专题01 期末复习专题：整式的乘法（12个知识点+8大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题01 期末复习专题：整式的乘法 目录 【考点一 判断整式乘法是否正确】 3 【考点二 幂的混合运算】 5 【考点三 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 7 【考点四 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 8 【考点五 整式乘法混合运算——化简求值】 10 【考点六 整式乘法与几何图形面积】 12 【考点七 乘法公式中几何图形的应用】 15 【考点八 整式的运算中的新定义型问题】 19 知识点01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 知识点03 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点06 科学记数法 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点07 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点08 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点09 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点10 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点11 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点12 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【考点一 判断整式乘法是否正确】 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式，根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．根据运算法则计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意； B、，原式计算正确，故符合题意； C、，原式计算错误，故不符合题意； D、，原式计算错误，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解∶A、，计算正确，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项符合题意； 故选∶D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，因为不是同类项，即不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，因为不是同类项，即不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 【考点二 幂的混合运算】 例题：（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式与单项式的除法、积的乘方，再算括号，后算除法． 【详解】解：原式      ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、运用平方差公式进行运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了单项式除以单项式、平方差公式、整式的加减，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算平方差公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式除以单项式、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式乘多项式，平方差公式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式，平方差公式法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则． （1）根据同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点三 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 例题：（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）计算：． 【答案】11 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和乘方的运算．根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则对原式进行化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东阳江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查实数的运算，先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】幂的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可； （2）先做乘方，然后做乘除，最后做加减； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可； （2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键． 【考点四 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 例题：（24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.000029用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】根据科学记数法的定义改写即可． 本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握其一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点五 整式乘法混合运算——化简求值】 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简，再求值： 其中． 【答案】． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值．首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则把括号里的部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到：原式，利用乘法分配律把括号外面的分式与括号里面的各项分另相乘，可得结果为，再把整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2024 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里面的运算，再算括号外的除法，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 【考点六 整式乘法与几何图形面积】 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】(1) (2)63 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． （1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）把，代入求值即可 【详解】（1）解：盒子底面的面积为： （2）解：当，时，盒子底面的面积为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减中的无关型问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)352平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查此题考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值等知识． （1）将水平与垂直的小路平移到右边及下边，表示出剩下部分的长与宽，利用长方形的面积公式列出关系式． （2）将代入（1）式计算即可． 【详解】（1）解：依据题意得该绿地的总面积为： （平方米）， 该绿地的总面积为平方米 （2）解：当时， 该绿地的总面积为：（平方米） 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 【考点七 乘法公式中几何图形的应用】 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）先求出，得出，再根据即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． 【考点八 整式的运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【答案】(1)0 (2)1 (3)0 【知识点】有理数四则混合运算、整式四则混合运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握新运算的运算法则． (1)根据新运算展开，再求出即可； (2)根据新运算展开，再代入求出即可； (3)根据新运算展开，合并后根据已知得出关于的方程，再代入求出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0． （2）解： ， 当时， 原式． （3）解： ， ∵取值与无关， ∴，即， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）利用完全平方公式，将转换为：，根据新定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； （2）解：，理由如下： ． 为“妙数”， ， 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)9 (2) 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了新定义，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据题意将变形为，再结合平方差公式进行运算，即可解题； （2）根据题意将变形为，再结合完全平方公式，以及整式的混合运算求解上式，即可解题． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 整理得， 解得． 3．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 期末复习专题：整式的乘法 目录 【考点一 判断整式乘法是否正确】 3 【考点二 幂的混合运算】 5 【考点三 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 7 【考点四 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 8 【考点五 整式乘法混合运算——化简求值】 10 【考点六 整式乘法与几何图形面积】 12 【考点七 乘法公式中几何图形的应用】 15 【考点八 整式的运算中的新定义型问题】 19 知识点01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 知识点03 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点06 科学记数法 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点07 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点08 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点09 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点10 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点11 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点12 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【考点一 判断整式乘法是否正确】 例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点二 幂的混合运算】 例题：（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【考点三 零指数幂、负整数指数幂综合计算】 例题：（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东阳江·期末）计算：． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【考点四 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 例题：（24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为 ． 2．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为 ． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 【考点五 整式乘法混合运算——化简求值】 例题：（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简，再求值： 其中． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【考点六 整式乘法与几何图形面积】 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． (1)请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） (2)当时，求出该绿地的总面积． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【考点七 乘法公式中几何图形的应用】 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【考点八 整式的运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料： 让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______； (2)当时，求的值； (3)若的取值与无关，求的值； 【变式训练】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 3．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$