专题03 期末复习专题：三角形（6个知识点+11大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题03 期末复习专题：三角形 目录 【考点一 判断三边是否能构成三角形】 3 【考点二 三角形的稳定性】 5 【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】 7 【考点四 判断是否三角形的高线】 8 【考点五 根据三角形的中线求解】 10 【考点六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】 12 【考点七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】 17 【考点八 利用全等三角形的性质求解】 21 【考点九 全等三角形判定和性质多结论问题】 24 【考点十 全等三角形的性质和判定】 28 【考点十一 全等三角形的性质和判定探究综合题】 32 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 知识点03 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点04 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 知识点05 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 知识点06 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【考点一 判断三边是否能构成三角形】 例题：（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，6 C．5，7，12 D．4，4，5 【考点二 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）小明做了一个长方形框架，加上了如图所示的木条，他这样做的原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）黔东南州黄平县有世界上唯一一处修建于三个不同历史时期的桥梁群——“重安三朝桥”．如图1，分别为清朝时期的铁索桥、民国时期的钢架桥和新中国时期的曲拱桥．处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，示意图如图2所示，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．四边形具有不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是 （要求：只需填一个答案即可）． 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 3．（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则 ． 【考点四 判断是否三角形的高线】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）下列各图中，正确画出边上的高的是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【考点五 根据三角形的中线求解】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【考点六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图1中的线段上找一点D，连接，使平分的面积． (2)在图2中的线段上找一点E，连接，使平分的周长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，点A、B、C在正方形网格中的格点上．请在方格纸上按要求画图： (1)延长线段到点D，使； (2)过点C作，垂足为E； (3)在网格图中，找一个格点M，使得的面积为面积的2倍． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 【考点七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】 例题：（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 2．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，（），是的高． (1)如图，若为内角的平分线． ①当，，则的度数为_________； ②用含，的代数式表示的度数，并说明理由； (2)如图，若是外角的平分线，交延长线于点，若，则的度数为_________． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，平分． (1)若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点． ①若，，则 ； ②猜想与、之间的数量关系，并给出证明． (2)如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系． 【考点八 利用全等三角形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 2．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，则 （用含有的代数式表示）．若当与全等时，的值是 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【考点九 全等三角形判定和性质多结论问题】 例题：（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【考点十 全等三角形的性质和判定】 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)求证：≌； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 2．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，为上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【考点十一 全等三角形的性质和判定探究综合题】 例题：（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，平分，交于点平分，交于点相交于点，过点作垂线，交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 3．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 期末复习专题：三角形 目录 【考点一 判断三边是否能构成三角形】 3 【考点二 三角形的稳定性】 5 【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】 7 【考点四 判断是否三角形的高线】 8 【考点五 根据三角形的中线求解】 10 【考点六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】 12 【考点七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】 17 【考点八 利用全等三角形的性质求解】 21 【考点九 全等三角形判定和性质多结论问题】 24 【考点十 全等三角形的性质和判定】 28 【考点十一 全等三角形的性质和判定探究综合题】 32 知识点01 三角形的概念及分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 知识点03 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点04 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 知识点05 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 知识点06 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【考点一 判断三边是否能构成三角形】 例题：（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，不符合题意； B、，故不能组成三角形，不符合题意； C、，故不能组成三角形，不符合题意； D、，故能组成三角形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，6 C．5，7，12 D．4，4，5 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选：C 【考点二 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）小明做了一个长方形框架，加上了如图所示的木条，他这样做的原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解此题的关键． 【详解】解：长方形框架容易变形，加上了如图所示的木条，把它变成两个三角形，根据三角形的稳定性，此时长方形框架不变形了， 他这样做的原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）黔东南州黄平县有世界上唯一一处修建于三个不同历史时期的桥梁群——“重安三朝桥”．如图1，分别为清朝时期的铁索桥、民国时期的钢架桥和新中国时期的曲拱桥．处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，示意图如图2所示，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．四边形具有不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性质，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线段最短、三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，三角形的稳定性及应用等知识点，熟练掌握三角形的稳定性及应用是解题的关键． 【考点三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是 （要求：只需填一个答案即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可求解． 【详解】解：设第三边为x，根据题意可知： ∴， ∴， ∴则这个三角形的第三边长可以是5（答案不唯一）． 故答案为：5（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则 ． 【答案】7 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为7， 即第三边的长是7． 故答案为：7． 【考点四 判断是否三角形的高线】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）下列各图中，正确画出边上的高的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，画出边上的高，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出边上的高如图： 故选D． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键，根据三角形高的定义判断，即可得到答案． 【详解】解：∵中边上的高，是过点并垂直的线段， ∴为边上的高， 故选：C． 【考点五 根据三角形的中线求解】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ． 【答案】24 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：24． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，由题意得，，据此即可求解； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 【考点六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图1中的线段上找一点D，连接，使平分的面积． (2)在图2中的线段上找一点E，连接，使平分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的周长及比例线段问题，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键； （1）因从点B到点C水平数方格共7个，故中点在第3单元格和第4单元格个中点，连接第3单元格和第4单元格的对角线即得到的中点D，连接即为所求； （2）由图可知，从点B到点C水平数方格共7个，连接第2单元格和第4单元的对角线即得到点E，连接即为所求； 【详解】（1）如图所示：中线平分的面积．   （2）如图所示：平分的周长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画三角形的高、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，点A、B、C在正方形网格中的格点上．请在方格纸上按要求画图： (1)延长线段到点D，使； (2)过点C作，垂足为E； (3)在网格图中，找一个格点M，使得的面积为面积的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画三角形的高、格点作图题 【分析】本题主要考查了格点作图： （1）如图所示，延长到格点D，点D即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，格点E即为所求； （3）如图所示，取格点M，连接，点M即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点M即为所求． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．    (1)仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图： ①找一格点P，使得； ②过点B作，垂足为Q． (2)在（1）的条件下，在网格内画出到直线的距离为4的所有点构成的图形，该图形与直线、直线围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；10 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了网格作图，在网格中利用网格特点作垂线和平行线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）①根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向左移动4格，向上移动2格的格点，然后连接此格点与点B的直线即可作出平行线，在该次平行线上的格点，都可以作出点P； ②根据网格特点，根据点C向左移动4格，向上移动2格，到点A，找到点B向下移动4格，向左移动2格的格点Q，连接即可； （2）根据两条直线间距离定义画出直线即可；根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，、、、中，任选一个点即可； ②如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 与直线、直线围成的图形的面积为： ．    【考点七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解】 例题：（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ （2）∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与的周长差． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． （2）同（1）即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； （2）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，（），是的高． (1)如图，若为内角的平分线． ①当，，则的度数为_________； ②用含，的代数式表示的度数，并说明理由； (2)如图，若是外角的平分线，交延长线于点，若，则的度数为_________． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）①由三角形内角和定理得，进而根据三角形角平分线的定义可得，又由三角形的高可得，最后根据角的和差即可求解；②同理①解答即可求解； （）作的内角平分线，由（1）②得，再根据角平分线的性质可得，进而由角的和差即可求解； 本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，角的和差，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作的内角平分线，则， ∵是的角平分线，为的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，平分． (1)若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点． ①若，，则 ； ②猜想与、之间的数量关系，并给出证明． (2)如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①②，证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角： （1）①三角形的内角和求出的度数，平分线求出的度数，外角求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数即可；②仿照①法，进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质，和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，证明如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴． 【考点八 利用全等三角形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再结合线段的和差可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 【答案】80 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，根据， ，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80 2．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，则 （用含有的代数式表示）．若当与全等时，的值是 【答案】 / 1.5或1 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，t的值是1.5或1， 故答案为：；1.5或1． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 【考点九 全等三角形判定和性质多结论问题】 例题：（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由于点E，于点F，证明，则，可判断①正确；再证明，得，，由，可判断③正确，由，，推导出，可判断②错误；于是得到问题的答案． 【详解】解：于点E，于点F， ，， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确， ，， ，故②错误； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．通过和推出相关结论，即可得到答案． 【详解】，，， ， ， ， 故①符合题意； ， ， ，， ， 故②符合题意； ， ， 和不一定相等． 其中所有正确结论的序号是①②． 故选：A． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ 又∵，， ∴，故①正确； ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵点F是的中点 ∴，故④正确； ∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 【考点十 全等三角形的性质和判定】 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且，，． (1)求证：≌； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握全等的判定定理以及运用全等的性质求解线段的长度是解决本题的关键． （1）利用得到，再结合已知条件利用“角角边”判定两个三角形全等； （2）根据全等的性质得到，再根据已知条件结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：， ，                  在与中， ， ． （2）解：， ， ，           又， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． （2）解：， ． 由（1），知 ， ． ． 2．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，为上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）先由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，然后再利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 又， ， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， ， ． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据同角的余角相等可证，根据可证，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据线段中点的定义即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， E是的中点，， ， ． 【考点十一 全等三角形的性质和判定探究综合题】 例题：（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【知识点】两点间的距离、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形与几何动态综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）利用证得，得到，即可得出结论； （2）由于点运动的速度快，根据点从点到点运动或点从点到点运动分两种情况讨论即可得到答案； （3）利用证明，得到，再分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时：； 当点再从点到点运动时：， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，平分，交于点平分，交于点相交于点，过点作垂线，交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)16 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识国解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）分别证明和可得结论； （3）证明，由可得结论 【详解】（1）证明：， ． 又平分平分， ， ． 又， ， ， ， 平分 （2）解：由（1），得， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：由（2），得， ． ， ． ， ． ． 3．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）①证明即可得到； ②由（1）得，得到，即可证明，得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：（1）① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； ② ； 理由：由（1）得， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即种植鲜花的面积是． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$