专题06 期末复习专题：解答题常考题（5大常考题型50题）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题06 期末复习专题：解答题常考题 目录 【考点一 整式乘法之解答题常考题型】 1 【考点二 相交线与平行线之解答题常考题型】 9 【考点三 三角形之解答题常考题型】 19 【考点四 图形的轴对称之解答题常考题型】 32 【考点五 变量之间的关系之解答题常考题型】 44 【考点一 整式乘法之解答题常考题型】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，，． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）． (1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积； (2)当时，求出草坪的面积． 6．（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 7．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【考点二 相交线与平行线之解答题常考题型】 11．（23-24七年级下·云南普洱·期末）如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 12．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 14．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（   ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（   ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 15．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知：如图，，垂足分别为 D、G，点 E 在上， 且求证：． (1)填写下列推理中的空格： 证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∴．（           ）． ∴．（        ）． ∵， ∴．（           ）． ∴． （           ）． ∴．（              ）． (2)请你写出另一种证法 16．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，，，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 18．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 19．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，． (1)证明； (2)求的度数． 20．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【考点三 三角形之解答题常考题型】 21．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 22．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 23．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，已知，， (1)求证：； (2)若，，求的长. 24．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）小亮同学在物理课上学习了物体振动发声实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的，，，在同一平面上），过点C作于点，测得． (1)求证：； (2)求的长． 25．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 26．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点是线段延长线上一点，过点作，交的延长线于点，求的度数． 27．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 28．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 29．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　 (1)如图1，中，为边上的中线，请证明； (2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______； (3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______； (4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来） 30．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【考点四 图形的轴对称之解答题常考题型】 31．（23-24七年级下·河南南阳·期末）（1）在网格中作关于直线l对称的． （2）结合所画图形，在直线l上作出点P，使的值最小． （3）如果每一个小正方形的边长均为1，请直接写出的面积：_________． 32．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度） (1)请在图中作出关于直线l成轴对称的 (2)在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 33．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点．    (1)如图1，作出关于直线对称的图形； (2)如图2，在直线上求作点P，使得． 34．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，直角三角形纸片，将纸片沿折叠，点C落在点B处． (1)若则= ； (2)已知的周长是16，求的周长． 35．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 36．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 37．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 38．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    39．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 40．（24-25八年级上·浙江·期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 【考点五 变量之间的关系之解答题常考题型】 41．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 43．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 44．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 45．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点D在斜边上，，设，．    (1)根据表格的数据，猜想y与x的数量关系为：______________ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … (2)在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 46．（23-24八年级下·河北承德·期末）小亮上山游玩．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系． (1)小亮行走的总路程是_______米，他途中休息了_______分； (2)分别求出小亮休息前和休息后的步行速度； (3)小亮如果不休息，则y与x之间的函数关系式为_______． 47．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 48．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 49．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 50．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期末复习专题：解答题常考题 目录 【考点一 整式乘法之解答题常考题型】 1 【考点二 相交线与平行线之解答题常考题型】 9 【考点三 三角形之解答题常考题型】 19 【考点四 图形的轴对称之解答题常考题型】 32 【考点五 变量之间的关系之解答题常考题型】 44 【考点一 整式乘法之解答题常考题型】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可； （2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方运算、计算单项式除以单项式、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式乘多项式，平方差公式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式，平方差公式法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式化简中括号内的算式，根据多项式除单项式的运算法则将原式化简，再将x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）． (1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积； (2)当时，求出草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)940平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式混合运算和求代数式的值的应用． （1）根据题意列式，再用完全平方公式和多项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ． 答：这块草坪的面积为平方米； （2）当时，平方米． 答：草坪的面积为平方米． 6．（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式四则混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握新运算的运算法则． (1)根据新运算展开，再求出即可； (2)根据新运算展开，再代入求出即可； (3)根据新运算展开，合并后根据已知得出关于的方程，再代入求出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0． （2）解： ， 当时， 原式． （3）解： ， ∵取值与无关， ∴，即， ∴． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①      ②见解析 (2)，理由见解析 【知识点】列代数式、等式的性质2、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查代数式和等式的基本性质： （1）①根据，，，即可求得答案；②根据题意可得，化简即可求得答案； （2）设，，可得，化简可得，进而可求得答案． 【详解】（1）①． ． ． 故答案为：     ②． ． 根据题意，得 （2），理由如下： 设，，则，． 根据题意，得 化简，得 因为，可得 根据题意，得 ，，， 则 ， 则 8．（24-25八年级上·吉林·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)13 (3)． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． （1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案； （2）根据（1）中的结论，将代入进行计算即可； （3）表示出，再变形整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】教材还原：；类比探究：（1）；（2）5；解决问题：种草区域的面积为23 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式，据此解决问题； 教材还原：用不同的方式求面积即可得出； 类比探究：（1）根据阴影部分面积等于大正方形面积减去两个白色长方形面积即可求解； （2）根据图②所得的公式求解即可； 解决问题：根据类比探究得出的公式求解即可． 【详解】解：教材还原：图①等号左边大正方形的面积为，等号右边三部分面积和为， 用含字母的等式表示图中图形面积的运算为：； 故答案为： 类比探究：（1）阴影部分由两个正方形组成，面积和为，也可以看作大正方形减去两个白色长方形面积，面积和为， 用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2）把，代入得，， 解得，， 故答案为：； 解决问题：∵于点，，，该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积为， ∴，即， ∵，即， 根据可得，， 解得，， 在和的区域内种草，种草区域的面积为， 所以种草区域的面积为23． 【考点二 相交线与平行线之解答题常考题型】 11．（23-24七年级下·云南普洱·期末）如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了角平分线的定义，补角的应用， （1）利用角度比及互补关系求出，，根据角平分线求出，即可求出的度数； （2）求出的度数，即可得到的度数，进而得到位置关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴ ∴． 12．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 13．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（   ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（   ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据角的平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换思想证明即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）．． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行；． 15．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知：如图，，垂足分别为 D、G，点 E 在上， 且求证：． (1)填写下列推理中的空格： 证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∴．（           ）． ∴．（        ）． ∵， ∴．（           ）． ∴． （           ）． ∴．（              ）． (2)请你写出另一种证法 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； (2)见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】（1）由与都与垂直，利用垂直的定义得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同位角相等即可得证； （2）由与都与垂直，得到两对角互余，根据等角的余角相等即可得证． 此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）证明： ，， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）； 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）解：，， ， ，， ， ． 16．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，，，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质得，根据补角的性质得，进而可证 ． （2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）， ， 平分， ， ， ． 17．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 18．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，． (1)证明； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、垂直的定义，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． （1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 20．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 【考点三 三角形之解答题常考题型】 21．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）证明即可得证结论； （2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴． 在和中 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 23．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，已知，， (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ． 24．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）小亮同学在物理课上学习了物体振动发声实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的，，，在同一平面上），过点C作于点，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据垂直的定义和同角的余角相等，即可得到结论； （2）证明，得到，则根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ． （2）解：∵， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 答：的长为． 25．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 26．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点是线段延长线上一点，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【知识点】两直线平行同位角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）设，则，再由是边上的高，表示出，，结合列方程求解即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据角平分线定义及平行线性质即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则， 是边上的高， ，，又， ，解得， ； （2），， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查高的定义、直角三角形两锐角互余、解方程、角平分线定义及平行线性质等知识，数形结合，灵活运用相关几何性质求出角度是解决问题的关键． 27．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得； （2）同理（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：同理（1）可得， ∴， ∴， ∴的度数为． 28．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 29．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　 (1)如图1，中，为边上的中线，请证明； (2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______； (3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______； (4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来） 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)4或2 (4) 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. （1）由中线的定义可得可得 ，则可得结论； （2）由中点的定义可得 可得 （3）由中点定义可得由三等份的定义可得或由面积的和差关系可求 或，即可求解； （4）由“”可证可得即可求解. 【详解】（1）∵为边上的中线, ， ∴ ； （2）点是的中点， ， ， ∵点是的中点, ， ， ∵点是的中点, ， ， 故答案为：； （3）如图, 连接, ∵点是的中点, ， ∵点是三等分点， 或， ，或 或, ∵点是的中点, ， 或， 故答案为：或； （4）如图，延长交于, ∵点在的平分线上， ， ， ， 又∵， ， ， ，， ， 故答案为： 30．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 【考点四 图形的轴对称之解答题常考题型】 31．（23-24七年级下·河南南阳·期末）（1）在网格中作关于直线l对称的． （2）结合所画图形，在直线l上作出点P，使的值最小． （3）如果每一个小正方形的边长均为1，请直接写出的面积：_________． 【答案】（1）图见解析（2）图见解析（3）5 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，求解网格三角形的面积； （1）分别确定，，关于直线的对称点，，，再顺次连接即可； （2）如图，连接交直线于点，由轴对称的性质可得此时的值最小， （3）利用割补法求解三角形的面积即可； 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，连接交直线于点，则此时的值最小， （3） 的面积为5． 32．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度） (1)请在图中作出关于直线l成轴对称的 (2)在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题， （1）根据轴对称的性质，找出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交直线于点即可； 熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 则点即为所作． 33．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点．    (1)如图1，作出关于直线对称的图形； (2)如图2，在直线上求作点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题考查轴对称作图： （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于的对称点，连接，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，点点P，即为所求；      由作图可知： 34．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，直角三角形纸片，将纸片沿折叠，点C落在点B处． (1)若则= ； (2)已知的周长是16，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题考查的是折叠的性质，三角形的外角的性质； （1）先证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，求解，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：由对折可得：， ∵， ∴； （2）解：由折叠知，，， ∵的周长是16， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴的周长为：． 35．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、等边对等角、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ； （2）证明：，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 36．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E． (1)若，求的度数； (2)设，． ①请用含α的代数式表示β； ②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形． 【答案】(1) (2)①②，是等边三角形；时，是直角三角形． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】（1）根据题意，得长方形纸条，折叠性质，得，，结合，利用平行线的性质求的度数即可； （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，解答即可． ②根据是等边三角形，得到，结合，解得；当是直角三角形时，． 【详解】（1）解：∵将长方形纸条进行折叠， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即， 故． ②解：根据是等边三角形，得到，又， 解得； 当是直角三角形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性质，平行线性质是解题的关键． 37．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)平行 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“边边边”即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的判定，即可得到答案； （3）先证明，然后根据等腰三角形的性质，得到，进一步利用三角形内角和性质证明，最后根据平行线的判定定理，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形； 理由：， ， ， 是等腰三角形； （3）解：． 理由：，， ， ， ，，，， ， ． 38．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；①见解析；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，， （1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再 ，列出方程，求解即可； （2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ②， ， ，， ， ， 39．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 40．（24-25八年级上·浙江·期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，． (1)如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：； (2)如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离； (3)在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论； （3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． ，， 又， ； （2）解：如图，作直线于点， ，， ，， ， 又，， ， ， 点到的距离为； （3）证明：，， ， 又，， ， ， 是的中点． 【考点五 变量之间的关系之解答题常考题型】 41．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【答案】(1) (2)选择老农果园 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）先求出2千克的费用，再求出超过2千克的费用，二者求和即可得到答案； （2）求出在老农果园和在盛田果园能够购买的草莓重量，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： 在中，当时，； ， ∵， ∴她在老农果园购买更合算． 43．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 44．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【知识点】用表格表示变量间的关系、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 45．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点D在斜边上，，设，．    (1)根据表格的数据，猜想y与x的数量关系为：______________ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … (2)在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角并结合三角形的内角和定理表示和的度数是本题的关键． （1）先根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理可得的度数，从而可得； （2）先根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质和角的差可得结论． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，中，， ， ， ， ． 46．（23-24八年级下·河北承德·期末）小亮上山游玩．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系． (1)小亮行走的总路程是_______米，他途中休息了_______分； (2)分别求出小亮休息前和休息后的步行速度； (3)小亮如果不休息，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】(1)3600；20 (2)小亮休息前的步行速度为65米/分；小亮休息后的步行速度为55米/分 (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查函数图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． （1）由图象求解即可； （2）根据速度等于路程除以时间求解即可； （3）首先求出小亮行走的时间为（分钟），然后根据路程等于速度乘以时间求解即可． 【详解】（1）由函数图象得，小亮行走的总路程是3600米，途中休息了（分钟）． （2）小亮休息前的速度为（米/分钟）， 小亮休息后的速度为（米/分钟）， （3）小亮行走的时间为（分钟）， ∴小亮如果不休息，行走的速度为（米/分钟） ∴y与x之间的函数关系式为． 47．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)离家时间，离家距离 (2)2000，20 (3)5 (4)小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系、函数的概念 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）根据速度等于路程除以时间求解． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）解：由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米；小明共用了20分钟； （3）解：由图象可得：从第10分钟开始到15分钟在修车，故小明修车用了5分钟， （4）解：由图象可得，小明修车前的速度为：（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 48．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 49．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】(1)1.5 (2)60，80，110 (3)270 (4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 50．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】(1)自变量：小球滑行的时间，因变量：小球滑行的速度 (2)①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 (3)不能，理由见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【详解】（1）解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． （2）解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； （3）解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$