专题01 实数（6重点+17种题型+复习提升）（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪科版

专题01 实数 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 算术平方根 算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 知识点 2 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点 3 立方根 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点 4 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1） 开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）含圆周率π有关的数，如5π，3+π，等； 3）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点 5 实数的分类及性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点 6 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 高妙技法 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（2025·浙江·三模）的平方根是 ． 2．（24-25七年级下·重庆江津·期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【题型2 用计算器求平方根与立方根】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器计算（结果精确到0.01）： （1） ； （2） ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器计算（结果精确到）： （1） ； （2） ． 【题型3 利用算术平方根的非负性求解】 高妙技法 任意非负数a的算术平方根是非负数，即≥0(a≥0). 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知：实数满足关系式，求的平方根是 ． 7．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型4 与算术平方根/立方根有关的规律探究题】 高妙技法 平方根的小数点移动规律：被开方数a的小数点移动与它的平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528. 9．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 10．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 11．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 12．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【题型5 已知一个数的平方根/立方根求这个数】 13．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【题型6 平方根与立方根综合】 15．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 16．（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，且，则的平方根为 ． 17．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 18．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的算术平方根是1，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 19．（24-25七年级下·吉林·期中）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求，，的值． (2)求的立方根． 20．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【题型7 利用平方根/立方根解方程】 高妙技法 1.利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 2.在解方程时，常需将方程转化为 (将x+b看作一个整体)的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值. 21．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 22．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型8 平方根/立方根的实际应用】 23．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 24．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 25．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 26．（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【题型9 无理数的识别】 高妙技法 1）有理数指的是有限小数或无限循环小数，而无理数指的是无限不循环小数； 2）所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数的形式. 27．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）在中，无理数的个数有（   　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型10 无理数的大小估算】 高妙技法 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算的大小例如:因为25<a<36，则. 29．（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 30．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型11 无理数整数部分的有关计算】 高妙技法 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 32．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．4－ B．－ C． D．4 33．（24-25七年级下·云南昆明·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【题型12 实数的分类】 高妙技法 见知识点5 34．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 35．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________…}； (2)负无理数集合：{____________…}； (3)整数集合：{____________…}； (4)正实数集合：{____________…}； (5)负实数集合：{____________…}． 【题型13 实数的性质】 高妙技法 见知识点5 36．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 37．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 38．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 39．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【题型14 比较实数的大小】 高妙技法 可利用数轴比较法，绝对值比较法，求差比较法，平方比较法，估算法等尝试比较实数大小 40．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 42．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【题型15 实数的混合运算】 高妙技法 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 43．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【题型16 与实数运算有关的新定义问题】 45．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 46．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 47．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【题型17 实数运算的实际应用】 48．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 49．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 50．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 51．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【题型18 与实数运算有关的规律探究问题】 52．（23-24七年级上·重庆开州·期末）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字； （3）请直接写出的个位数字． 53．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________． (1)通过观察并归纳，请写出：_____________． (2)计算：． 提升专练 1．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（    ） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245 5．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 6．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下面是小明完成的线上作业，他的得分是（   ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②任意数的立方根都只有一个．（√） ③平方根等于本身的数是1和0．（√）④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（√） ⑤立方根等于本身的数是1和0．（×） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 9．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 10．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 11．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）美术课上老师要求每个人裁出半径为的圆形画纸，小芳有一张长方形画纸，长方形画纸的面积为，长与宽的比为，她能裁出符合要求的圆形画纸吗？ 12．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 13．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，， ∴，即． 请你根据小智的猜想，解答下列问题． (1)比较大小：_____（填“”“”或“”）． (2)当，时，直接写出和之间关系． (3)运用（）的结论，计算： ． 已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． (4)直接写出的值． 15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 16．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 真题感知 1．（2024·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 7．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 8．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 算术平方根 算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 知识点 2 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点 3 立方根 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点 4 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1） 开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）含圆周率π有关的数，如5π，3+π，等； 3）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点 5 实数的分类及性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点 6 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 高妙技法 有时候题目会故意没有去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（2025·浙江·三模）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·重庆江津·期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根．根据算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【详解】解：解：∵，3的算术平方根是； ∴的算术平方根是； ∴的立方根是． 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．注意题中给出的数需要计算后再求其平方根或立方根． 分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：64的立方根是4；的算术平方根是4；的平方根是， 故答案为：4；4；． 【题型2 用计算器求平方根与立方根】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器计算（结果精确到0.01）： （1） ； （2） ． 【答案】 4.82 8.02 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：4.82，8.02． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器计算（结果精确到）： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了计算器运算算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【题型3 利用算术平方根的非负性求解】 高妙技法 任意非负数a的算术平方根是非负数，即≥0(a≥0). 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知：实数满足关系式，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方根．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方，并进一步求其平方根即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴，的平方根为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，44 【分析】本题主要考查整式的加减混合运算及化简求值，绝对值和算术平方根的非负性．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，将整式进行化简，然后代入求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【题型4 与算术平方根/立方根有关的规律探究题】 高妙技法 平方根的小数点移动规律：被开方数a的小数点移动与它的平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：由，可得. 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528. 9．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 11．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【答案】42 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 【题型5 已知一个数的平方根/立方根求这个数】 13．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正数的平方根，且正数的平方根是互为相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得：， 则， ∴， 则这个数为9． 故答案为：9． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ， 故答案为： 【题型6 平方根与立方根综合】 15．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 16．（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根，先由，分别得，，结合，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵16的平方根是 故答案为：． 17．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 18．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的算术平方根是1，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了立方根，平方根，算术平方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先根据立方根和算术平方根的定义得到关于a、b的值，再由绝对值的性质可求出c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是1， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是绝对值最小的数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 19．（24-25七年级下·吉林·期中）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求，，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)，，的值分别为25，4，13 (2)4 【分析】本题考查正数的平方根，算术平方根，立方根，正确理解定义是解题的关键． （1）根据整数的平方根有两个，它们互为相反数，相加得0，；利用算术平方根计算，即可解答； （2）将（1）中所求的值代入，再进行立方根的定义计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得，． ∴． 答：，，的值分别为25，4，13． （2）， ∴． 答：的立方根为4． 20．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，的整数部分是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的大小估算，根据平方根、算术平方根、立方根的定义，估算无理数的大小分别求出的，，的值，然后代入计算即可求解，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的算术平方根为． 【题型7 利用平方根/立方根解方程】 高妙技法 1.利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 2.在解方程时，常需将方程转化为 (将x+b看作一个整体)的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值. 21．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了立方根与平方根的定义解方程，熟练掌握立方根与平方根的定义是解题的关键； （1）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解方程； （2）先利用立方根的定义得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：或； （2）解：， ∴， 解得：． 22．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程和立方根解方程，熟练掌握其概念是解题关键． （1）先将常数项移到等式右边，再将二次项系数化为1，最后根据平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： 或； （2）解： 解： 【题型8 平方根/立方根的实际应用】 23．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题考查求代数式的值，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，， 即． 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是秒． 24．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 25．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 26．（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 【题型9 无理数的识别】 高妙技法 1）有理数指的是有限小数或无限循环小数，而无理数指的是无限不循环小数； 2）所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数的形式. 27．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）在中，无理数的个数有（   　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数． 根据无理数的定义即可得到答案． 【详解】解：在中是无理数的是，共个， 故选：B． 28．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义．求一个数的立方根，由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【详解】 解：在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中， 无理数有，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），共3个． 故选：B． 【题型10 无理数的大小估算】 高妙技法 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算的大小例如:因为25<a<36，则. 29．（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即估计的值在5和6之间． 故选：D． 30．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算的规律，实数与数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键．先由题意可得，点的数为2，再整理得表示的数为，故表示的数为，，同理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得；； 故选：D． 【题型11 无理数整数部分的有关计算】 高妙技法 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 32．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．4－ B．－ C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，代数式计算等．根据题意可得，，继而可得本题答案． 【详解】解：∵，整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 33．（24-25七年级下·云南昆明·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ． (2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)4；；8 (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）结合阅读材料可求出m和n的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a和b的值，再结合阅读材料可求出c的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为是4，小数部分为， ∴． （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴． ∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵，即， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【题型12 实数的分类】 高妙技法 见知识点5 34．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 35．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________…}； (2)负无理数集合：{____________…}； (3)整数集合：{____________…}； (4)正实数集合：{____________…}； (5)负实数集合：{____________…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数统称为实数，是解题的关键： （1）根据正无理数是大于0的无限不循环小数，作答即可； （2）根据负无理数是小于0的无限不循环小数，作答即可； （3）根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可； （4）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可； （5）根据负实数包括负有理数和负无理数，作答即可； 【详解】（1）解：正无理数集合：{…}； （2）负无理数集合：{…} （3）整数集合：{…} （4）正实数集合：{…}； （5）负实数集合：{…}． 【题型13 实数的性质】 高妙技法 见知识点5 36．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 37．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 38．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求实数的绝对值及实数的运算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先化简绝对值再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 【题型14 比较实数的大小】 高妙技法 可利用数轴比较法，绝对值比较法，求差比较法，平方比较法，估算法等尝试比较实数大小 40．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数大小的比较，掌握实数大小的比较法则是解题的关键． 先分别 求出各选项中数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列实数表示在数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数以及利用数轴比较实数的大小，解题的关键是将各数在数轴上表示出来． 画出数轴，然后根据数轴的特点表示出所有的数，再根据数轴上的数右边的总比左边的大进行排列． 【详解】解：， 各数表示在数轴上如下： ． 42．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 【题型15 实数的混合运算】 高妙技法 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 43．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2先求算术平方根、立方根，再计算加减即可； （3）先乘方、求算术平方根、化简绝对值，再计算加减即可； （4）先乘方、求立方根、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、算术平方根及实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型16 与实数运算有关的新定义问题】 45．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查实数的运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：∵对于任意实数，，都有， ∴ ， 故答案为：9． 46．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，结合无理数的估算方法即可求解； （2）根据题意，将原式分为，，，结合新定义的计算即可求解． 【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 47．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 【题型17 实数运算的实际应用】 48．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 49．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 50．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 51．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【题型18 与实数运算有关的规律探究问题】 52．（23-24七年级上·重庆开州·期末）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字； （3）请直接写出的个位数字． 【答案】（1）2；（2）3；（3）1； 【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出； （2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即可求得； （3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得； 【详解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807… 发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵799＝74×24+3 ∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3 由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵899＝84×24+3 ∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2 （2）由于2¹=2，2²=4，2³=8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2³的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数字是3, 82019的个位数字是2 ∴22019＋72019＋82019的个位数字是3； (3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4； 22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4； 32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9； ∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1． 【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力． 53．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________． (1)通过观察并归纳，请写出：_____________． (2)计算：． 【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2） 【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示； （2），，，然后找出其中的规律进行计算即可． 【详解】（1）=1； ； ； … 观察上述算式可知：=n． （2）， ， ． 【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键． 提升专练 1．（2025·安徽阜阳·三模）（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故选：B． 2．（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是熟练算术平方根定义． 根据算术平方根的定义直接解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（    ） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么被开方数的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，平方根的性质，正确理解题意是解题的关键． 首先根据定义的运算法则得到，然后整理得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下面是小明完成的线上作业，他的得分是（   ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②任意数的立方根都只有一个．（√） ③平方根等于本身的数是1和0．（√）④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（√） ⑤立方根等于本身的数是1和0．（×） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，平方根和立方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据实数的分类，平方根和立方根的概念理解分别判断即可． 【详解】解：①任意一个实数不是有理数就是无理数，正确，小明判断正确； ②任意数的立方根都只有一个，正确，小明判断正确； ③平方根等于本身的数只有0，原说法错误，小明判断错误； ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根，原说法错误，因为只有非负数才有平方根，小明判断错误； ⑤立方根等于本身的数是和0，原说法错误，小明判断正确， ∴小明答对3题，得分分， 故选：B． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质得，，求得的值，再计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，， ∴ ∴帛画的面积为， 故选：A． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方的含义即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，，， ∴，且更接近， 故选：C． 9．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算，，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 10．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，实数的概念； （1）根据是无理数，是有理数，可得，再根据立方根的概念求解即可； （2）根据是无理数，是有理数，可得，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 所以， 所以的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ， 解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）美术课上老师要求每个人裁出半径为的圆形画纸，小芳有一张长方形画纸，长方形画纸的面积为，长与宽的比为，她能裁出符合要求的圆形画纸吗？ 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及无理数比较大小，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设长方形的长为，宽为，求出长和宽，然后和直径比较即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则： ， 解得：， 长为，宽为， 因圆形直径为，，故无法裁出， 答：小芳不能裁出符合要求的圆形画纸． 12．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 13．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 【答案】(1) (2)；；能 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案； （2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点， ∴； （2）解：由（1）可得，点B表示的数为， ∵点所表示的数为5， ∴； ∵的速度是1个单位长度/秒， ∴从到达时的运动时间为秒， ∴运动的路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴能逃脱的魔爪 14．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，， ∴，即． 请你根据小智的猜想，解答下列问题． (1)比较大小：_____（填“”“”或“”）． (2)当，时，直接写出和之间关系． (3)运用（）的结论，计算： ． 已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． (4)直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)；这个长方形的面积为； (4)． 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （）分别计算，然后比较即可； （）根据题例即可求解； （）由（）式子即可求解； 利用即可求解； （）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：或； （3）解： ； 这个长方形的面积 ； （4）解： ． 15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由（1）得：； 故答案为： （3） 16．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，请你先阅读下面三位同学的对话，然后分别求出，，及的值． 【答案】，，， 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，先分别根据对话内容，列式，求出；故，，所以，然后得出，且，得，因为为的立方根，故，即可作答． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ，， ， ，且， ； 为的立方根，， ， 即． 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 真题感知 1．（2024·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要查了无理数的估算．根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：C 2．（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，分数，整数属于有理数． 利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】A、是有理数，不合题意； B、是有理数，不合题意； C、，是有理数，不合题意； D、是无理数，符合题意． 故选：D． 3．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 5．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 7．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 8．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：原式 . 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2 / 2 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