猜想03 数量积与复数（考题猜想，13大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

猜想03 数量积与复数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 数量积及其应用 · 题型二 求向量模长 · 题型三 夹角及其应用 · 题型四 投影向量 · 题型五 复数的基本运算 · 题型六 复数的分类 · 题型七 复数的模长 · 题型八 复数的几何意义 · 题型九 复数相等 · 题型十 复数范围内方程的根 · 题型十一 复数多选题（多考点综合） · 题型十二 数量积最值及范围问题 · 题型十三 数量积新定义问题 题型一 数量积及其应用 1．已知，向量，，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 3．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 5．已知平行四边形中，，，E为中点，则 ． 6．如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是 ．    7．在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 题型二 求向量模长 8．已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．2 9．已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ． 10．已知两个非零向量，，若，，，则 . 11．设与的夹角为，则 . 12．已知平面向量，，满足，，且，则 . 13．已知正方形的边长为1，点满足，则 . 14．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 题型三 夹角及其应用 15．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 16．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 17．在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 19．已知非零向量满足，则向量与的夹角为 20．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 21．如图，在四边形中，，，设，． (1)用，表示，； (2)若与相交于点，，，，求． 题型四 投影向量 22．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 23．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 24．已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 26．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是 ． 题型五 复数的基本运算 27．设，则（    ） A． B． C． D． 28．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 29．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 30．已知复数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 31． . 32．若复数，则的虚部为 . 题型六 复数的分类 33．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 34．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．0 C．6 D． 35．已知复数，且，若是纯虚数，则的最小值是（    ） A．9 B．4 C．1 D． 36．已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 37．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 题型七 复数的模长 38．已知复数，，则（   ） A． B．3 C． D．2 39．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 40．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 41．（多选）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为（    ） A． B． C． D． 42．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 题型八 复数的几何意义 43．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 44．在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 45．已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 46．已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 47．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 题型九 复数相等 48．若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 49．若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 50．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 51．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 . 52．已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 题型十 复数范围内方程的根 53．已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 54．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 55．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 56．（多选）已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为 D．方程的另一个根为 57．已知复数不是纯虚数，且满足. (1)求 (2)若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求. 题型十一 复数多选题（多考点综合） 58．（多选）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 59．（多选）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 60．（多选）已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 61．（多选）设，，均为复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则的最大值为2 C．若，则 D．若，则为纯虚数 62．（多选）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 题型十二 数量积最值及范围问题 63．已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 64．如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 66．如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则 ； ②的最小值为 ． 67．如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 68．如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 69．在中，，，，为边中点． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值； 70．如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值． 题型十三 数量积新定义问题 71．（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 72．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则 . 73．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 74．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则 . 75．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． $$猜想03 数量积与复数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 数量积及其应用 · 题型二 求向量模长 · 题型三 夹角及其应用 · 题型四 投影向量 · 题型五 复数的基本运算 · 题型六 复数的分类 · 题型七 复数的模长 · 题型八 复数的几何意义 · 题型九 复数相等 · 题型十 复数范围内方程的根 · 题型十一 复数多选题（多考点综合） · 题型十二 数量积最值及范围问题 · 题型十三 数量积新定义问题 题型一 数量积及其应用 1．已知，向量，，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，可得，即得， 又因，， 故，解得或（因，故舍去负值）. 故选：C 2．设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以， 所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 3．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 4．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 5．已知平行四边形中，，，E为中点，则 ． 【答案】2 【详解】如图，平行四边形中，，，E为中点， 则，，， 所以， 故答案为：2. 6．如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是 ．    【答案】1 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，其中， 则，， 则，整理可得，解得， 所以满足条件的点只有1个. 故答案为：1.    7．在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 所以. （2），， 因为，所以， 解得 题型二 求向量模长 8．已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】因为平面向量与的夹角为，， 所以，， 所以， 故选：B 9．已知向量 和 的夹角为 ，，，则 ． 【答案】 【详解】， ， 故答案为：. 10．已知两个非零向量，，若，，，则 . 【答案】2 【详解】对进行平方，可得. 已知，， ，. 将上述值代入可得：.即. 已知，所以. 又因为，所以.可得. 因为为非零向量，所以，可得. 故答案为：2. 11．设与的夹角为，则 . 【答案】/ 【详解】由题意知， 又，所以， 展开得，即，解得. 故答案为：. 12．已知平面向量，，满足，，且，则 . 【答案】 【详解】因， 而，，， 则，所以. 故答案为：. 13．已知正方形的边长为1，点满足，则 . 【答案】/ 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点，，，，， 则，，因此，. 故答案为：    14．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 题型三 夹角及其应用 15．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以， 所以， 所以，又，所以. 故选：B 16．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以， 又，，所以， 故选：D. 17．在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，， 因为是边上的中点，所以， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 18．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为单位向量，，所以由平方得： ， 又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立， 则满足， 此时只能满足，即， 因为，所以， 故选：B. 19．已知非零向量满足，则向量与的夹角为 【答案】 【详解】由，可得， 因，， 所以， 又，可得. 即向量与的夹角为. 故答案为： 20．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 21．如图，在四边形中，，，设，． (1)用，表示，； (2)若与相交于点，，，，求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， ； （2）由图可知得夹角即为， ， ， 所以 题型四 投影向量 22．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 23．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为， 故选：D 24．已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 则向量在向量方向上的投影为． 故选：C. 25．已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可得，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 26．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是 ． 【答案】 【详解】依题意得，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量的模是. 故答案为：. 题型五 复数的基本运算 27．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则. 故选：D. 28．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 29．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，故，故. 故选：B. 30．已知复数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以， 故选：C． 31． . 【答案】 【详解】， 所以. 故答案为：. 32．若复数，则的虚部为 . 【答案】 【详解】因为，， 故复数，故的虚部为， 故答案为： 题型六 复数的分类 33．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 【答案】A 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 34．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．0 C．6 D． 【答案】D 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：D 35．已知复数，且，若是纯虚数，则的最小值是（    ） A．9 B．4 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以 ， 因为是纯虚数，所以，即且， 所以 ，当且仅当，即，时取等号. 故选：D 36．已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. （2）解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 37．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 题型七 复数的模长 38．已知复数，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意， 则. 故选：D. 39．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 40．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 41．（多选）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，取，则，，显然，A错； 对于B，由平面向量数量积的定义可得，B对； 对于C，因为，则， 所以，，C错. 对于D，设，， 则， 所以， ，D对； 故选：BD. 42．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，且， ， 为实数，则，得，且， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点）， 表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型八 复数的几何意义 43．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 44．在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 【答案】/ 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 45．已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以 由是实数，得， ∴， （2）由（1）知， ∴， ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得 实数m的取值范围是. 46．已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 47．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)设复数，求； (2)设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 又为纯虚数，，解得. ； （2）， 又复数所对应的点在第一象限， ，解得：. 题型九 复数相等 48．若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，其中，， 则. 又， ∴，解得，∴. 故选：C. 49．若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 50．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 51．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 . 【答案】 【详解】设，因为，所以， 可得，解得为，则的虚部为. 故答案为：. 52．已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， ； （2）原式． 题型十 复数范围内方程的根 53．已知是关于的方程的一个解，则（   ） A．4 B．8 C．6 D．0 【答案】B 【详解】由题意可得，，化简整理得， 则，得， 则. 故选：B 54．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 55．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，解得. 故选：B 56．（多选）已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数z的模为5 C．复数z的虚部为 D．方程的另一个根为 【答案】AD 【详解】复数， 对于BC，，复数z的虚部为，BC错误； 对于AD，方程的另一个根为， ，AD正确. 故选：AD 57．已知复数不是纯虚数，且满足. (1)求 (2)若复数是关于的方程（其中，为实数）的根，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，设 代入并整理得： ， 解得，所以， 所以. （2）由（1）可得，由是方程的根， 所以也是方程的根， 由一元二次方程根与系数的关系得， 得，解得，，则. 题型十一 复数多选题（多考点综合） 58．（多选）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则 ，，所以 为真； 对于B，若，则 和 互为共轭复数，所以 为真； 对于C，设 ，， 若 ，则 ，即 ， 所以 ，所以 为真； 对于D，若，，则， 而 ，，所以 为假． 故选：ABC 59．（多选）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，则， 所以，B正确； 对于C，因为， 所以， ，所以，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点为， 则表示复数在复平面内对应的点在以为圆心1为半径的圆上， 而表示复数在复平面内对应的点到原点的距离， 所以的最大值为，D正确. 故选：ABD. 60．（多选）已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：若，，则，故，对； B：若，则，故，错； C：若，，，则，， 所以，， 所以，对； D：同C分析，， ， 所以，对. 故选：ACD 61．（多选）设，，均为复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则的最大值为2 C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】AB 【详解】对于A，设（，），（）， 由，则， 所以， ， 所以，A正确； 对于B, 由，得复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以当点运动到时，最大，取最大值，最大值为2，B正确； 对于C,若，，，但，，C错误； 对于D，若，满足，当不是纯虚数，故D错误. 故选：AB． 62．（多选）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【详解】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BD. 题型十二 数量积最值及范围问题 63．已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】B 【详解】设点在原点 . 向量 ，因为且沿 轴， 向量 ，且 ， 角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和： ，，所以角平分线方向向量为 ， ， 所以方向的单位向量为：， 设，则， ​​.，， ， ， 这是一个关于的二次函数.当，最小. 此时. 故选：B. 64．如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 65．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 66．如图，中，，为的三等分点，为边上的动点． ①当时，则 ； ②的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 设，易知， ①由可得，即， 因此； ②因为为边上的动点，可得，且， 则 ， 当时，的最小值为. 故答案为：4；. 67．如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在菱形中，易知，， 所以 . （2）在菱形中，，易知， 由，则，即， 所以 ， 故，所以当时，取得最小值为. 68．如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 69．在中，，，，为边中点． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值； 【答案】(1) (2)最小值为 【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，，， 为边中点，所以，，， 则； （2）若点满足，则点在上， 由（1），设，则，， 则， 所以当时的最小值为. 70．如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N． 所以O为MN的中点，所以， 所以． 因为Q是BC的中点，所以，， 所以， 即的取值范围为； （2）令，则 ， ∴，即： ∴ ∴点T 在BC上， 又因为O为MN的中点， 所以，从而，， 因为， 所以， 即的最小值为． 题型十三 数量积新定义问题 71．（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 72．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则 . 【答案】 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得，， 所以. 故答案为：. 73．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设分别为的中点，连接， 则，所以， 所以，故，即， 又因为，， 所以，. 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 又，所以的最大值为. 故答案为：. 74．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则 . 【答案】 【详解】设是的夹角，因为， 又因为，故，所以， 故答案为： 75．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． $$