精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题

高二诊断性调研监测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数处取得极值，则（ ） A B. C. 5 D. 9 6. 某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（ ） （附：，） A. 4 B. C. 5 D. 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X的期望，则 B. 离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小 C. 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关 D. 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大 10. 已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ） x 2 3 1 2 0 A. 在是减函数 B. 在定义域上有两个极值点 C. 若，则函数有两个零点 D. 若在上的最大值为2，则 11. 设数列的前n项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数m，k，使得，称数列是“T数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为T数列 B. 若，则T数列 C. 若，则为T数列 D. 若，则存在两个T数列，使得 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则_______． 13. 若随机变量，且，则_______． 14. 已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C切线，交x轴于； …… 由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为． （1）求通项公式； （2）求的前项和． 16. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 17. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 19. 某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． （1）若，求的分布列和期望； （2）证明：； （3）定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二诊断性调研监测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故， 故选：C 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 3. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式一一计算即可. 【详解】因为，， 所以，，，. 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得. 故选：D 5. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故 故选：D. 6. 某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（ ） （附：，） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】完成下列联表，根据 公式代入求值即可. 【详解】根据表中数据完成下列联表，如下： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 30 50 100 则. 故选：A. 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 8. 若关于x不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为和两函数图象问题，求导得到的单调性，而的图象为过定点的直线，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， 且时，恒成立，时，恒成立， 而的图象为过定点的直线， 设与相切时，切点为， 则切线斜率，又在上， 故，，与联立得 ，解得， 当时，切线斜率为不合要求， 当时，切线斜率为，满足要求， 故当时，图象恒在的上方，不合要求， 同一坐标系内，画出两函数图象，如下： 显然，当经过点时，， 当经过点时，， 不等式存在唯一的整数解，显然此整数解为-1， 需满足，即. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X的期望，则 B. 离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小 C. 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关 D. 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据均值的性质判断A；根据方差的概念判断B；由正态曲线的性质判断C，相关系数的概念判断D. 【详解】由，得，故A 对； 离散型随机变量的标准差越大，随机变量取值越分散，说明变量离散程度越大；故B错； 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关，始终为1，故C对； 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大；故D对； 故选：ACD 10. 已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ） x 2 3 1 2 0 A. 在是减函数 B. 在定义域上有两个极值点 C. 若，则函数有两个零点 D. 若在上的最大值为2，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给的条件，分析函数的单调性和极值，作出函数的草图，数形结合，逐项判断即可. 【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下： 对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误； 对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确； 对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确； 对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确. 故选：BCD 11. 设数列的前n项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数m，k，使得，称数列是“T数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为T数列 B. 若，则为T数列 C. 若，则为T数列 D. 若，则存在两个T数列，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合周期数列性质以及“T数列”定义，可判断A；，利用“T数列”定义结合等差等比数列性质可判断BCD. 【详解】对于A，，为：，为周期数列， 则的可能取值为0或1，故当，时，可取， 时，可取， 故为T数列，A正确； 对于B，，则， 故对任意的正整数，为偶数， 令，则，由于为偶数，则为整数， 总能找到正整数，使得成立，如， 即存在正整数m，k，使得成立，B正确； 对于C，，， 当时，，令， 由于， ，故不存在正整数m，k，使得，C错误； 对于D，，可取， 结合B的分析可知为T数列， 对于，， 令，即， 对任意的正整数，总为正整数， 故总能找到正整数，使得成立，如， 故为T数列，即存在两个T数列，使得，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由等比数列的性质可得，即，解得. 故答案为： 13. 若随机变量，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求代数式的值. 【详解】因为随机变量，可知正态分布曲线的对称轴是， 所以正态分布的对称性可得，故， 故答案为：. 14. 已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； …… 由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可得到切线方程，从而得到，以及与的关系，再由，即可得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而得到通项公式，再令，计算，通过其单调性，即可得到最大值. 【详解】由可得，且，， 则切线方程为，令可得，解得，即， 在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 因为切线交轴于，令，则， 即，即， 则， 则， 因为，所以， 且， 所以数列是以为首项，以为公比等比数列， 则， 设，则， 当时，， 当时，， 当时，，即， 所以，且， 即的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项求和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 所以. 16. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由代入计算，即可得到结果； （2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则，， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 即时，有极小值，且， 又，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】（1）更适宜作为回归模型，理由见解析 （2）（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【解析】 【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程； （ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示. 【小问1详解】 更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； 【小问2详解】 （i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可. （3）引入函数，分别证明（）和（）即可. 【小问1详解】 因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. 小问3详解】 当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 19. 某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数． （1）若，求的分布列和期望； （2）证明：； （3）定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式： 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为3； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）分析得的所有可能取值为2，3，4，再写出其分布列，计算其期望即可； （2）记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂，再根据互斥事件的加法公式计算即可； （3）分析出的可能取值为，再利用条件期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得，的所有可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 . 【小问2详解】 由题意可知，事件表示在前代繁殖过程中只有一次繁殖为2个微生物个体， 且之前与之后都繁殖为1个微生物个体， 记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂（即第代开始为2个微生物）， 则两两互斥， 且， 而， 因此 ， 所以． 【小问3详解】 在的条件下，的可能取值为， 则， ， 故由条件期望公式可得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$