期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（12类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

八年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（12类题型） 苏科版八下解答题具有考点集中、分层递进、重应用，强建模、几何证明讲逻缉性，函数讲综合性等特点，本专题结合江苏地区期末考试解答题题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】作图题+求值+证明（6题）..........................................................................................................1 【题型二】数据的收集、整理、描述与概率（6题）..................................................................................8 【题型三】三角形中位线+旋转（3题）......................................................................................................15 【题型四】分式方程的应用（3题）............................................................................................................18 【题型五】平行四边形+矩形、菱形、正方形（8题）...............................................................................22 【题型六】反比例函数图象与性质（6题）.................................................................................................33 【题型七】二次根式的应用（3题）.............................................................................................................44 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】平行四边形几何变换问题（4题）.............................................................................................47 【题型九】平行四边形探究性问题（4题）.................................................................................................56 【题型十】反比例函数图象与一次函数压轴问题（4题）.........................................................................66 【题型十一】反比例函数图象与性质数形结合探究性问题（4题）.........................................................76 【题型十二】反比例函数与几何综合探究性问题（4题）.........................................................................91 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【题型一】作图题+求值+证明（6题） ★1．（2024·江苏苏州·一模）的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在右侧交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由作图得，，而，即可根据“”证明； （2）由，，证明四边形是平行四边形，则，求得． 解：（1）证明：由作图得，， 在和中， ， ； （2），， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的度数是． ★2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在菱形中，，．按下列步骤作图：   ①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F； ②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H； ④连接； ⑤延长交于点N，连接交于点M． （1）根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：____________，并证明结论成立； （2）求的长． 【答案】（1），，见分析；（2） 【分析】（1）根据尺规作图可知，利用边边边证明即可； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，结合等边三角形的性质得出，再根据含直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据勾股定理求出答案． 解：（1）解：根据作图可知， 证明：∵，， ∴， ∴，即； 故答案为：，； （2）解：根据作图可知， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得， 即， 解得，负值舍去．． 【点拨】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含直角三角形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． ★3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形． 求作：正方形，使点E、F分别在、上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点F； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点E； （3）连接． 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形是正方形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，先证明为平行四边形，再证明为菱形，最后证明为正方形． 解：证明：∵四边形为矩形， ∴，， 根据作图可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． ★★4．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，作图方法，推出，，进而得到，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 解：（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形； （2）在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 此时； 故答案为：． ★★5．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）图1是在中，，用直尺和圆规作矩形，作法是“以点A为圆心，长为半径画弧；以点C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D”，请判断所作的四边形是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形的边上任取一点E，O是中点，在上各找一点F、G、H，使得四边形是菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 【答案】（1）图见分析，是矩形，理由见分析；（2）见分析 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，矩形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定方法，是解题的关键： （1）先根据作图证明四边形是平行四边形，再根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，即可得证； （2）连接，延长交于点G，作线段的垂直平分线，交于点H，交于点F，连接，四边形即为所求根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明 解：（1）四边形是矩形． 理由：由作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，四边形即为所求． ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点在上， 同理可证：， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形． ★★6．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形，以为圆心，长为半径画弧交于． （1）用无刻度的直尺和圆规在上作出点，使与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长交延长线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）四边形是菱形，理由见分析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，尺规作图． （1）作的平分线交于点，得到，则与的面积相等； （2）由矩形的性质求得，得到，推出，得到，又，得到四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立． 解：（1）解：点如图所示，    （2）解：四边形是菱形，理由如下， 证明：∵矩形， ∴，即， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧交于， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【题型二】数据的收集、整理、描述与概率（6题） ★1．（2025·浙江杭州·一模）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． 【答案】（1）200人；图见分析；（2） 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的结合，求扇形统计图圆心角，补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用很满意的人数除以占比得出被调查的师生人数，再求出“不满意”的人数，即可补全条形统计图，进行作答； （2）根据“满意”人数的占比乘上，即可作答． 解：（1）解：被调查的师生人数是：（人） “不满意”的人数有：（人）， 补充条形统计图如图： （2）解：扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为 ★2．（24-25七年级下·江西吉安·期中）为了提高学生阅读能力，恩江中学倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）本次调查的学生有___________人；请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； （3）若学校七年级共有1500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？___________．（直接写出结果） 【答案】（1）100，图见分析；（2）“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；（3）“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大 【分析】本题主要考查了条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，可能性的大小， 对于（1），先根据阅读时间1小时的人数和百分比求出抽查的总人数，再补全统计图； 对于（2），用乘以“小时”所占的百分比即可； 对于（3），先求出各自的可能性，再比较得出答案． 解：（1）解：阅读时间是1小时的有30人，占抽查人数的， 所以本次调查的学生有（人）． 所以阅读时间是小时的人数为（人）， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； （2）解：， 即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； （3）解：“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为， “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 故答案为：抽到周末阅读时间不高于1小时的学生． ★3．（2024·浙江·模拟预测）如图反映的是某综合商场今年1－5月份的商品销售额统计情况，商场1－5月份的销售总额一共是370万元．试解答下面问题： （1）请补全图1． （2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？ （3）小华观察图2后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？ 【答案】（1）见详解；（2）万元；（3）不同意小华的看法，理由见详解， 【分析】本题主要考查了条形统计图以及折线统计图，有理数乘法的应用，掌握条形统计图以及折线统计图是解题的关键． （1）先计算出商场4月份的销售额，然后补全条形统计图即可． （2）用商场5月份的销售额乘以商场服装部5月份的占比即可得出答案． （3）先计算出商场服装部4月份的销售额，然后和5月份的销售额相比即可得出答案． 解：（1）解：商场4月份的销售额是：万元， 故补全图1如下： （2）商场服装部5月份的销售额是∶万元． （3）不同意小华的看法，理由如下： 商场服装部4月份的销售额是万元， ∵ ∴5月份服装部的销售额比4月份多． ★★4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：． （1）请补全频数分布直方图； （2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比； （3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，， ，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由． 【答案】（1）图见分析；（2），；（3），理由见分析 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，有理数的运算等知识点，熟练掌握频数分布直方图的相关知识是解题的关键． （1）先用学生总人数减去，，，组的学生人数，即可得到组的学生人数，据此即可补全频数分布直方图； （2）由频数分布直方图即可直接看出哪一组的学生最多，用该组学生人数除以总人数，即可得出该组学生占总人数的百分比； （3）用总人数乘以，即可得出应认定为优秀学生的人数，根据优秀学生的人数以及分数由高到低的各组人数，即可得出一个合理的的值． 解：（1）解：组的学生人数学生总人数，，，组的学生人数 （人）， 补全后的频数分布直方图如下： （2）解：由频数分布直方图可以看出：组的学生最多， 组学生占总人数的百分比组学生人数总人数； （3）解：，理由如下： 应认定为优秀学生的人数总人数 （人）， 组的学生人数为， 组的优秀学生人数应认定为优秀学生的人数组的学生人数 （人）， 又组的名学生的成绩由高到低依次为：，，，，，，，，，，， ． ★★5．（2024·浙江宁波·一模）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：   （1）参与本次调查的学生人数为________，图1中m的值是________． （2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数． （3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数． 【答案】（1）50，40；（2）见分析，；（3）480人 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据等级的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用等级的人数除以总人数，即可求出m的值；减去其它等级的人数，求出等级的人数，从而补全统计图； （2）先求出等级的人数，再用A等所占比例乘以即可得出其圆心角的度数； （3）用总人数乘以成绩为“C等”的人数所占的百分比即可． 解：（1）本次被调查的学生人数是：（人， ， 所以图1中m的值是40， 故答案为：50，40； （2）等级的人数有：（人）， 如图，补全学生测试成绩条形统计图    测试成绩为A等的部分所在扇形统计图中圆心角的度数为； （3）全校1200名学生中测试成绩为C等的人数估计为 （人） ★★6．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 （1）完成上述表格：_____；______； （2）请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数，求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 解：（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数很大时，频率将会接近，获得“书画”奖品的概率约是， 故答案为：，； （3） 标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 【题型三】三角形中位线+旋转（3题） ★1．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，是由按顺时针方向旋转一定角度后得到的．   （1）请指出旋转中心和旋转角度； （2）试判断四边形的形状？并进行证明． 【答案】（1）旋转中心为E点，旋转角为；（2）四边形是平行四边形；证明见分析 【分析】（1）根据旋转的定义即可得到结论； （2）根据旋转的性质可以得到，根据三角形中位线定理可得：，，则，且，即可证明． 解：（1）解：旋转中心为E点，旋转角为； （2）解：四边形是平行四边形； 证明：∵绕着点E顺时针旋转得到， ∴点D、E、F在一条直线上，且， ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定以及三角形的中位线定理，正确理解三角形中位线定理以及旋转的性质是解题的关键． ★★2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转得到，使点落在边上，设M是的中点，连接，． （1）写出旋转角的度数． （2）求的面积． 【答案】（1）旋转角的度数是；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理， （1）根据三角形的全等，旋转的性质，推理判断即可． （2）根据三角形中位线定理，直角三角形的性质计算即可． 解：（1）∵绕顶点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故旋转角为． （2）如图，作的中点H,连接， ∵绕顶点C逆时针旋转得到，使点落在边上 ∴，， ∴点、C、B共线， ∵M是的中点，点H是的中点， ∴， ∴， ∴． ★★3．（21-22八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 解：（1）证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，过点B作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，点P为的中点， ∴是中位线， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【题型四】分式方程的应用（4题） ★★1．（20-21七年级下·浙江衢州·期末）我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位． （1）七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？ （2）张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程． 【答案】（1）七年级共有390学生，共租了8辆大巴车；（2）张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程为40千米. 【分析】（1）设有x辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位，可列出方程，进而求出即可； （2）设大巴车的速度为y千米/小时，则张老师驾车的速度为1.6y千米/小时，根据比车队提前15分钟到达“根博园”列出方程求解即可． 解：（1）设有x辆大巴车，根据题意得： 45x+30=50x-10． 解得：x=8， ∴共有学生45x+30=45×8+30=390（人）， 答：七年级共有390学生，共租了8辆大巴车． （2）设大巴车的速度为y千米/小时，则张老师驾车的速度为1.6y千米/小时，根据题意得： 解得：y=60 经检验y=60是原方程的解， 1.6x=1.6×60=96， ∴大巴车的速度为60千米/小时，则张老师驾车的速度为96千米/小时， ∴张老师追上大巴车的时间为：（小时）， ∴张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程为：（千米）． 【点拨】此题考查了一元一次方程及分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键． ★★2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． （1）求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； （2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【答案】（1）甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天；（2）第③种施工方案最节省费用，理由见分析． 【分析】此题主要考查了分式方程的应用， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 ． （1） 设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天．根据题意列出方程解答即可； （2） 根据已知算出各种方案的价钱之后， 再根据题意进行选择 ． 解：（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天． 依题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天． （2）这三种施工方案需要的费用为： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：（万元）． ∵， ∴第③种施工方案最节省费用． ★★3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． （1）求商店4月份购进T恤衫多少件？ （2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【答案】（1）80件；（2）4160元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题 （1）设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件，4月份每件进价为元，5月份每件进价元，根据“每件进价涨了2.5元”即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解． 解：（1）解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：商店4月份购进T恤衫80件． （2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件） （元） 答：商店共获毛利润4160元． ★★4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）甲、乙两小区准备安装两款智能快递柜，每个款能满足快递需求人数比款多人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有人、人．如果甲小区全部安装款智能快递柜，乙小区全部安装款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同． （1）设每个款能满足快递需求人数为人，求的值． （2）如果甲小区安装款和款智能快递柜共个，其中安装款的个数比安装款的倍还多个，分别求甲小区款和款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求． （3）已知购买款需元/个，购买款需元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由． 【答案】（1）；（2）甲小区安装款为个，安装款为个，这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求；（3）安装款智能快递柜个时，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省； 【分析】（1）设每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人，根据题意列方程即可解答； （2）设甲小区安装款为个，安装款为个，根据题意列方程即可解答； （3）设安装款智能快递柜为个，安装款智能快递柜个，总费用为元，根据题意一次函数，再根据一次函数的性质即可解答． 解：（1）解：设每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人，根据题意可得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为， ∴， 故的值为． （2）解：设甲小区安装款为个，安装款为个，根据题意可知， ， 解得：， ∴安装款为个， ∴甲小区安装款为个，安装款为个， ∵每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人 ∴能够满足快递需求的人数为（人）， ∵， ∴这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求． （3）解：设安装款智能快递柜为个，安装款智能快递柜个，总费用为元，根据题意可知， ， 整理得， 由变形可得， 将代入可得，， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为（元）， 此时， ∴安装款智能快递柜个时，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省． 【点拨】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次方程与实际问题，一次函数与实际问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【题型五】平行四边形+矩形、菱形、正方形 ★1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）先证明，再由平行四边形的性质得到，则，据此可得，由此可证明四边形是平行四边形； （2）连接交于O，由平行四边形对角线互相平分可得，，设，则，由勾股定理得，解得，则，可得． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接交于O， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． ★2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，过点作，两线交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识． （1）先证四边形是平行四边形，，再证，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． ★3．（24-25九年级上·河北保定·期中） 中，平分． （1）求证四边形是菱形． （2）满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）四边形是正方形，理由见分析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 解：（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． ★4．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在和中，，，，为边上一点． （1）求证： （2）若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 解：（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． ★★5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明全等即可； （2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再由勾股定理得到，从而得出，证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 解：（1）证明：在中，，，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ★★6．（2024九年级下·浙江·学业考试） 如图，在菱形中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连结，先证明是等边三角形，然后根据菱形的性质证明即可； （2）过作于点，由勾股定理求出，由（1）可知，，则，那么由即可求解． 解：（1）解：如图①，连结，   四边形是菱形，                        ， 是等边三角形，    ， 即， ； （2）解：如图②，过作于点， 四边形是菱形， ． 是等边三角形，， ， 由（1）可知，， ， ． 【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． ★★7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． （1）求证：． （2）请写出与之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可； （2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论． 解：（1）证明：过点作交于． ∵正方形中， ∴，． ∵， ∴， 又 ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，，， ∴． ∴． （2）， 证明：∵正方形中， ∴， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ★★8．（23-24八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可． 解：（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， △平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形． 【题型六】反比例函数图象与性质（6题） ★1．（2023·辽宁大连·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为；（2）没有效，见分析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 解：（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点拨】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． ★2．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图像交于点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图像交于点C，与轴交于点．①当点C是线段的中点时，求的值；②当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得 C点的坐标是解题的关键． （1）联立两函数的解析式，求出、的值即可； （2）①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值；②根据①结合图像即可求得． 解：（1）解：由题意得， 解得或， 根据题意：， 负值舍去， 故：； （2）过点C作轴的垂线，交直线于点，交轴于点． 当点C是线段的中点时， ∴． 点C的纵坐标为， 把代入函数中， 得． 点C的坐标为， 把代入函数中 得：， 解得； 当，即在的上方时， 当时，B为线段的中点， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， 把代入函数中得：， 得， 当时，， 故的取值范围为． ★★3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出x的取值范围； （3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式等，证明三角形全等是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）证明，则且，得到，即可求解． 解：（1）解：把代入得，， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ， 当时，的取值范围为或； （3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ， ， 设点，则且， 解得：，， 即点， 设直线的表达式为：， 把由点、的坐标代入得， ．解得：， 直线的表达式为． ★★4．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；（2） 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可； （2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴， 把、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，连接，交轴于点， ∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点在轴负半轴上，由（1）得：，， ∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高， ∴点的纵坐标， ∵点在反比例函数上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． ★★5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．  （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）根据图象，直接写出时的取值范围． （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交反比例函数的图象于点，若，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式，点的坐标为；（2）或；（3） 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为，解方程组得到； （2）根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，，根据题意列方程得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得或， ； （2）解：观察图象得，时的取值范围为或； （3）解：设， 轴， ，， ， ， 解得，， ， ． ★★6．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．    （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 解：（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【题型七】二次根式的应用 ★1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【答案】（1）；（2）①；②5 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可； （2）①根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：（1）解：二次根式有意义， ， 解得； （2）解：①， 与能合并，并且是最简二次根式， ， 解得； ②由①可得． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． ★★2．（21-22七年级上·浙江·期末）（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 【答案】（1）；（2）4040；（3） 【分析】（1）根据网格计算出阴影部分的边长，估算出范围，得到a，b的值，再作减法即可； （2）直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简原式求出a的值，即可得出答案； （3）先根据各点在数轴上的位置，得出a，b，c之间的大小关系为a＜b＜0＜c，再由此关系化简题中所给的式子，即可得出结果． 解：（1）由图可知： 阴影部分的边长为， ∵， ∴， ∴a=4，b=， ∴a-b==； （2）∵有意义， ∴a-2020≥0， 解得：a≥2020， ∴， ∴原式化简为， 则， ∴， ∴==4040； （3）观察数轴可得，-1＜a＜0＜b＜c， ∴a-1＜0，b-c＜0， ∴ = = = = 【点拨】此题主要考查了实数与数轴，二次根式有意义的条件，无理数的估算，解题的关键是掌握基本知识，要能根据数轴上点的位置找出实数a，b，c之间的大小关系． ★★3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为________． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）． 通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 【答案】（1）；（2）8，；（3）2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键． （1）变形得，则有，即可求解． （2）变形得，则有，，即可求解． （3）变形得，则有，即，即可求解． 解：（1）∵， ∴， ∴y有最大值； （2）∵， ∴， ∴y有最小值； 此时，， 得， （舍去）； （3）∵， ∵a，b，c是非负实数， ∴， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为2． 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】平行四边形几何变换问题 ★★★1．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解； （2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解； ②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解． 解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等， ∴它的两个锐角都是； 故答案为：． （2）①根据旋转可得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：． ②∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ （3）当在上时，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上时，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 综上所述，或． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． ★★★2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见分析；【解决问题】；【拓展研究】或 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 解：数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． ★★★3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图，，，点与点重合时，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】根据折叠的性质可知，，，，根据矩形的性质可证，等量代换可得，根据等角对等边可得，从而可得，根据四条边相等的四边形是菱形可证结论成立； 利用勾股定理可以求出，设菱形的边长为，则有，在中，所以可得，解方程可以求出，利用菱形的性质可知是直角三角形，根据勾股定理可以求出，根据菱形的性质可知． 解：（1）证明：根据折叠的性质可知，，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：矩形中，， ， 设菱形的边长为， 则有， ， 在中，， ， 解得：， 在中，，， ， ． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是根据折叠的性质找到相等的边和角． ★★★4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【答案】（1）①见分析   ②，或；（2） 【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明，即可得到结论； ②分为点与点重合时，则；然后根据点F在或上或点F在或上两种情况画图，分别构造等腰三角形，利用股定理解题即可． （2）在上截取，连接，则有，即，可以得到当点D，E，Q共线时，最小，即长，然后利用勾股定理解题即可． 解：（1）①证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当点与点重合时，则； 当点F在或上时，由（1）可得长相等， 过点作交，于点G，H， 则为矩形， ∴， 又∵， ∴ 设，则则， 则有，即， 解得：或（舍去）， 又∵ ∴， ∴； 当点F在或上时，可得长相等，即长相等， 则， ∴； 综上所述，长为，或； （2）解：在上截取，连接， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，E，Q共线时，最小，即长， 这时，， ∴． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型九】平行四边形探究性问题 ★★★1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见分析；（2）． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 解：（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． ★★★2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 解：（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． ★★★3．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）或或 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 解：（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：令，；令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：存在，设点Q的坐标为． 由（2）知， ∵动点C在线段上， ∴点C的坐标为， 分两种情况考虑，如图2所示： ①当为边时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴或， ∴或， ∴点Q的坐标为，点的坐标为； ②当为对角线时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或． 【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． ★★★4．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 （即共线） 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 解：概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 （即共线） 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 【题型十】反比例函数图象与一次函数压轴问题 ★★★1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 解：（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键. ★★★2．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得； （3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标． 解：（1）∵过， ∴， ∴，则， 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或， ∴． （2）令，则，∴． 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，令，则， ∴， ∴． （3）由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得（负数舍去）， ∴点的横坐标的值为． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． ★★★3．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点、点： （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当的面积为6时，y轴上有一点Q，若有最大值时，求出这个最大值： （3）如图3，将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形时，直接写出点F的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或 【分析】（1）将代入可得，即；进而求得点，然后运用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出点A的坐标，如图：过P作轴交于E，设，易得，再根据的面积为6可求得，即；如图：作D关于y轴的对称点，连接，则，即；再根据三角形中两边之差小于第三边即可解答； （3）先求出，则，利用平移分四种情况进行解答即可． 解：（1）解：将代入可得：，即， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入可得：，即， 则有， 解得：， 所以一次函数的解析式为： （2）解：∵一次函数的解析式为：， ∴， 如图：过P作轴交于E， 设，则，即， ∵的面积为6， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， 如图：作D关于y轴的对称点，连接，则， ∴， 若有最大值时，即的最大值， ∵，， ∴， ∴的最大值为． （3）解：∵， ∴, ∵ ∴与x轴的夹角的正切为4， ∴将沿着射线的方向平移个单位，相当于向上平移8个单位，向右平移2个单位， ∵将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∵点E在y轴上， ∴第一种情况：点向右平移1个单位，向上平移个单位得到, 则点C按照同样平移规律得到点 第二种情况：点向左平移1个单位，向下平移个单位得到, 则点按照同样平移规律得到点 第三种情况：点向左平移1个单位，向上平移个单位得到, 则点按照同样平移规律得到点 第四种情况：点向右平移1个单位，向下平移个单位得到, 则点C按照同样平移规律得到点 综上可知，点F的坐标为或或或． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、点的平移、解直角三角形、求函数解析式、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ★★★4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求m的值． （2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 解：（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：①如图，过点M作轴于点N， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数的图象上的一点， ∴， 解得：， ∵点M在点P的右侧， ∴点M的坐标为． 【题型十一】反比例函数图象与性质数形结合探究性问题 ★★★1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见分析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：    ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． ★★★2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． （1）【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… （2）【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． （3）【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． 【答案】（1）；一、二；（2）画图见分析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见分析；（3）或或 【分析】（1）根据的的取值进行解答即可； （2）通过列表、描点、连线即可得出函数图像，再根据函数图像进行解答即可②③，通过取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，可得 ，，，即可得出在的第一象限的曲线上； （3）通过解方程组，再结合函数图像即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．” 故答案为：；一、二； （2）列表得： 描点并连线得：    根据函数图像可得： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于轴对称； 故答案为：轴； ③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； ④同学丁的说法是正确的，理由如下： 取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，    ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在的第一象限的曲线上， 故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确． （3）∵， ∴或或， ∴不等式的解集是：或或． 故答案为：或或． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，函数图象的画法，反比例函数与一次函数的交点问题、旋转等知识，利用数形结合思想是解题的关键． ★★★3．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）【探索发现】 如图1，四边形、、都是边长为1的正方形， 在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号） 【问题解决】 如图1，在线段上取点I，使得为，则______．          【拓展应用】 如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接． （1）如图3，当轴时， ①求点A的坐标； ②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______． （2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______． 【答案】【探索发现】①③；【问题解决】；【拓展应用】（1）①点A的坐标为；②或；（2）或 【分析】探索发现：如图，由正方形性质及外角定理得，由勾股定理，，可证，得，于是，得出答案； 问题解决：如图，，则，可证，于是，从而，得出结论； 拓展应用：（1）如图3，当轴时，①设，，则由勾股定理，，所以，求解得；②两种情况，如图，,点P在正半轴,如图与的延长线交于点C,过点C作轴，点B作轴，垂足分别为点,,求证，得,，由,知，，，待定系数法求解析式为，从而求得；如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F,则是等腰直角三角形,，同前一种情况,可证，可得,待定系数求解析式为，从而求得； （2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，可知 ,，求证，得，于是，，设，得，即，解得或，或，于是A或． 解：【探索发现】，如图，正方形中， ∴ 由勾股定理，， ∵ ， ∴ 而 ∴ ∴ ∴即 根据图中角的位置关系，可知其它两角不符合条件， 故选：①③；    【问题解决】如图， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    【拓展应用】（1）如图，当轴时， ①设，，则，， ， ∵ ∴ ∴，解得， ∴      ②两种情况，如图，,点P在正半轴, 如图与的延长线交于点C,过点C作轴，过点B作轴，垂足分别为点,, ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴, 由,知， ∴，，即 设直线解析式为,则 ,解得 ∴ 时, ∴ ,   如图，,点P在负半轴,延长,交于点C,过点C作轴,垂足为F, 则是等腰直角三角形,      同前一种情况,可证，而 ∴， ∴, 设直线解析式为，则 解得 ∴ 时， ∴ 综上, 或 （2）如图，分别过点B，A作轴, 轴，垂足为C, F，    ∵点A，点B在反比例函数和上 ∴, ∵， ∴ 又 ∴ ∴， ∴， 设，则，，，， ∴ 而，， ∴ 即，解得，或 ∴或，或 ∴A或 【点拨】本题考查反比例函数性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，结合条件添加辅助线，构造全等三角形、相似三角形寻求线段之间的关系是解题的关键． ★★★4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】（1）图见分析；（2）①左，1；②B；（3）①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 解：（1）描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点拨】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【题型十二】反比例函数与几何综合探究性问题 ★★★1．（20-21八年级下·江苏淮安·期末）（1）【探究新知】如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数的图像上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F．试证明：． （3）【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数图像上的位置，如图3所示，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，请求的长． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，先判断出CG∥DH，再利用△ABC和△ABD的面积相等得出CG=DH即可得出结论； （2）连接MF、NE，先求出△EFM的面积，再求出△EFN的面积，即可得出△EFM和△EFN的面积相等，最后利用（1）的结论即可得出； （3）过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G，同理可证MN∥EF，由平行四边形的判定和性质可得，由三角形的面积关系可求解． 解：（1），理由如下： 过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：连接MF、NE，如图所示： 设， ∵点M，N在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴由（1）中结论可知； （3）过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G，如图所示： 同理可证， ∵， ∴四边形EMAF、四边形FNBE都为平行四边形， ∴根据反比例函数k的几何意义可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合、平行四边形的性质与判定及等积法，熟练掌握反比例函数与几何的综合、平行四边形的性质与判定及等积法是解题的关键． ★★★2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： （1）如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； （3）如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】（1）；（2）2或3；（3）7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 解：（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点拨】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． ★★★3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． （1）求证：； （2）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （3）如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； （4）如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），；（3），理由见分析；（4）或3或或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，利用同角的余角相等得到，从而利用即可得证结论； （2）先求得，设反比例函数的表达式为，把点A的坐标代入即可求出，即得到反比例函数的表达式为，同（1）证得，得到，因此点E的横坐标为，把代入反比例函数，得，即可解答； （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，先得出，利用勾股定理可得，进而退出，从而证得，得到，再证，根据四边形的内角和即可解答； （4）利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而求解直线l的解析式为，设，，分三种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分分别列方程求解即可解答． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为， ∵该反比例函数经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 把代入函数中，得， ∴点E的坐标为； （3），理由如下： 如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 由（2）可知， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （4）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设，， ∵，， 又菱形的邻边相等，且对角线互相平分， ∴①若、为对角线，则 ， 解得， ∴ ； ②当，为对角线时， ， 解得： 或（舍去）， ∴； ③当，为对角线时， ， 解得：或， ∴或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A，C，P，Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质等．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长，理解坐标与图形的性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． ★★★4．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点． 探究发现 （1）①若，则的面积为________，的面积为________； ②若，则的面积为________，的面积为________． 猜想验证 （2）①如图1，与的位置关系为________； ②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由． 图1                   图2 推广应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值． 【答案】（1）①②；（2）①②，理见详解；（3） 【分析】（1）根据反比例函数的k的几何意义，结合三角形的面积公式可得，，①中的k的值为4，代入计算，同理，当时，代入计算，即可作答． （2）①由（1）知，，分别过点作，垂足为，则．根据面积相等可得，则四边形为平行四边形，由此可得结论； ②连接，分别过点作，垂足为，则．证和的面积相等，根据（1）即可推出答案； （3）先求出点D和点E的坐标，再运用待定系数法求解的解析式，如图，连接交于点K，利用待定系数法可求得直线的解析式为，根据一次函数的k值相等，得两直线平行，即，再根据翻折的性质即可得出答案； 解：（1）设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵轴，轴， ∴， ∴， ①当时，， ②当，； （2）①由（1）知，， 分别过点作，垂足为，则． ∴． ∵与的面积相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． ②，理由如下： 连接，分别过点作，垂足为，则． ∴， 由（2）①知， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． （3）因为点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，且四边形为矩形， ∴ 设的解析式为， 把代入， 得 解得 即 如图，连接交于点K， ∵反比例函数的图象经过点交于点， ∴ ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为 ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴， ∴点分别为的中点， ∴， 解得：． 【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合：翻折性质，反比例函数的k的几何意义，矩形性质，一次函数的解析式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（12类题型） 苏科版八下解答题具有考点集中、分层递进、重应用，强建模、几何证明讲逻缉性，函数讲综合性等特点，本专题结合江苏地区期末考试解答题题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】作图题+求值+证明（6题）..........................................................................................................1 【题型二】数据的收集、整理、描述与概率（6题）..................................................................................3 【题型三】三角形中位线+旋转（3题）........................................................................................................6 【题型四】分式方程的应用（3题）..............................................................................................................7 【题型五】平行四边形+矩形、菱形、正方形（8题）.................................................................................8 【题型六】反比例函数图象与性质（6题）.................................................................................................11 【题型七】二次根式的应用（3题）.............................................................................................................14 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】平行四边形几何变换问题（4题）.............................................................................................15 【题型九】平行四边形探究性问题（4题）.................................................................................................17 【题型十】反比例函数图象与一次函数压轴问题（4题）.........................................................................18 【题型十一】反比例函数图象与性质数形结合探究性问题（4题）.........................................................20 【题型十二】反比例函数与几何综合探究性问题（4题）.........................................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【题型一】作图题+求值+证明（6题） ★1．（2024·江苏苏州·一模）的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在右侧交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． ★2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在菱形中，，．按下列步骤作图：   ①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F； ②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H； ④连接； ⑤延长交于点N，连接交于点M． （1）根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：____________，并证明结论成立； （2）求的长． ★3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，矩形． 求作：正方形，使点E、F分别在、上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点F； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点E； （3）连接． 【解答问题】 请你根据材料中的信息，证明四边形是正方形． ★★4．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． ★★5．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）图1是在中，，用直尺和圆规作矩形，作法是“以点A为圆心，长为半径画弧；以点C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D”，请判断所作的四边形是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形的边上任取一点E，O是中点，在上各找一点F、G、H，使得四边形是菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） ★★6．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形，以为圆心，长为半径画弧交于． （1）用无刻度的直尺和圆规在上作出点，使与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长交延长线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【题型二】数据的收集、整理、描述与概率（6题） ★1．（2025·浙江杭州·一模）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． ★2．（24-25七年级下·江西吉安·期中）为了提高学生阅读能力，恩江中学倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）本次调查的学生有___________人；请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； （3）若学校七年级共有1500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？___________．（直接写出结果） ★3．（2024·浙江·模拟预测）如图反映的是某综合商场今年1－5月份的商品销售额统计情况，商场1－5月份的销售总额一共是370万元．试解答下面问题： （1）请补全图1． （2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？ （3）小华观察图2后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？ ★★4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：． （1）请补全频数分布直方图； （2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比； （3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，， ，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由． ★★5．（2024·浙江宁波·一模）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：   （1）参与本次调查的学生人数为________，图1中m的值是________． （2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数． （3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数． ★★6．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 （1）完成上述表格：_____；______； （2）请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 【题型三】三角形中位线+旋转（3题） ★1．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，是由按顺时针方向旋转一定角度后得到的．   （1）请指出旋转中心和旋转角度； （2）试判断四边形的形状？并进行证明． ★★2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转得到，使点落在边上，设M是的中点，连接，． （1）写出旋转角的度数． （2）求的面积． ★★3．（21-22八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）取中点P，连接，求证：． 【题型四】分式方程的应用（4题） ★★1．（20-21七年级下·浙江衢州·期末）我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位． （1）七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？ （2）张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程． ★★2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． （1）求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； （2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． ★★3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． （1）求商店4月份购进T恤衫多少件？ （2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ ★★4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）甲、乙两小区准备安装两款智能快递柜，每个款能满足快递需求人数比款多人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有人、人．如果甲小区全部安装款智能快递柜，乙小区全部安装款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同． （1）设每个款能满足快递需求人数为人，求的值． （2）如果甲小区安装款和款智能快递柜共个，其中安装款的个数比安装款的倍还多个，分别求甲小区款和款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求． （3）已知购买款需元/个，购买款需元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由． 【题型五】平行四边形+矩形、菱形、正方形 ★1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． ★2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，过点作，两线交于点，求证：四边形是菱形． ★3．（24-25九年级上·河北保定·期中） 中，平分． （1）求证四边形是菱形． （2）满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． ★4．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在和中，，，，为边上一点． （1）求证： （2）若点是的中点，求证：四边形是正方形． ★★5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． ★★6．（2024九年级下·浙江·学业考试） 如图，在菱形中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． ★★7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． （1）求证：． （2）请写出与之间的数量关系并证明． ★★8．（23-24八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【题型六】反比例函数图象与性质（6题） ★1．（2023·辽宁大连·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ ★2．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图像交于点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图像交于点C，与轴交于点．①当点C是线段的中点时，求的值；②当时，求的取值范围． ★★3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出x的取值范围； （3）设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． ★★4．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． ★★5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．  （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）根据图象，直接写出时的取值范围． （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交反比例函数的图象于点，若，求的面积． ★★6．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．    （1）求的长度； （2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【题型七】二次根式的应用 ★1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． ★★2．（21-22七年级上·浙江·期末）（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 ★★3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为________． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）． 通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】平行四边形几何变换问题 ★★★1．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    ★★★2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 ★★★3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图，，，点与点重合时，求的长． ★★★4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【题型九】平行四边形探究性问题 ★★★1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． ★★★2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． ★★★3．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． ★★★4．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【题型十】反比例函数图象与一次函数压轴问题 ★★★1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． ★★★2．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． ★★★3．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点、点： （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当的面积为6时，y轴上有一点Q，若有最大值时，求出这个最大值： （3）如图3，将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形时，直接写出点F的坐标． ★★★4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求m的值． （2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 【题型十一】反比例函数图象与性质数形结合探究性问题 ★★★1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______； A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． ★★★2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． （1）【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… （2）【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． （3）【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． ★★★3．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）【探索发现】 如图1，四边形、、都是边长为1的正方形， 在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号） 【问题解决】 如图1，在线段上取点I，使得为，则______．          【拓展应用】 如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接． （1）如图3，当轴时， ①求点A的坐标； ②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______． （2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______． ★★★4．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【题型十二】反比例函数与几何综合探究性问题 ★★★1．（20-21八年级下·江苏淮安·期末）（1）【探究新知】如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数的图像上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F．试证明：． （3）【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数图像上的位置，如图3所示，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，请求的长． ★★★2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： （1）如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； （3）如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． ★★★3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． （1）求证：； （2）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （3）如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； （4）如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． ★★★4．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点． 探究发现 （1）①若，则的面积为________，的面积为________； ②若，则的面积为________，的面积为________． 猜想验证 （2）①如图1，与的位置关系为________； ②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由． 图1                   图2 推广应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$