第8讲 函数单调性讲义（知识梳理+典型例题+对应练习+答案）--2026届高三数学一轮复习

函数的单调性 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且：如果对两个自变量x1，x2I， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称函数在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称函数在区间I上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 函数的平均变化率： 一般地，当时，称为函数在区间 或上的平均变化率. ①函数f(x)在区间I上是增函数，x1，x2∈I，且⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0. ②函数f(x)在区间I上是减函数，x1，x2∈I，且⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0. (2)单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性， 称为函数的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. ⑤多个相同的单调区间用“，”或“和”隔开，不能用“或”或“”并集符号隔开. 二、基本初等函数的单调性 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0) 与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 k＜0 反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 k＜0 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 a＜0 例如：指出下列函数的单调区间 （1）； （2）； （3）； 三、一些常见结论 (1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； (2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； (3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 1．函数单调性的理解 (1)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．( ) (2)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．( ) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) 一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(3)． 考点一 单调性或单调区间 【例1】1．如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间． 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x－1 B．y＝－ C． D．y＝x＋ 【训练1】1．函数f(x)在区间上是增函数，则的递增区间是( ) A．(－2,3) B．(－1,10) C．(－1,7) D．(－4,10) 2．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________． 3．判断下列函数的单调区间； (1) ； (2) 4．（21全国甲文）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 5．（21北京）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 利用单调性解不等式 【例2】已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 【训练2】1．已知f(x)是在区间上的增函数，则与的大小关系是______． 2．设函在上为减函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足<f(1)的实数x的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．已知y=在定义域上是减函数，且，求的取值范围． 5．当x>0时函数有意义，且满足=1,=+,是增函数． （1）求证：=0 （2）若+>2，求的取值范围． 考点三 分段函数单调性 【例3】1．若函数在R上为增函数，则的取值范围是________． 2．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【训练3】1．已知函数，满足对任意的实数且，都有 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．函数是定义在上的增函数的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 考点四 复合函数单调性（同增异减） 【例4】1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【训练4】1．求函数的递增区间． 2．求函数的递增区间． 考点五 利用单调性求最值 【例5】1．求函数的值域为 ． 2． 对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________． 【训练5】1．函数的值域为 ． 2．值域为 ． 3．，值域为 ． 4．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 考点六 证明单调性 【例6】已知函数． （1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【训练6】1．用定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数． 2．已知函数． （1）用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2，+∞）上为增函数． （2）解不等式：≤ 小结：证明函数单调性的步骤： (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且：如果对两个自变量x1，x2I， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称函数在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称函数在区间I上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 函数的平均变化率： 一般地，当时，称为函数在区间 或上的平均变化率. ①函数f(x)在区间I上是增函数，x1，x2∈I，且⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0. ②函数f(x)在区间I上是减函数，x1，x2∈I，且⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0. (2)单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性， 称为函数的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性； ⑤多个相同的单调区间用“，”或“和”隔开，不能用“或”或“”并集符号隔开. 二、基本初等函数的单调性 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0) 与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和(0，＋∞) k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－] a＜0 (－∞，－] [－，＋∞) 例如：指出下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）在R上单调递增；（2）在上单调递减； （3）在上单调递增；在单调递减． 三、一些常见结论 (1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； (2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； (3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 1．函数单调性的理解 (1)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(×) 【解析】f(x)＝的定义域为，不能说在定义域上是减函数． (2)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) 【解析】反例：如果f(x)＝x那么在[1，＋∞)上是增函数，但是f(x)的递增区间是(-∞，+∞) 一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(3)． 考点一 单调性或单调区间 【例1】1．如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间． 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x－1 B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 【答案】A 【解析】函数y＝－在[－1，＋∞)上是减函数；函数y＝在(0，＋∞)上是减函数； 函数y＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y＝ln(x＋2)，故选A． 【训练1】1．函数在区间上是增函数，则的递增区间是( ) A．(－2,3) B．(－1,10) C．(－1,7) D．(－4,10) 【答案】B 【解析】是函数向右平移3个单位， ∵在区间上是增函数，∴为向右平移3个单位，即，选B 2．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________． 【答案】 【解析】y＝－(x－3)|x|＝由图可知其递增区间为． 3．判断下列函数的单调区间； (1) ； (2) 【答案】（1）在上递减，在上递增，在上递减，在上递增； （2）在 上递减，在上递增. 【解析】(1)由图象对称性，画出草图， ∴在上递减，在上递增，在上递减，在上递增. (2)，∴图象如下∴在上递增，在上递增. 4．（21全国甲文）下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍； 对于B，为上的减函数，不合题意，舍； 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D. 5．（21北京）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为，比如，但在为减函数， 在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，选：A. 考点二 利用单调性解不等式 【例2】已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，所以，由已知， 是单调增函数，所以． （2）因为是单调增函数，且，所以， 解得，即． 【训练2】1．已知f(x)是在区间上的增函数，则与的大小关系是______． 【答案】≥ 【解析】∵， 又∵f(x)是在区间上的增函数，∴≥ 2．设函数在上为减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、B、C选项中，前后括号内的大小不确定，而D中，， 又∵在上为减函数，∴，故选D． 3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足<f(1)的实数x的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】由f(x)为R上的减函数且<f(1)， 得，即，∴－1<x<0或0<x<1． 4．已知y=在定义域上是减函数，且求的取值范围． 【答案】 【解析】由题意得，解得，即的取值范围为． 5．当x>0时函数有意义，且满足=1,=+,是增函数． （1）求证：； （2）若+>2，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）在=+中，令，得，∴． （2）在=+中，令，得， ∴＞，又∵是增函数，即， 解得，∴的取值范围为． 考点三 分段函数单调性 【例3】1．若函数在R上为增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】若函数在R上为增函数， 则，解得，即的取值范围是． 2．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，在中，函数单调递增， ∴，解得：，故选：C. 【训练3】1．已知函数，满足对任意的实数且，都有 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的实数，都有,即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：，解得，故选：C 2．函数是定义在上的增函数的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数是定义在上的增函数， ∴，解得，又∵选项是的充分不必要条件， ∴选项为的子集，故选A． 考点四 复合函数单调性（同增异减） 【例4】1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减， 在上单调递增，而在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为.故选：D. 【训练4】1．求函数的递增区间． 【答案】 【解析】由，得，即，设， 则对称轴为，则在定义域为增函数，则根据复合函数单调性的性质可知， 若求函数的递增区间即求函数的递增区间， ∵的递增区间为，则的递增区间为． 2．求函数的递增区间． 【答案】 【解析】由，解得，设，∵在定义域为减函数， 则根据复合函数单调性的性质可知，若求函数的递增区间即求函数的递减区间，又∵的递减区间为，故函数的递增区间为． 考点五 利用单调性求最值 【例5】1．求函数的值域为 ． 【答案】 【解析】∵与在均为单调递增， ∴在单调递增， ∴当时，有最小值为， ∴函数的值域为 2．对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________． 【答案】－1 【解析】f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2， 当x2－2－(－x)＝x2＋x－2≥0时，x≥1或x≤－2； 当－2＜x＜1时，x2＋x－2＜0，即f(x)＜g(x)，所以max(f(x)，g(x))＝ 作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在A处取得，所以最小值为f(1)＝－1． 【训练5】1．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】∵在上单调递增，∴在处，原函数取得最大值为1， ∴函数的值域为． 2．值域为 ． 【答案】 【解析】∵在上单调递增， ∴在处，原函数取得最大值为， ∴值域为． 3．，值域为 ． 【答案】，又在为减函数， ∴在处，原函数取得最大值为，∴原函数的值域为． 4．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)画出图象，最大值在A处取到，联立得y＝6． 考点六 证明单调性 【例6】已知函数． （1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【解答】（1）见解析；（2）最大值为，最小值为． 【解析】（1）f（x）在区间[0，+∞）上是增函数． 证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2， ∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数． （2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数， 故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，最小值为． 【训练6】1．用定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数． 【证明】(1)设x1<x2≤－1， 则f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2) ＝2(x－x)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)． ∵x1<x2≤－1，∴x1－x2<0，x1＋x2＋2<0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数． (2)设x1>x2>－1，y1－y2＝－＝>0， ∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数． 2．已知函数． （1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞）上为增函数． （2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f（7） 【解答】（1）见解析；（2）[﹣1，3] 【解析】（1）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+） ＝（x1﹣x2）+＝， 因为2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4， 所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）＝x+在[2，+∞）上为增函数． （2）∵x2﹣2x+4≥2，结合（1）得f（x）在[2，+∞）递增， 所以x2﹣2x+4≤7，解得：﹣1≤x≤3，故不等式的解集是[﹣1，3]． 小结：证明函数单调性的步骤： (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$