猜想02 三角函数的图象与性质（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

猜想02 三角函数的图象与性质 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角函数的周期性问题 · 题型二 三角函数的奇偶性和对称性问题 · 题型三 三角函数的单调性问题 · 题型四 三角函数的值域与最值问题 · 题型五 三角函数的零点（交点）问题 · 题型六 三角函数的图象变换问题 · 题型七 求图象变换前后的解析式 · 题型八 确定三角函数解析式 · 题型九 实际应用问题 · 题型十 恒成立与有解问题 题型一 三角函数的周期性问题 1．（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列函数中，周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数与的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．6 D．3 4．已知，，则满足要求的有 个． 5．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二 三角函数的奇偶性和对称性问题 6．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则 . 8．已知函数的图象关于对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角函数的单调性问题 12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 13．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 14．若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 16．若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为 . 17．已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 题型四 三角函数的值域与最值问题 18．函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 19．若函数的定义域为，则的值域为 ． 20．函数，则的最小值为 ． 21．已知函数（，）图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则实数的取值范围是 ． 22．已知函数在上的最大值为，则 . 23．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，若的最大值为，求的值. 24．已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 题型五 三角函数的零点（交点）问题 25．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．函数与图象的交点个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 27．已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当有2个交点时，设2个交点的横坐标分别为，，则 30．某同学用“五点法”画函在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 31．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 题型六 三角函数的图象变换问题 32．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 33．要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 34．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 35．要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 36．设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (1)求的值； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 题型七 求图象变换前后的解析式 37．把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（    ） A．2 B．2 C．2 D．2 38．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 39．将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 40．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 41．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 42．已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 题型八 确定三角函数解析式 43．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 44．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 45．声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B．、 C． D． 46．（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 47．（多选）已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 48．已知函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 题型九 实际应用问题 49．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（    ）      A． B．点第一次到达最高点需要的时间为 C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D．若在上的值域为，则的取值范围是 50．（多选）在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（   ） A．在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B．在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 51．“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 m 52．已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 53．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植 54．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 题型十 恒成立与有解问题 55．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．若，函数，且在恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 57．若对任意的实数，任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 58．已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)，不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 59．已知函数，且函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 60．已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. $$猜想02 三角函数的图象与性质 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角函数的周期性问题 · 题型二 三角函数的奇偶性和对称性问题 · 题型三 三角函数的单调性问题 · 题型四 三角函数的值域与最值问题 · 题型五 三角函数的零点（交点）问题 · 题型六 三角函数的图象变换问题 · 题型七 求图象变换前后的解析式 · 题型八 确定三角函数解析式 · 题型九 实际应用问题 · 题型十 恒成立与有解问题 题型一 三角函数的周期性问题 1．（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A,因为 , 所以 的周期为 , 因为 , 所以 是偶函数,A 符合题意； 对于B, 是奇函数，B 不合题意； 对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意； 对于C, 因为 是偶函数， 因为 的周期是 符合题意. 故选: AC. 2．在下列函数中，周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，周期为，A不是； 对于B，，周期为，B不是； 对于C，，周期为，C是； 对于D，，周期为,D不是. 故选：C 3．已知函数与的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】D 【详解】设函数的最小正周期分别为， 由图象可知：，且， 则，整理可得. 故选：D. 4．已知，，则满足要求的有 个． 【答案】 【详解】由， 对于在上各有一个解，且最小正周期为， 由，故在区间上共有个. 故答案为： 5．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是， 当时，， 所以. 故选：D. 题型二 三角函数的奇偶性和对称性问题 6．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项，定义域为R，， 故为偶函数，A正确； B选项，由指数函数图象知，为非奇非偶函数，B错误； C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，D错误. 故选：A 7．已知函数，且，则 . 【答案】 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 8．已知函数的图象关于对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】函数， 由函数的图象关于对称，得当时，取得最值，即， 因此，所以. 故选：D 9．已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是偶函数， 则，得， 令，解得. 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D. 10．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知是函数的一条对称轴，即，解得， 又，则当时，取得最小值为． 故选：B 11．若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 题型三 三角函数的单调性问题 12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，A不满足条件； 对于B选项，函数的最小正周期为， 且当时，，所以函数在上不单调，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，因为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为， 且当时，，故函数在上单调递减，D满足条件. 故选：D. 13．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可得：， 可得，求解上的解集可得：， 由图象可知在上的解集为， 故选：A 14．若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 15．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，， 又在上单调递减，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，，所以，故C错误； 对于D，， 又，即， ，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 16．若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知，且，解得， 又的图象在上单调，且，可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为： 17．已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 【答案】(1)单减区间为，无增区间 (2) 【详解】（1），故，解得， 故，其中的递增区间为的递减区间， 令，解得， 故的递减区间为，无递增区间； （2），，故， ，，解得. 题型四 三角函数的值域与最值问题 18．函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 19．若函数的定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 20．函数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 21．已知函数（，）图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知函数（，）图象经过点，则， 由于，则.得． 由，得；由，得；由，得． 因为在上有且只有两个最值点，故，所以． 故实数的取值范围是． 故答案为：． 22．已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 23．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，若的最大值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，， 故当时，函数的最大值为，解得. 24．已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）函数， 由，得 所以的单调减区间，. （2）若在区间上的最大值为，可得， 且当时，取得最大值， 即有，解得，则的最小值为． 题型五 三角函数的零点（交点）问题 25．当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 26．函数与图象的交点个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 27．已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 28．若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，画出在的图象， 也画出的草图， 函数与的图象有且仅有4个交点， 则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可. 满足，解得． 故选：C． 29．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当有2个交点时，设2个交点的横坐标分别为，，则 【答案】B 【详解】因为函数，， 所以，，，， 且易知在上单调递减，在上单调递增， 据此可作出在上的大致图象如图所示． 对于选项A：由图可知当时有1个交点，故A错误； 对于选项B：由图可知当或时有1个交点，故B正确； 对于选项C：由图可知当时，有且只有1个交点，故C错误； 对于选项D：由图可知有2个交点时，故D错误． 故选：B． 30．某同学用“五点法”画函在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 31．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 所以，实数的取值范围即为函数在时的值域. 当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 题型六 三角函数的图象变换问题 32．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【详解】向右平移个单位， 将函数的图像得到函数的图象 故选：C. 33．要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因为，所以为了得到的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：C. 34．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得. 故选：C. 35．要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 36．设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (1)求的值； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）由题意可知： 结合在单调递增，故,解得， 所以，得， 由于，故， （2）由（1）得， 所以的图象可由的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的得到. 题型七 求图象变换前后的解析式 37．把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（    ） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【详解】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到，再把函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：B 38．函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，，， 所以函数为非奇非偶函数， 故选：D. 39．将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为，即， ∵函数的图象关于轴对称， ∴函数为偶函数， ∴，故， ∵，∴当时，. 故选：D. 40．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， 经过题中的一系列变换得到， 令，，解得：，， 对各项验证可得：当时，. 故选：D. 41．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 42．已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为（），对称中心为（）. (2). 【详解】（1）函数 ， ∴. 令，，得，， 即函数的单调递增区间为（）. 令，，得，， 所以函数的对称中心为（）. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象； 再向下平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以，所以， 所以，即的值域为. 题型八 确定三角函数解析式 43．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题图，，所以或，， 因为，所以， ，所以，得，， 又，得，则，故， 所以. 故选：D 44．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】C 【详解】由图得：，所以最小正周期，则， 当，得，所以， 又，所以，则， 则，故A不正确； 则，不是奇函数，故B不正确； 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 当时，，则在区间上不单调，故D不正确； 故选：C. 45．声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B．、 C． D． 【答案】C 【详解】设题设中左图对应的解析式为，则， 而，其中，故，故， 故，其最小正周期为. 右图对应的解析式为， 则且，故，故，其最小正周期为， 而的最小正周期为， 故该和弦的一个最小正周期为，故周期为， 故选：C 46．（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，由图象可得， 又，所以，由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确； D：当时，，所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 47．（多选）已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则， 所以，所以，解得，则周期为，A错误； 则，将点代入得， ，即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以，故B正确； 当时，，由正弦函数性质， 在区间上单调递增，C正确； 由于， 所以直线不是函数的对称轴，D错误. 故选：BC 48．已知函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得，， 可得，所以，即. （2）由不等式，可得， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 题型九 实际应用问题 49．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（    ）      A． B．点第一次到达最高点需要的时间为 C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D．若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确.    故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 50．（多选）在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（   ） A．在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B．在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 【答案】BC 【详解】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误； 由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值， 可解得，故，则是函数的对称轴， 区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确； 因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，， 故，则，即时取最小值， 在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次， 在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次， 故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确； 当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误． 故选：BC． 【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决本题. 51．“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 m 【答案】38.5 【详解】令开始转动tmin后距离地面的高度为Hm， 依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘直径为46m，得， 由最高点距离地面高度为50m，得，解得， 由转一周大约需要15min，得，解得， 又当时，，即，而，解得， 因此，当时，， 所以游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为. 故答案为：38.5 52．已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 【答案】 【详解】对，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又，故，解得； 令，即，，又，令， 则或，解得， 则一天中需要降温的时长为：小时. 故答案为：；. 53．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【详解】（1）由题意，设 由，即， ，， 所以 故函数 （2）由知， 根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知 易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可， 所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时， 则有，且， 所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间， 故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 54．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 题型十 恒成立与有解问题 55．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 56．若，函数，且在恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，． 因为在上恒成立， 所以和是的两根，且， 则，故，，． 故选：D． 57．若对任意的实数，任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 【答案】 【详解】因为恒成立， 则恒成立， 若对任意的实数，使得上式成立，则， 则， 解得，则， 解得， 由，则取得最大值时， 此时． 故答案为： 58．已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)，不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）， 设，，， 方程可化为：，解得：或，或. （2）当时，，； 由（1）知：可化为， 当时，，在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，，解得：， 即实数的取值范围为. 59．已知函数，且函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为函数， 所以 . （2）由（1）， 若，则，所以， 令，则， 那么若存在，使等式成立， 即为存在，使得即成立， 当时，；当时，可得；当时，. 因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以m的最小值为，的最大值为3， 所以实数的取值范围为； （3）当时，不等式恒成立，即恒成立； 所以当时，， 当时，，， 所以， 若时，显然恒成立； 若时，当时，，分别取得最小值， 所以当时，也取得最小值，即成立， 故可得，解得； 当时，时，取得最小值，取得最大值， 则取得最小值， 即成立，得，. 综上可得：的范围是. 60．已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得，则； 令，则： 故的单调递增区间为：. （2）由， 因为，可得， 所以，即， 又由，方程有解， 即方程有解，即有解， 令，即有解， 令在上为单调递增函数， 则,所以， 即实数的取值范围为. $$