+b的图象上， 则，解得：， ∴一次函数解析式为：yx﹣2； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＜﹣6或0＜x＜2； （3）由（1）可知C（0，﹣2），设点D的坐标为（m，m﹣2），则E（m，）， ∴ED（m﹣2）m+2， ∴S△CDE（﹣m）×（m+2）（m+2）2+4， 当m＝﹣2时，S△CDE最大值为4， ∴E（﹣2，3）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，解不等式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6．（2024春•平湖市期末）已知A（n﹣1，y1），B（n+1，y2），C（n，y3）是反比例函数图象上的三点． （1）请直接写出y1，y2，y3的大小关系，并用“＜”连结； （2）请判断y1+y2与2y3之间的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）利用反比例函数的性质求求解即可； （2）先由反比例函数图象上点的坐标特征表示出y1，y2，y3，再计算y1+y2﹣2y3，根据k＞0，n＞1进行求解即可． 【解答】解：（1）∵k＞0，x＞0， ∴在第一象限内y随x的增大而减小， ∵n﹣1＜n＜n+1， ∴y2＜y3＜y1； （2）y1+y2＞2y3．理由如下： ∵A（n﹣1，y1），B（n+1，y2），C（n，y3）是反比例函数的图象的三点， ∴， ∴，， ∴， ∵k＞0，n＞1， ∴， ∴y1+y2＞2y3． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2024春•嘉兴期末）平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1+x2＝0．（1）若x1y2＝﹣2，求k的值； （2）若x1＝y3，求证：x3+y2＝0． 【分析】（1）依据题意，由x1+x2＝0，可得x1＝﹣x2，又x1y2＝﹣2，可得﹣x2y2＝﹣2，进而可以判断得解； （2）依据题意，x3y3＝k，故x3，则x3+y2y2，结合x1＝y3，可得x3+y2y2y2＝y1+y2，又x1+x2＝0，进而可以判断得解． 【解答】（1）解：由题意，∵x1+x2＝0， ∴x1＝﹣x2． 又x1y2＝﹣2， ∴﹣x2y2＝﹣2． ∴x2y2＝2． 又x2y2＝k， ∴k＝2． （2）证明：由题意，x3y3＝k， ∴x3． ∴x3+y2y2． ∵x1＝y3， ∴x3+y2y2y2＝y1+y2． 又x1+x2＝0， ∴0． ∵k≠0，y1y2≠0， ∴y1+y2＝0． ∴x3+y2＝y1+y2＝0． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．（2024春•拱墅区期末）已知反比例函数y（k≠0）． （1）若点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上； ①求k的值； ②当x＞1时，求y的取值范围． （2）若点（x1，y1），（x2，y2）都在该反比例函数图象上，且x1＞1，k＞0，x1+x2＜0，小浙同学说“此时不能判断y1﹣y2与2k的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到y1﹣y2＜2k”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 【分析】（1）①根据点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上可以求出a的值，从而得出k的值； ②x＝1时，y＝3，故可以根据反比例函数的性质得到当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜3． （2）利用反比例函数的性质得出当x1＞1时，y的取值范围是0＜y1＜k，当x2＜﹣1时，y的取值范围是﹣k＜y2＜0，即可求得y1﹣y2＜2k． 【解答】解：（1）①∵点（﹣1，a），（a+4，3）都在该反比例函数图象上， ∴﹣a＝3（a+4）， ∴a＝﹣3， ∴反比例函数y（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3）， ∴k＝﹣1×（﹣3）＝3； ②∵k＝3＞0， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x＝1时，y3， ∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜3． （2）小江同学说法正确； ∵k＞0， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当x1＞1时，y的取值范围是0＜y1＜k． ∵x1＞1，x1+x2＜0， ∴x2＜﹣1， ∴当x2＜﹣1时，y的取值范围是﹣k＜y2＜0． ∴y1﹣y2＜2k， ∴小江同学说法正确． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9．（2024春•拱墅区期末）在直角坐标系中，设． （1）已知点A（2，3），B（n，n+1）都在该函数的图象上． ①求k的值； ②若n≠2，求n的值． （2）当x＝m时，y＝m+1；当x＝m+1时，y＝2m﹣3，求k的值． 【分析】（1）①利用待定系数法即可得出k的值； ②把B（n，n+1）代入函数的解析式即可求得n的值； （2）利用反比例函数系数k＝xy得出k＝m（m+1）＝（m+1）（2m﹣3），解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值． 【解答】解：（1）①∵点A（2，3）该反比例函数图象上， ∴k＝2×3＝6； ②∵B（n，n+1）在函数y的图象上， ∴n（n+1）＝6， 解得n＝﹣3或n＝2（舍去）， ∴n的值为﹣3； （2）∵当x＝m时，y＝m+1；当x＝m+1时，y＝2m﹣3， ∴k＝m（m+1）＝（m+1）（2m﹣3）， 即m2﹣2m﹣3＝0， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵m＝﹣1时，y＝m+1＝0，不合题意，舍去， ∴m＝3， ∴k＝m（m+1）＝3×4＝12． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数y（k≠0）的系数k＝xy是解题的关键． 10．（2024春•江北区期末）如图，一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象，直接写出﹣x+50时x的取值范围． （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象于点Q，若，求△PMO的面积． 【分析】（1）把A（1，a）代入y1＝﹣x+5得到A（1，4），求得k＝1×4＝4，得到反比例函数的表达式为y2（x＞0），解方程组得到B（4，1）； （2）根据函数的图形即可得到结论； （3）设P（a，﹣a+5），得到M（a，0），Q（a，），根据题意列方程得到a，求得P（，），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点， ∴a＝﹣1+5＝4， ∴A（1，4）， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的表达式为y2（x＞0）， 解得或， ∴B（4，1）； （2）观察图象得，﹣x+50时x的取值范围为0＜x＜1或x＞4； （3）设P（a，﹣a+5）， ∵PM⊥x轴， ∴M（a，0），Q（a，）， ∵， ∴， 解得，a， ∴P（，）， ∴S△PMOOM•PM． 【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 11．（2024春•越城区期末）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（6，1），B（﹣3，m）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围； （3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当∠EBA＝45°时，求直线BE的函数表达式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）证明△BGH≌△HNA（AAS），则BG＝y+2＝HN＝6﹣x且GH＝x+3＝AN＝y﹣1，得到H（0，4），即可求解． 【解答】解：（1）把A（6，1）代入得，k＝6， ∴反比例函数的表达式为y2； （2）把B（﹣3，m）代入y2得，m2， ∴B（﹣3，﹣2）， ∴当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞6； （3）过点A作AH⊥BE交BE于点H，过点H作x轴的平行线交故点A和y轴的平行线于点N，交故点B和y轴的平行线于点G， ∵∠EBA＝45°，则△ABH为等腰直角三角形，则HB＝HA，∠AHB＝90°，设点H（x，y）， ∵∠GHB+∠NHA＝90°，∠NHA+∠HNA＝90°， ∴∠GHB＝∠HNA， ∵∠BGH＝∠HNA＝90°， ∴△BGH≌△HNA（AAS）， 则BG＝y+2＝HN＝6﹣x且GH＝x+3＝AN＝y﹣1， 解得：x＝0，y＝4， 即点H（0，4）， 由点B、H的坐标得，直线BE的表达式为：y＝2x+4． 【点评】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式等，证明三角形全等是解题的关键． 12．（2023春•钱塘区期末）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（a，2），B（﹣2，2b）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出当y1≤y2时，x的取值范围． （3）设t≠0，当x＝t时，y1＝m；当x＝t+1时，y1＝n，方方说：“m一定小于n”．你认为方方的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）根据一次函数y2＝x+b过点B（﹣2，2b）代入求出b，可得点B坐标和一次函数解析式，再代入反比例函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的交点，可直接得到y1≤y2时，x的取值范围； （3）根据反比例函数的增减性进行比较即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y2＝x+b的图象过点B（﹣2，2b）， ∴﹣2+b＝2b． ∴解得b＝﹣2． ∴一次函数的关系式为y2＝x﹣2． 由B（﹣2，﹣4）在y1， ∴﹣4． ∴k＝8． ∴反比例函数的表达式y1． （2）由题意，点A（a，2）在y1上， ∴2． ∴a＝4． ∴A（4，2）． ∵y1与y2＝x﹣2均经过一三象限，交于A（4，2），B（﹣2，﹣4）， ∴当y1≤y2时，﹣2≤x＜0或x≥4． （3）方方的说法错误，理由如下： ∵y1，图象分布在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当t＞0时，mn，即m＞n， 当t＜0时，mn，即m＞n． ∴方方的说法错误． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与反比例函数的交点是两个函数值大小转化的转折点． 13．（2024春•东阳市期末）如图，Rt△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点A在BC的上方，点C的坐标为（1，1），BC＝1，AC＝a，点M在Rt△ABC内（含边界），反比例函数的图象经过点M． （1）当a＝2时， ①点M在点A处时，求k的值． ②分别求出k的最小值与最大值． （2）k的最大值与最小值之差记作p，求出p关于a的函数表达式及a的取值范围． 【分析】（1）①M在点A处，反比例函数y（x＞0）的图象经过点M，则k＝1×3＝3，即可求解； ②当BC与y相切时，k最大，得：﹣2x+5有唯一解，得到k，此时，x，切点在AB边上，即可求解； （2）①当12时（即a），切点在AB边上，即kmax＝a1，由（1）知，kmin＝1，则p＝a1﹣1＝a；②当0＜a时，在k在A处取得最大值，即kmax＝（a+1）×1＝a+1，由（1）知，kmin＝1，即可求解． 【解答】解：（1）①当a＝2时，B（2，1），C（1，1），A（1，3） ∵M在点A处，反比例函数y（x＞0）的图象经过点M， ∴k＝1×3＝3； ②设直线AB的解析式为：y＝dx+b， 把A（1，3），B（2，1）代入y＝dx+b得， ∴d＝﹣2，b＝5 ∴y＝﹣2x+5， 当BC与y相切时，k最大， 得：﹣2x+5有唯一解； ∴2x2﹣5x+k＝0中Δ＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣8k＝0， ∴k， 此时，x， ∴切点在AB边上， 即k的最大值为，最小值为1； （2）由题意得：点A（1，a+1），点B（2，1）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣a（x﹣2）+1， 联立上式和反比例函数的表达式得：a（x﹣2）+1， 令Δ＝（2a+1）2﹣4ak＝0， 则k＝a1， 此时x， ①当12时（即a），切点在AB边上， 即kmax＝a1， 由（1）知，kmin＝1， 则p＝a1﹣1＝a； ②当0＜a时， 在k在A处取得最大值，即kmax＝（a+1）×1＝a+1， 由（1）知，kmin＝1， 则p＝a+1﹣1＝a， 即p． 【点评】本题考查了反比例函数图象与k的关系，关键是求出反比例函数与BC的切点的坐标． 14．（2024春•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，设函数y1＝﹣x+m（m是实数），，已知函数y1与y2的图象都经过点A（1，7﹣m）和点B． （1）求函数y1，y2的解析式与B点的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点C（a，b）和点D（c，d）在函数y2的图象上，且a+c＝4，设，当1＜a＜c＜3时，求P的取值范围． 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数求出m值得到点A坐标，得到反比例函数解析式，再联立方程组得到点B坐标即可； （2）由两个函数性质及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据题意先推出，再推出1＜a＜2，c＝4﹣a，两者结合可得P的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数y1＝﹣x+m经过点A（1，7﹣m）， ∴7﹣m＝﹣1+m， 解得：m＝4， ∴A（1，3）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝3， ∴反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝﹣x+4． 联立方程组，解得，， ∴B（3，1）． （2）由两个函数的性质及交点坐标可知： 当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3或x＜0； （3）∵点C（a，b）和点D（c，d）在函数y2的图象上， ∴b，d， ∴， ∵a+c＝4，1＜a＜c＜3， ∴1＜a＜2，c＝4﹣a ∴p， ∵1＜a＜2， ∴P＜0． ∴P的取值范围为P＜0． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 15．（2024春•余姚市期末）已知反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（﹣3，4）． （1）请判断点B（6，2）是否在此反比例函数图象上，并说明理由． （2）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，x2＝x1+3， ①若y1＞y2，求x的取值范围． ②若y1＝2y2，求x＜x1+x2时，y的取值范围． 【分析】（1）将点A（﹣3，4）代入反比例函数中，求出反比例的表达式，最后进行判断即可； （2）①根据反比例函数的性质得出点C（x1，y1）在第二象限，点D（x2，y2）在第四象限，列出不等式组即可得出答案； ②根据已知条件可得x1+x2＝9，当x＝9时，，数形结合可得，当x＜x1+x2时，y的取值范围是或y＞0． 【解答】解：（1）将点A（﹣3，4）代入反比例函数中， 即k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为， 当x＝6时，y＝﹣2≠2， ∴点B（6，2）不在此反比例函数图象上． （2）①∵k＝﹣12＜0， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵y1＞y2，x2＝x1+3＞x1， ∴点C（x1，y1）在第二象限，点D（x2，y2）在第四象限， ∴， 解得：﹣3＜x1＜0． ②∵y1＝2y2， ∴x2＝2x1， ∵x2＝x1+3， ∴2x1＝x1+3， ∴x1＝3，x2＝6， ∴x1+x2＝9， 当x＝9时，， ∴当x＜x1+x2时，y的取值范围是或y＞0． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 16．（2024春•丽水期末）已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值． （2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小． （3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明． 【分析】（1）将点（1，3）坐标代入求出k1即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可； （3）由反比例函数的性质可得y2的最大值为，最小值为，y1的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程，即可求解． 【解答】（1）解：将点（1，3）坐标代入得：3， 解得：k1＝3， （2）解：∵中k1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，y随x的增大而减小， ∵2＜4， ∴a﹣b＞c﹣b，a﹣b＞0，c﹣b＞0， ∴a＞c＞b； （3）证明：∵反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24， ∴y2随x的增大而增大，则y2的最大值为，最小值为， ∵反比例函数．如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24， ∴y1随x的增大而减小，则y1的最大值为，最小值为， ∵函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8， ∴5，4.8， ∴（m+1）k1﹣k2m＝5m（m+1）①，mk1﹣（m+1）k2＝4.8m（m+1）②， ∴①﹣②得：k1+k2＝0.2m（m+1）， ∴k1+k2． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，由题意列出两个方程是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$