精品解析：云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高二下学期第二次月考（5月期中）数学试题

楚雄州春季学期高二年级第二次月考卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒ 【详解】不同的选择种数为. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，得，则，所以． 故选：D 3. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 4. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 5. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解方程，即可求得的最小值. 【详解】由，可得， 所以，所以当时，有最小值． 故选：A． 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质分析可知在上单调递减，且在上恒成立，进而列式求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递减， 可知在上单调递减，且在上恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3个兴趣小组即可解决. 【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况， 则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种， 由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】由曲线方程得到，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率. 【详解】由得双曲线中， ∴， ∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误； 离心率，故C选项错误； 渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确. 故选：AD. 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： … … … … … … … … … 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据结合，求得，根据等差数列、等比数列通项公式求得，，根据等比数列、等差数列求和公式得到. 【详解】因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，而，， 因此曲线在点处的切线方程为： ， 故答案为：. 14. 已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数，将问题转化为求新函数的最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】，因为函数在定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）先由余弦定理可求得的值，再由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，， 所以， 所以，解得或（舍）, 所以， 故的面积为. 16. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：取的中点为，连接、， 因为、分别是、的中点，所以且， 又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 则， 设平面的一个法向量为，所以， 即，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得． 【小问1详解】 由题可知，其中，所以, 又点在椭圆上，所以，即，解得， 所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 由椭圆的方程，得， 所以， 设，其中，因为， 所以， 又点在椭圆上，所以， 联立方程组，得， 解得或（舍）， 当时，，即或． 所以当的坐标为时，直线的方程为； 当的坐标为时，直线的方程为． 综上，直线的方程为或. 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． （3）证明如下： 当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州春季学期高二年级第二次月考卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 5. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： … … … … … … … … … 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 曲线在点处的切线方程为___________. 14. 已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求； （2）求的面积. 16. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $