精品解析：2025年河南省新乡市长垣市中考二模数学试题

2025年中招模拟测评试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 截至4月12 日17时38分，2025年度中国电影总票房（含预售）已突破250亿元，居全球第一．其中，《哪吒之魔童闹海》以的票房占比断层领跑．将“250亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 洛阳，是中国著名的“百段之城”和“围棋之乡”．如图是收藏于洛阳围棋博物馆内的唐代文物——唐代三彩围棋罐，其口径为100毫米，腰径为142 毫米，高度为94 毫米，重量为570 克．其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小李将一个含角的直角三角板摆放在直尺上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术．书法爱好者小张和小东分别从如图所示的四种书体中随机选择一种练习写“春”字，则小张和小东选择不同书体的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当从增加到时，减小了 10. 如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 12. 在学校运动会跳高比赛中，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是_______________（填“甲”或“乙”）． 13. 若关于一元二次方程 有实数根，则的一个值可以是________．（写出一个即可） 14. 如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是________． 15. 如图，正方形中，点E为射线上的一动点，将 沿 所在直线翻折，点A的对应点为．已知 则的最小值为_________；当． 时，线段 的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： ；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分） 频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在 C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1） ；所抽取学生理论知识成绩的中位数是 ； （2）请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； （3）学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲、乙两名同学的理论知识成绩与实践操作成绩如表，请利用这种评价方法，通过计算说明甲、乙两名同学谁的竞赛总成绩更高． 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 95 85 乙 90 90 18. 如图，矩形中，点是上的一点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 19. 南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 20. 为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进排球及足球若干．调查发现购买3个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共50个，且足球数量不少于排球数量的3倍．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，恰为的直径．过点O作的切线与的延长线交于点 D．已知点A的坐标为． （1）求的值； （2）若点 D 恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 22. 如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． （3）如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 23 综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． （1）如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． （3）在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中招模拟测评试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，再进行比较，即可得出答案．要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数大于负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：， 最大的数为， 故选：A． 2. 截至4月12 日17时38分，2025年度中国电影总票房（含预售）已突破250亿元，居全球第一．其中，《哪吒之魔童闹海》以的票房占比断层领跑．将“250亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的表示方法进行解题即可． 【详解】解：．将“250亿”用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 洛阳，是中国著名的“百段之城”和“围棋之乡”．如图是收藏于洛阳围棋博物馆内的唐代文物——唐代三彩围棋罐，其口径为100毫米，腰径为142 毫米，高度为94 毫米，重量为570 克．其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据从正面看到的图形是是主视图解答即可． 【详解】解：唐代三彩围棋罐的主视图为： ， 故选：B． 4. 如图，小李将一个含角的直角三角板摆放在直尺上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质得出，从而求出结论即可求解． 【详解】解：如下图，由题意得：，， ， 故选：C． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，求出不等式的解集．先求出不等式为，然后根据数轴得出不等式组的解集为，再得出这个不等式即可． 【详解】解：由不等式得：， 根据数轴可知，不等式组的解集为， ∴这个不等式是， 故选：D． 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角和弧的度数之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理． 利用圆周角和弧度数之间的关系进行求解即可． 【详解】解：∵， 的度数为， ∵是的直径， 的度数为， 的度数为， ， 故选：D． 7. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法的意义，乘方的意义，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 8. 书法是中国及深受中国文化影响过周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术．书法爱好者小张和小东分别从如图所示的四种书体中随机选择一种练习写“春”字，则小张和小东选择不同书体的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率等于所求情况数与总情况数之比． 设隶书，楷书，行书，草书四种书体分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，由表格可知共有16种等可能的结果，其中小张和小东选择不同书体的情况有12种，再由概率公式计算，即可． 【详解】解：设隶书，楷书，行书，草书四种书体分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 由表格可知共有16种等可能的结果，其中小张和小东选择不同书体的情况有12种， 所以小张和小东选择不同书体的概率为． 故选：A 9. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当从增加到时，减小了 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，通过函数解析式求函数值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 利用函数的图象和性质，利用待定系数法逐项进行求解判断即可． 【详解】解：A.通过反比例函数的图象及性质可知，该选项说法正确，故不符合题意； B.假设函数解析式为，所以，将代入得，，该选项错误，故符合题意； C. 当时，代入，解得，该选项说法正确，故不符合题意； D. 当为时，代入，解得，当为时，代入，解得，所以，减小了，该选项说法正确，故不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，交于H，由“直径所对的圆周角等于”可得，即 F点是、的交点．由菱形的性质可得，， ，．再证，则可得，进而可得，则可得，求得，则可得，由即可得解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交于H． ∵ 是的直径， ， ∴F点是、的交点， ∵菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠﹣1 【解析】 【分析】根据分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故答案为：x≠﹣1． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0． 12. 在学校运动会跳高比赛中，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是_______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义、折线统计图等知识点，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可求解即可． 【详解】解：由折线图可知，甲选手的成绩波动范围较小（从最低分到最高分，差值为），而乙选手的成绩波动范围更大（从最低分到最高分分，差值为），因此，甲选手的成绩更稳定． 故答案为：甲． 13. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的一个值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要 即可） 【解析】 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，根据平方的非负性质可知方程的左侧，所以只要方程就有实数根，所以只要选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：一元二次方程 有实数根， ， 解得：， 则的一个值可以是（答案不唯一，只要即可）． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出点A的纵坐标为6，点B的横坐标为，然后根据平行四边形的性质求出，然后求出平移距离，进而求解即可． 【详解】解：的中点E的坐标是， ∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为 ∴ ∵点C的坐标是 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵将平行四边形沿x轴向右平移，使点E对应点，恰好落在y轴上，E的坐标是 ∴平移距离为2 ∴点D的对应点的坐标是． 故答案为：． 15. 如图，正方形中，点E为射线上的一动点，将 沿 所在直线翻折，点A的对应点为．已知 则的最小值为_________；当． 时，线段 的长为________． 【答案】 ①. ②. 或3 【解析】 【分析】本题主要考查正方形折叠问题，根据，判定点在以D为圆心，以为半径的圆上，当D，，B共线时，取得最小值，根据勾股定理计算可得．由折叠得点关于对称，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵由折叠得，， ∴点在以D为圆心，以为半径的圆上， ∴当D，，B共线时，取得最小值， ∵正方形中， ∴， ∴最小值为； 如图，①当点在线段时， 由折叠得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②当点点在线段外时， ∵，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；或3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： ；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分） 频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在 C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1） ；所抽取学生理论知识成绩的中位数是 ； （2）请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； （3）学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲、乙两名同学的理论知识成绩与实践操作成绩如表，请利用这种评价方法，通过计算说明甲、乙两名同学谁的竞赛总成绩更高． 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 95 85 乙 90 90 【答案】（1）15 83.5分 （2）理论知识成绩高于80分的人数约为900人 （3）乙同学的竞赛总成绩更高 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总量，中位数，加权平均数，扇形图和统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用扇形图，中位数的概念，即可解答； （2）利用样本估计总量，列式子，即可解答； （3）利用加权平均数的概念，即可解答． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（人） ∴（人） 被抽取的成绩按大小顺序排列，最中间的两个数据为第25和26个，即83，84， ∴所抽取学生理论知识成绩的中位数是（分）， 故答案为：15；83.5分 【小问2详解】 解：（人）， 即理论知识成绩高于80分的人数约为900人； 【小问3详解】 解：甲同学的总成绩为 (分)， 乙同学的总成绩为 (分)． ∵， ∴乙同学的竞赛总成绩更高． 18. 如图，矩形中，点是上的一点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行作图即可； （2）根据条件得出，得出对应边相等，再利用勾股定理求出相关的边长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图,即为所求； 【小问2详解】 解：由(1)知， ∴， 又∵在矩形中,,， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得 ∴， ∴， ∴的长为1. 19. 南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半的流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用−−坡度问题，解决本题的关键是掌握坡度定义．先过点C作于点F，得出，结合相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得的长，求出的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 由题意得：， ， 则， ∴， ，即 ， 解得， 在中， ∴， ∴这段大堤的坡度为 ． 20. 为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进排球及足球若干．调查发现购买3个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共50个，且足球数量不少于排球数量的3倍．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）足球的单价为80元，排球的单价为50元 （2）当购买38个足球、12个排球时，所需费用最少，最少费用为3216元 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，利用一次函数的性质求最值等内容，解题的关键是找准等量关系和掌握一次函数的性质． （1）设足球的单价为元，排球的单价为元，找出等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个，根据两种球的数量关系列出一元一次不等式得出，利用一次函数表示出，分析一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，排球的单价为元， 由题意，得 ， 解方程组得 ； 所以，足球的单价为80元，排球的单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个， ∵足球数量不少于排球数量的3倍， ∴， 解得， 由题意，得， ∵ ， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最小，最小值为3216， 此时， 所以，当购买38个足球、12个排球时，所需费用最少，最少费用为3216元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，恰为的直径．过点O作的切线与的延长线交于点 D．已知点A的坐标为． （1）求的值； （2）若点 D 恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何综合，正确作出辅助线求得点的坐标，是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可解答； （2）连接，过点D作轴于点E,利用角度转换得到，再利用相似三角形的判定和性质可得点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：由得， ∵的半径为， ， 在中，根据勾股定理得， ， 【小问2详解】 解：如图，连接，过点D作轴于点E, ， 与相切交于点O, ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ，， 点D的坐标为， ， ∴经过点D的反比例函数的解析式为． 22. 如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． （3）如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为； 因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 【小问1详解】 解：，， 抛物线顶点的坐标是， 为的中点，， 点的坐标是， 设抛物线解析式为， 则有， 解得：， 抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 解：设点的坐标是， 则，， 则撑杆的长度和是， 整理得：， 当时，所需撑杆长度和的最大值为； 【小问3详解】 解：当时，可得：， 整理得：， ，， 最多可以悬挂灯笼的数量是个． 23. 综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． （1）如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． （3）在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）结论成立，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边的性质解答即可； （2）分别延长至点G，至点H，使，，可得垂直平分，垂直平分，从而得到，再证明，，，然后根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，，即可解答； （3）根据题意可得，设，然后分两种情况讨论，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解∶∵，点 F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； 故答案为：， 【小问2详解】 解：如图，分别延长至点G，至点H，使，， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点 F是的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴，，， ∴， 即； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设， 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题主要查了直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$