专题04 期末复习专题：图形的轴对称（5个知识点+10大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题04 期末复习专题：图形的轴对称 目录 【考点一 轴对称图形的识别】 2 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 4 【考点三 画轴对称图形】 6 【考点四 轴对称中的折叠问题】 12 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 17 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 19 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 24 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 26 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 29 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 32 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【考点一 轴对称图形的识别】 例题：（24-25八年级上·浙江舟山·期末）2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握知轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； C选项中的图标能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选C． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意； B中汉字成轴对称，故本选项符合题意； C中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意； D中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意， 故选：B． 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 【考点三 画轴对称图形】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是正确解答此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，，此时点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求； （2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点P，使，说明主要依据； (3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用轴对称变化的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）连接交于点，连接，点即为所求； （3）延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，点即为所求； 理由：∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长交于点，点即为所求． 理由：∵当不共线时，由三角形三边关系可得， 当共线时，， ∴当共线时，的值最大． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； (2)的面积为 ； (3)若D为l上的动点，则 （填“”“ ”或“”）； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题，割补法求图形面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）根据题意可得． （4）如图，连接，交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为． 故答案为：； （3）解：∵点A与点关于直线l对称，D为l上的动点， ∴； 故答案为：； （4）解：如图，连接，交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． 3．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，在图中标出点的位置； (3)求出的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，求解网格三角形的面积； （1）分别确定关于的对称点，再顺次连接即可； （2）由关于的对称，连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； ； （3）解：的面积为： ； 【考点四 轴对称中的折叠问题】 例题：（24-25七年级上·山东济南·期末）将长方形纸片沿折叠，点落在长方形内的点处，如图所示，已知，则 ． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键，根据长方形的性质得出，再根据折叠的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， 根据折叠的性质得，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】 /90度 /12度 【知识点】实际问题中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差， 根据折叠的性质得，再根据平角定义可得答案再根据折叠得，即可得，进而得出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， 即， ∴； 根据折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质得到，，根据，，即可求解； （2）由折叠的性质得到，，根据，，，根据即可求解； （3）由折叠的性质得到，，由，可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ， ； （2）由折叠的性质，得到，， ，， ，， ； （3），     ， 由折叠的性质，得到，， ， 的度数为． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）先求出，由折叠，则即可得出结论； （2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可； ②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决． 【详解】（1）解： 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：，    与是一组“奇妙角”； （2）解：①设， 由对折可得：， ， ，     与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图：   ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图：     ， ， ， ， 综上所述，或． 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分以下两种情况： ①当是顶角时，底角； ②当是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点是边上的中点，，则 ． 【答案】/33度 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据“三线合一”可得答案． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，平分，点是射线上一点，如果是以为腰的等腰三角形，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再分两种情况进行讨论：①；②，分别求出结果即可． 【详解】解：在中，，， ， ∵平分， ∴； 分两种情况： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的度数为或． 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质； （1）根据直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)2 (3)，理由见详解． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案； （2）由（1）得的周长等于，即可解答； （3）根据（1）中的即可解答． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：是边长为1的等边三角形， ， ， 的周长为：； （3）解：， 理由如下：由（1）知：， ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三线合一 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①先证明，再进一步可得；②由①可得，，证明，即可得出； （2）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． 【详解】（1）证明：①∵点D是中点，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中，， ∴， ∴． 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【答案】28 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，且， ，， 又的周长为38， 的周长， 故答案为：28． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长 故答案为： 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    【答案】20 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，收得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：8． 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 例题：（24-25八年级上·云南楚雄·期末）在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 【答案】(1)12 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）运用线段垂直平分线的性质解答即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：分别是边的垂直平分线，， ， 的周长， 的周长为12． （2）解：， ． 由（1）可得， ， ， ， 的度数为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的长； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）直接根据垂直平分线的性质求解； （2）根据垂直平分线的性质可知，从而，再根据角平分线的定义可知，根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线 ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点作于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，，， ∴， 即点到斜边的距离为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 ． 【答案】5 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理；先根据勾股定理得出，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据“垂线段最短”求解．熟练掌握角平分线的性质和“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， 如图，过P点作于点H， 平分，，， ， ∵点E是射线上一动点， ∴当时，的值最小， 的最小值为5． 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为和， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：  ． 3．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17.5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析②6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义. （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得；②过作于，由，可得，，而，，即得，根据，可求． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②过作于，如图： 由①知：， ， ， ， 由①知：， ， ， ， ， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 期末复习专题：图形的轴对称 目录 【考点一 轴对称图形的识别】 2 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 4 【考点三 画轴对称图形】 6 【考点四 轴对称中的折叠问题】 12 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 17 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 19 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 24 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 26 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 29 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 32 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【考点一 轴对称图形的识别】 例题：（24-25八年级上·浙江舟山·期末）2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【考点三 画轴对称图形】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使最小． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点P，使，说明主要依据； (3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； (2)的面积为 ； (3)若D为l上的动点，则 （填“”“ ”或“”）； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 3．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，在图中标出点的位置； (3)求出的面积． 【考点四 轴对称中的折叠问题】 例题：（24-25七年级上·山东济南·期末）将长方形纸片沿折叠，点落在长方形内的点处，如图所示，已知，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 2．（24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点是边上的中点，，则 ． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，平分，点是射线上一点，如果是以为腰的等腰三角形，那么的度数是 ． 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    3．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 例题：（24-25八年级上·云南楚雄·期末）在中，分别是边的垂直平分线． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的长； (2)若平分，求的度数． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】 （1）试说明：； 【问题探究】 （2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$