精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025届高三下学期第五次模拟考试数学试题

数学 （120分钟 150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则可能的取值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，求（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程在（0，π）内恰有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. B. C. D. 6. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ） A. 1.75米 B. 1.5米 C. 1.25米 D. 1米 7. 已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点（0，1） B. 直线l与圆恒相交 C. 直线l被圆截得的最短线段长为 D. 圆C与圆M：有2条公共切线 10. 某校期末考试数学试卷满分为150分，分数在区间[90，120）内为及格，分数在区间[120，135）内为良好，分数在区间[135，150）内为优秀，阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数＝平均分/满分）为0.48，标准差为24，下面说法正确的有（ ） 附：若，记，，，． A. 此次考试平均分是72分 B. C. 此次考试及格率为45％ D. 则该次数学考试获得及格评价的人数大约为245人 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为________． 13. 在中，内角、、所对边分别是、、，若，且，则的最小值为________． 14. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在三角形中，内角、、的对边分别为、、，已知，,、. （1）求角的大小； （2）若面积为，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 17. 已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． （1）求椭圆E的方程； （2）求四边形面积的最大值． 18. 已知． （1）当时，的单调性； （2）若函数存在正零点，求实数a的取值范围； （3）当时，若在恒成立，请求出m的取值范围． 19. 已知首项为1的数列满足． （1）若，在所有（）中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为X，求X的分布列及数学期望； （2）若数列满足：若存在，则存在（且），使得． （Ⅰ）若，证明：数列是等差数列，并求数列前n项和； （Ⅱ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的s的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （120分钟 150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则可能的取值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，得到得情况，即可得到答案. 【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得， 所以为或或； 当时，由知，， 所以为或； 当，则，所以为综上，共有8种取值． 故选：D． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法的运算法则及复数的定义即可求解. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：A. 3. 已知平面向量，，若，求（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两向量垂直，它们的数量积为0的运算，结合已知条件，即可求得向量夹角余弦值. 【详解】因为，所以，即，即， 因为，所以， 又因为，所以有，即． 故选：D. 4. 已知关于x的方程在（0，π）内恰有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所给等式移项，用辅助角公式转化，再利用正弦函数的图像和性质来求得取值范围. 【详解】因为，所以，所以， 所以，由，可得， 因为方程有2个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得， 解得，所以ω的取值范围． 故选：C． 5. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用进位制的转化结合等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可得将三进制数转换为十进制数， 则转换后的数为， 故选：C． 6. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ） A. 1.75米 B. 1.5米 C. 1.25米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 7. 已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知抛物线C的方程为，直线的方程为：.联立方程组，可得，.设的角平分线所在直线倾斜角为，则由角平分线的性质及平行线的性质可知，有二倍角公式可解得，再利用点斜式方程即可求解. 【详解】因为抛物线C：（）的焦点为，抛物线C的方程为. 由题意可知直线的方程为：， 联立方程组，消去整理得，解方程得点的纵坐标或（舍去），所以，点. 由题可知，设的角平分线所在直线倾斜角为， 则由角平分线的性质及平行线的性质可知，即，解得或（舍去）. 由点斜式方程可知的角平分线所在直线方程为， 化简整理得. 故选：D. 8. 取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体性质结合球的特征计算求解得出，最后应用球的表面积公式计算即可. 【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，， 连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 因为棱长为4，可知，，． 过点B作于点C，则，，四边形为矩形，即，， 则， 即该“四角反棱柱”外接球的半径， 故该“四角反棱柱”外接球的表面积为， 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点（0，1） B. 直线l与圆恒相交 C. 直线l被圆截得的最短线段长为 D. 圆C与圆M：有2条公共切线 【答案】BD 【解析】 【分析】依据方程恒成立，直线与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断，直线与圆相交弦长求解办法对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故直线l定点，故A错误； 对于B，C：，圆心C为， 因为，所以位于圆内，所以直线l与圆恒相交，故B正确； 对于C，定点与圆心的距离为， 直线l被圆截得的最短线段长为，故C错误； 对于D，圆C与圆M圆心的距离为 ， 所以两圆相交，有两条公共切线，故D正确． 故选：BD． 10. 某校期末考试数学试卷满分为150分，分数在区间[90，120）内为及格，分数在区间[120，135）内为良好，分数在区间[135，150）内为优秀，阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数＝平均分/满分）为0.48，标准差为24，下面说法正确的有（ ） 附：若，记，，，． A. 此次考试平均分是72分 B. C. 此次考试及格率为45％ D. 则该次数学考试获得及格评价的人数大约为245人 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出平均数，即可判断A；学生的数学成绩服从，计算出可判断B；计算出可判断C；获得的及格评价的学生分数在[90,120），计算出和从而判断D. 【详解】对于A，由题意得，，所以平均分为72分，故A正确; 对于B，，故B错误； 对于C，及格率为及格以上人数与全体学生数的比值，即计算．，故C错误； 对于D，获得的及格评价的学生分数在[90,120）， ∵，， ∴．， ∴该校评价为及格的人数为（人），故D正确． 故选AD． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据导数符号可判断A；根据单调性结合极值可判断B；利用二阶导数可判断C；转化为的图象与直线只有一个交点可判断D. 【详解】函数的定义域为R，则， 对于A，当时，，则在单调递减； 当或时，，则在，单调递增，故A错误； 对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值， 极大值为且； 又当，，故在R上只有一个零点，故B正确； 对于C，代表该函数为凹函数， 记，则， 又，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确； 对于D，由上知在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上有且仅有一个根等价于函数在上的图象与直线只有一个交点， 所以或，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和公式列式计算即得. 【详解】在等差数列中，， 等差数列中，同理，而， 所以． 故答案为： 13. 在中，内角、、所对的边分别是、、，若，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由三角形的面积公式化简得出，结合余弦定理可得出，利用余弦定理可求得的最小值. 详解】由及正弦定理可得， ， 因为、，所以，，所以． 因为，则，所以， 把代入，得， 化简得， 由基本不等式可得，即， 解得或， 因为，所以，解得， 所以，所以， 当且仅当时，即当时，取最小值． 故答案为：. 14. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件列式求出，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可. 【详解】若三局结束比赛，则可能三局均为甲胜，或者三局均为乙胜， 若均为甲胜，则概率， 若均为乙胜，则概率， ， 即，解得或（舍去），所以， 若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可， 其中甲在第1、2、4场获胜的概率， 其中甲在第1、3、4场获胜的概率， 其中甲在第2、3、4场获胜的概率， 所以打完4场结束比赛甲获胜的概率. 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在三角形中，内角、、的对边分别为、、，已知，,、. （1）求角的大小； （2）若面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角和的余弦公式可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理结合三角形的面积公式可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，，、， 所以， ， 所以 ， 因，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式可得，所以， 因为，，则，由正弦定理得， 所以，解得，所以． 由余弦定理，可得，所以． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在四边形中利用题中条件及勾股定理可证.根据线面垂直的性质可知.根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明； （2）假设.以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法及题中条件可求得，再根据面面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 证明：在四棱锥中，，，， ∴，∴. ∵E为棱AD的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴. ∴，∴. ∵平面，平面，∴. ∵，平面，平面，∴平面. 又∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 假设. ∵平面，平面，平面，∴，. 又，在平面ABCD内作，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，方向为x轴方向，方向为z轴方向，以为y轴方向. 则，，，，，， ∴，，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量为. 直线与平面所成角的正弦值为，解得. ∴，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量为. 由题可知平面的一个法向量为， ∴的平面角的余弦值为， 的平面角的正弦值为， ∴的平面角的正切值. 17. 已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． （1）求椭圆E的方程； （2）求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，确定椭圆的参数，求出标准方程. （2）设出直线方程和点的坐标，根据韦达定理得出两点横纵坐标的关系，根据点到直线的距离公式，求出四边形的高，在使用弦长公式求出底边长，表示出四边形的面积，求出面积的最大值. 【小问1详解】 由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为． 小问2详解】 如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S， 利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半． 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：， 代入E：，整理得，显然， 设，，则， 于是， ， 点到直线l：的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 当时，等号成立，此时． 18. 已知． （1）当时，的单调性； （2）若函数存在正零点，求实数a的取值范围； （3）当时，若在恒成立，请求出m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用求导，结合导数恒为负来判断单调性即可； （2）对导函数再进行二次求导，通过，可得到导函数单调递减，再结合参数进行分类讨论，从而可判断存在正零点的参数范围; （3）利用分离参变量思想，然后构造函数进行求导分析正负，即可求得最小值，从而可得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，且， 因为当时，， 所以在上单调递减，且没有单调递增区间． 小问2详解】 由（1）知，， 令，， 当时，，单调递减． ①当时，可知，在内单调递减， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，， 因为当时，可知在单调递减． 所以，即 则在单调递减，故当时，，所以函数不存在正零点； ③当时，，此时，， 根据在单调递减．所以存在满足， 则当时，，即， 所以在内单调递增，同理可知在内单调递减． 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即，则有 所以， 因为，在内单调递增，所以， 又因为，在内单调递减, 根据零点存在性定理，此时在区间内必存在正零点； 综上，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 当时， 由恒成立，可得 因为，分离参变量可得， 构建， 因为，可知的定义域为R， 且， 若，则；若，则； 可知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以有在内单调递减，在内单调递增， 即， 则对任意恒成立，所以． 综上所述，． 19. 已知首项为1的数列满足． （1）若，在所有（）中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为X，求X的分布列及数学期望； （2）若数列满足：若存在，则存在（且），使得． （Ⅰ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前n项和； （Ⅱ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的s的最小值． 【答案】（1）分布列见解析， （2）（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）2026 【解析】 【分析】（1）由所给递推公式求出通项公式及，根据递推公式列举出满足条件的所有（），其中满足的数列有3个，然后根据超几何分布的概率求法进行求解即可. （2）（Ⅰ）假设此时数列中存在最小的整数i（），使得，则，，…，单调递增且均为正数，根据已知条件推理其矛盾从而得，数列是等差数列，再根据等差数列的求和公式求和. （Ⅱ）结合前面得到的数列性质及，通过分析数列的变化规律，求出满足条件的s的最小值. 【详解】（1）解：依题意，， 故， 即，故，或， 因为，，故； 则：1，4，7，10，13；：1，4，7，，；：1，4，，0，3；：1，4，，4，7 ：1，4，7，10，；：1，4，7，，7；：1，4，，0，1；：1，4，，4，， 故X的可能取值为0，1，2， 故，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 故． （2）（Ⅰ）证明：由（1）可知，当时，或，； 假设此时数列中存在最小的整数i（），使得， 则，，…，单调递增，即均为正数，且，所以； 则存在，使得，此时与，，…，均为正数矛盾， 所以不存在整数i（），使得，故． 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则． （Ⅱ）解：由，可得， 由题设条件可得，，，…，，，必为数列中的项； 记该数列为，有（）； 不妨令，则或， 均不为； 此时或或或，均不为． 上述情况中，当，时，， 结合，必有，，则有． 由可知，使得成立的s的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $