暑假作业08 导数、数列、解析几何解答题专练（巩固培优）高二数学苏教版

完成时间： 月 日 天气： 作业08 导数、数列、解析几何解答题专练 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 3. 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 4. 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法 5. 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 2．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为；(2)经过点和点(3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 3．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 4．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 5．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 6．如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 7．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 9．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 11．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 12．如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. (1)当点M坐标为时，求； (2)证明：. 13．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 14．正项等比数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 15．在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 16．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 17．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 18．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 19．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 20．已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 1．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 2．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 3．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 4．已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 5．已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 6．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 7．已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 8．设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 9．（1）在数列中，若，其中均为常数，是一元二次方程的两个实根，证明：． （2）若数列满足对应的一元二次方程为，该方程有两个实数根，则，其中均为常数．已知数列满足，且． ①求的通项公式； ②若数列满足，且，求的前项和． 10．已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数. (1)若，，写出，，的值； (2)若数列中存在一项，，证明：； (3)若数列中每一项都不是，证明：，. 11．已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 12．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若存在两个不同的，满足，证明：. 13．已知函数，其中为常实数. (1)当时，讨论函数在其定义域内的单调性； (2)若是函数的极大值点，证明：. 14．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 15．已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 1．已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 2．在一三维平面中，设圆锥顶点为，底面圆心为，．在该圆锥内部，存在两个内切球，球心分别为、，半径分别为、，分别与一个平面相切于、两点，已知平面截圆锥所得截痕是一个平面曲线，动点在上运动，满足，其中为常数，直线过点与曲线相交于、两点． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线交轨迹于两点、，证明：与无关，并求及值； (3)若一点同时满足，，求的取值范围． 3．已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 4．已知各项均为正整数的数列满足. (1)若，求； (2)已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 5．对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． (1)求的单调区间； (2)已知． ①若数列满足，，求数列的通项公式； ②求证：． 6．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业08 导数、数列、解析几何解答题专练 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 3. 利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 4. 利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法 5. 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 2．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 3．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【分析】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【详解】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 4．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的定义可得动点的轨迹的方程； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，圆， 故，所以， 故动点的轨迹的方程为. （2）因为直线被曲线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为1. 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，故，解得， 故 综上，直线的方程为或. 5．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 6．如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案； （2）设出A，B的坐标，由得到A，B横纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解． 【详解】（1）由题意，得直线的斜率， 因为，所以直线的斜率. 又点的坐标为， 所以直线的方程为， 即. （2）由得， 设，则.① 因为，所以，即. 又因为，所以.② 将①代入②，得. 又，所以. 7．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 9．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 11．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合离心率相等列关于的关系式，即可求得； （2）设点坐标，表示结合椭圆方程即可求得； （3）设，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果. 【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，， 设椭圆的半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率， 因为， ，， 所以， 所以，斜率之积为定值，且定值为. （3）设，由于，所以， 设直线方程为，直线方程为， 联立得：， 联立，， 因为且， 所以是方程的两个实数根，恒成立 ，则， ， 整理得， ， 解得，又， 所以. 12．如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. (1)当点M坐标为时，求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用题干中的条件先求出椭圆的方程，再设点E的坐标，利用D点在椭圆上即可求出点E坐标，利用两点间的距离公式即可求得结果. （2）设出直线的方程，与椭圆联立得到各个点坐标，利用斜率相乘等于即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，，，解得，， 故椭圆C的方程为. 当点M坐标为时，， 设，则. 代入椭圆方程得解得或0（舍去），即， 又，故. （2）设直线AD：，与椭圆C方程联立得，， 又，故，则，，又， 故直线的斜率， 所以，故. 13．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式； （2），利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； （2）因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 14．正项等比数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 【答案】(1) (2)或，的最大值为. 【分析】（1）根据求出公比，根据求出首项即可； （2）讨论、、即可求出. 【详解】（1）设数列公比为，则，解得或， 因等比数列为正项数列，则， 则，解得，                                 则. （2）当时，；当时，；当时，，    所以当或时，最大，最大值为 . 15．在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 16．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 17．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为； 18．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 19．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于的函数，结合导数来证明即可. 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2）． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 20．已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，即可根据求解， （2）根据单调性即可求解极值， （3）根据函数的单调性，以及极值即可求解. 【详解】（1）， 由于在处取极值，故，解得， 当时，， 当和时，当，， 故满足在处取极值，因此 （2）由（1）知：在单调递减，在和单调递增， 故 （3）由于当时，,，时，， 时，，当时，， 结合（1）（2）可知：有3个实数根时， 故， 因此恰有3个零点时，则. 1．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程. （2）（i）求出线段的方程，由三角形的面积求出点的坐标，进而求出直线l的斜率；（ii）根据给定条件，结合三角形面积公式得，设出直线的方程，求出点的坐标，进而求出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. （2）（i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 2．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦距，短轴概念，计算即可； （2）（ⅰ）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得出与的值，再根据公式算出其值.最后根据三角形面积公式求出面积. （ⅱ）本题先设出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到与的表达式.再根据已知条件列出等式，通过化简等式并结合韦达定理求出的值，进而得到直线的方程. 【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 （2）（ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，.   因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得.   将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得.   把代入得. 整理得. 3．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 4．已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 5．已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程；（ⅱ）由弦长公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； （2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 设，则， 又因为， 所以，整理得，   （ii） 由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部， 当AB与重合时；· 当AB与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以，         同理可得，                              ， 当且仅当，即时取等号，                        因为，即四点构成的四边形面积的最小值为. 6．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2）因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 7．已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意将题给等式变形为，则根据等差数列的定义可证明数列是等差数列； （2）由（1）先求出数列的通项公式，从而求得数列的前n项和，再根据可求出，从而求出的通项公式，最后利用错位相减法求出的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以，所以， 因，① ，② ②-①得，③ 则，④ ③-④得 所以. 8．设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证； （2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解； （3）通过裂项相消法求和，进而可求证. 【详解】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （3） 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 9．（1）在数列中，若，其中均为常数，是一元二次方程的两个实根，证明：． （2）若数列满足对应的一元二次方程为，该方程有两个实数根，则，其中均为常数．已知数列满足，且． ①求的通项公式； ②若数列满足，且，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②答案见解析 【分析】（1）由新概念结合韦达定理即可求证； （2）由新概念即可求解①，由错位相减法，和分组求和可求解② 【详解】（1）证明:因为是方程，即的两个实根， 所以， 则 ， 得证； （2）①解:由题意知的一元二次方程为， 解得， 根据题意，不妨取， 设， 因为， 所以 解得 故， ②解:由， 得， 因为=7，， 所以由①知， 则. 设， 则， 则 所以. 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， . 10．已知各项均为正数的无穷数列满足：，其中是正实数. (1)若，，写出，，的值； (2)若数列中存在一项，，证明：； (3)若数列中每一项都不是，证明：，. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式分别求，，的值即可； （2）分类讨论当是奇数时，当是偶数，根据及递推公式分别计算即可证明； （3）先研究相邻三项，借助递推公式表示为，利用基本不等式得出，再利用作差法判断，，及，从而得证. 【详解】（1），，， （2）因为， 当是奇数时，、为偶数，为奇数， ， ，， 可得，整理得：，解得， 当是偶数，、均为奇数， ，所以， 所以， 综上，当时，. （3）因为，是偶数，所以， 对于而言，由于为奇数，所以，所以有， 由于数列每一项均为正数，所以利用基本不等式，有， 由于取不到等号，故， 所以数列从第3项开始，奇次项均大于， 又因为 ， ， 同时有， 所以数列从第4项开始，偶次项均小于， ，. 11．已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为直线与曲线的交点个数问题，求得函数的增减区间和最值，再对a分情况讨论即可得到结果； （2）令，求导计算得到，要证的图象恒在的图象上方，只需证，求导得到，结论即可证明. 【详解】（1）令，得， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点. 故时，函数的零点个数是2； 或时，函数的零点个数是1； 时，函数的零点个数是0. （2）令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以成立，所以， 要证的图象恒在的图象上方， 即证在上恒成立， 又，只需证， 故只需证， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故， 所以当时，，所以恒成立， 所以的图象恒在的图象上方. 12．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若存在两个不同的，满足，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得导函数，再按实数分类讨论函数的单调性即可； （2）结合（1）讨论可得当且仅当时有两个零点，令，求导研究函数的单调性，进而证得结果. 【详解】（1）的定义域为，且， ①当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，故函数在上单调递增； ③当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； ④当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； 综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增. （2）由（1）知，当时，，所以不可能有两个零点； 当时，，所以不可能有两个零点； 当时，在上单调递增，所以不可能有两个零点； 若要有两个零点，当时，，此时（舍），，不符合题意故舍去，当且仅当，所以， 设，令， 则， 所以在上单调递减，则，即， 所以，又，所以， 因为，，由（1）知在上单调递增， 所以，即. 13．已知函数，其中为常实数. (1)当时，讨论函数在其定义域内的单调性； (2)若是函数的极大值点，证明：. 【答案】(1)增区间为，，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）直接对求导，得，求出和的解，即可求解； （2）对求导，根据条件得到，且，将问题转化成证在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）当时，， 易知，又， 由，得到或，由，得到， 所以函数的增区间为，，减区间为. （2）因为， 易知的定义域，则， 令，得到，令，其对称轴为，图象开口向上， 当，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时，在上单调递增，无极值点， 当，即， 当时，，此时在上只有一个根， 当时，，时，，不合题意， 则，则，所以有两根，且， 当时，，当时，，当时， 所以是的极大值点，由题知，所以， 要证，即证，即证在上恒成立， 令，则， 令，则， 易知在区间上单调递减，则， 所以在区间上单调递增，则， 所以在区间上单调递减，则， 所以在区间上恒成立，即. 14．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用分类讨论思想，来确定导数的正负区间，从而可判断函数的单调区间； （2）利用给定条件下的单调性，易得，然后只需要证明不等式，再构造函数求导，并结合隐零点来进行证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，令，得， ①若，即时， 则当或时，，在区间上单调递增， 当时，在区间单调递减； ②若，即时， 则当或时，在区间单调递增， 当时，在区间单调递减； ③若，即时， 此时，则在上单调递增． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由（1）知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 ， 则要证明， 只需要证明． 构造函数，， 则， 又令，则， 所以在单调递增， 而， 故存在唯一的，使得，即． 当时，在单调递减； 当时，在单调递增． 所以当时，取得极小值，也是最小值， ， 所以， 故原不等式成立，结论得证． 15．已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 1．已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）假设点的坐标，然后根据到两直线的距离平方和计算即可； （2）（ⅰ）分别计算，，然后得到，进一步得到直线ON的方程，最后联立曲线C可得结果；（ⅱ）假设直线MN的方程、直线OH的方程并联立曲线，分别得到，，，然后根据可得结果. 【详解】（1）设动点，则P到直线的距离为， 到直线的距离为， 由题可知，化简得， 可得动点P的轨迹方程为：． （2）（ⅰ）由题可知，，， ， ，，而， ，，， ，所以直线ON的方程为， 由可得或， 又因为点N位于y轴的右侧，所以． （ⅱ）且，， 设直线MN的方程为：，，， 由消x得， ， ，， 又由两式相减得，可得， 则直线OH的方程为，代入得：， 则，， ， ，， 即，解得，所以直线MN的斜率为． 2．在一三维平面中，设圆锥顶点为，底面圆心为，．在该圆锥内部，存在两个内切球，球心分别为、，半径分别为、，分别与一个平面相切于、两点，已知平面截圆锥所得截痕是一个平面曲线，动点在上运动，满足，其中为常数，直线过点与曲线相交于、两点． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线交轨迹于两点、，证明：与无关，并求及值； (3)若一点同时满足，，求的取值范围． 【答案】(1)答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! (2)答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! (3)答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【详解】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 （2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 （3）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 3．已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即可求得结果； （2）经分析可知只有当时，在单调递增，满足题意，再利用裂项求和可得结果； （3）由（2）可知当时为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求的结果. 【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以， 所以， . （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调； 当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或， 当时，，易知在单调递增； 当时，，易知在不单调， 所以， 所以， . （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1， 当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值， 所以的最大值为1，最小值为. 4．已知各项均为正整数的数列满足. (1)若，求； (2)已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 【答案】(1)； (2)（i）85；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意设，根据递推关系分别求出即可； （2）（i）根据递推关系式，结合列举法求解； （ii）利用数学归纳法证明为定值1可满足题意，结合递推关系式构造分式，利用累加法证明不等式成立. 【详解】（1）由题意，设，则， 由递推关系可得则，则， 所以. （2）（i）由题意，，则，即有， 因为数列各项均为正整数，且， 经列举，只有满足题意，解得. 同理，，则，即有， 可解得， 所以. （ii）可以为定值，当时，满足题意. 用数学归纳法证明如下： 当时，，经列举，只有，解得均为正整数，满足题意. 假设时，设， 由可得，由可得 所以则. 此时， 因为，所以均为正整数，满足题意； 当时，，令， 则，则均为正整数，也满足题意. 综上，当时，均为正整数，满足题意. 所以，可以为定值1. 由题意得时，， 又，所以，化简整理得， 取倒数得， 即. 累加可得 又因为， 故得证. 5．对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． (1)求的单调区间； (2)已知． ①若数列满足，，求数列的通项公式； ②求证：． 【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性； （2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造根据函数最值结合累加法证明即可. 【详解】（1）， 令，解得，令，解得 所以的单调递增区间为，递减区间为 （2）①由题意可知，， 那么 两边同时取对数可得 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，所以， 所以 ②设函数， 当时，，当时，， 所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减 则，即在上恒成立 所以， 即． 6．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）不妨设，将所证不等式转化为，令，， 构造，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）（ⅰ）由题意知有两个相异正根，转化为有两个相异正根，根据二次方程根的分布，列不等式组求解即可； （ⅱ）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立． 【详解】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； （2）（ⅰ）由得，， 因为函数有两个极值点，所以有两个相异正根， 即有两个相异正根， 则，解得，即a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）知：，满足，所以， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 所以在单调递减，又， 所以当时，， 所以，即，得证． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$