暑假作业07 线性回归分析与独立性检验（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 线性回归分析与独立性检验 1. 线性回归分析解题方法： （1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程. 线性回归直线方程为：，， 其中为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） ，正相关；，负相关 2.独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 独立性检验计算公式： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得（为人的年龄，为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（　　） A．年龄为岁的人体内脂肪含量一定为 B．年龄为岁的人体内脂肪含量约为 C．年龄为岁的人群中的体内脂肪含量平均为 D．年龄为岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为 3．已知表格中的数据y关于x的线性经验回归方程为， x 1 2 3 4 5 y 5 15 35 t 140 则样本点的残差为（    ） A．9 B．96 C．105 D． 4．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨 5．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 6．（多选）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是（    ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A．能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 B．不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 C．能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 D．不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 7．（多选）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 8．（多选）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．第7个月的下载量估计为1.8万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 9．有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是 . ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 10．已知随机变量，的五组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为 ． 11．会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下： 年龄段 满意度 合计 满意 不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计 75 25 100 (1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关； (2)用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 12．注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 (1)求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ (2)若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 1．已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（   ） A．与负相关 B．在处的残差为 C．经验回归直线过点 D．变量每增加一个单位，实际值一定增加个单位 2．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 3．为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据（见下表）： 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（      ） （其中相关系数） A． B．当时，的预测值为 C．样本数据的第40百分位数为 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 4．对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（    ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A．65 B．67 C．73 D．75 5．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．去除后的回归方程为 C．重新求得的回归直线必过点 D．去除后相应于样本点的残差为-0.05 7．（多选）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 8．（多选）某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为．在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下列联表，下列结论正确的是（   ） 满意 不满意 合计 男 10 女 合计 90 参考公式与临界值表，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法 B．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20 C．的观测值为9 D．根据小概率的独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系” 满意 不满意 合计 男 30 10 40 女 30 20 50 合计 60 30 90 9．某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 10．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 11．某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 (1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12．预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 1．某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表． 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 (1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”； (2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率； ②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 2．“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： (1)根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ (2)将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； (3)综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 3．为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5 训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 8.5 9 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 (1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因； (2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； (3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 5．2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 线性回归分析与独立性检验 1. 线性回归分析解题方法： （1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程. 线性回归直线方程为：，， 其中为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） ，正相关；，负相关 2.独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 独立性检验计算公式： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得（为人的年龄，为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（　　） A．年龄为岁的人体内脂肪含量一定为 B．年龄为岁的人体内脂肪含量约为 C．年龄为岁的人群中的体内脂肪含量平均为 D．年龄为岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为 【答案】C 【分析】根据回归直线的定义，结合所给函数即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，当时，， 表示的是年龄为37岁的人群中体内脂肪含量平均为， 故选：C. 3．已知表格中的数据y关于x的线性经验回归方程为， x 1 2 3 4 5 y 5 15 35 t 140 则样本点的残差为（    ） A．9 B．96 C．105 D． 【答案】A 【分析】先求出样本中心点，代入回归方程求出的值，再根据回归方程求出时的值，然后根据残差的定义求解即可. 【详解】，， 所以，解得， 当时，， 所以样本点的残差为. 故选：A 4．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ） 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨 【答案】D 【分析】应用古典概型的概率求法求概率判断A、B，应用卡方计算公式求卡方值，与临界值比较，应用独立检验的基本思想得到结论，判断C、D. 【详解】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确； 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确； ，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误． 故选：D 5．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【分析】根据线性回归方程为过样本中心点求解即可． 【详解】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故选： 6．（多选）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是（    ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A．能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 B．不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 C．能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 D．不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 【答案】AD 【分析】根据题意计算出的值，逐项分析即可. 【详解】根据列联表，计算， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，A正确； 能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，B错误； 不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，C错误； 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，D正确， 故选：AD. 7．（多选）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B和C，根据条件，画出散点图，即可求解；对于D，利用线性回归直线方程过样中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知，，故选项A正确， 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知变量和正相关，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D错误， 故选：AC. 8．（多选）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．第7个月的下载量估计为1.8万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 【答案】ABD 【分析】根据回归方程的增减性，可得A的正误；取得样本中心代入方程，可得B的正误，利用回归方程，代入求值，可得C的正误；由题意列表求得每个月的残差，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确； 对于B，由，，即样本中心为， 则，解得，故B正确； 对于C，将代入回归方程，解得，故C错误； 对于D，由题意可得下表： 则最大值为，故D正确. 故选：ABD. 9．有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是 . ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】①④ 【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项③④. 【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是70，所以， 选项①正确、②错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此没按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 故③错误，④正确， 故答案为：①④. 10．已知随机变量，的五组观测数据如下表： 1 2 3 4 5 由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】令，则，求出，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解. 【详解】令， 则， 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 11．会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下： 年龄段 满意度 合计 满意 不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计 75 25 100 (1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关； (2)用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. (2)分布列见解析；. 【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算值，然后对照表格得到结论； （2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，根据二项分布公式即可求解． 【详解】（1） 由列联表可知：， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且， 则， 可得：，， ，， 故的分布列如图： X 0 1 2 3 P 可得. 12．注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 (1)求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ (2)若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】(1)；（百千克）； (2)分布列见解析； 【分析】（1）由参考公式可得线性回归方程，然后可预测豆角亩产量的增加量； （2）由题可得“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2，据此可能分布列并可求出期望. 【详解】（1）由题可得. ， . 则，. 则回归方程为：. 当液体肥料每亩使用量为12千克时， 豆角亩产量的增加量为（百千克）； （2）由题可知“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2， 则，，. 据此可得分布列如下： 0 1 2 则期望为：. 1．已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（   ） A．与负相关 B．在处的残差为 C．经验回归直线过点 D．变量每增加一个单位，实际值一定增加个单位 【答案】C 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；利用残差的定义可判断B选项；求出的值，代入回归直线方程，可判断C选项；根据经验回归方程的意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以与正相关，A错； 对于B选项，当处的残差为，B错； 对于C选项，，则， 故经验回归直线过点，C对； 对于D选项，变量每增加一个单位，实际值增加个单位左右，D错. 故选：C. 2．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 【答案】D 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 3．为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据（见下表）： 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（      ） （其中相关系数） A． B．当时，的预测值为 C．样本数据的第40百分位数为 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 【答案】D 【分析】A项，求出，将样本中心点代入回归直线方程可求；B项，利用回归直线方程代值运算预测即可；C项，按百分位数求法步骤求解；D项，新样本平均值没有变化，由相关系数公式可知. 【详解】A项，， 所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； B项，当时，的预测值为，故B错误； C项，由为整数，则样本数据的第40百分位数为，故C错误； D项，去掉样本点后，新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立， 不妨设为第组数据，即，则，其余数据没有变化. 则由相关系数公式可知， 即新样本数据与的相关系数与原数据相关系数相等， 即与的样本相关系数不会改变，故D正确. 故选：D. 4．对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（    ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A．65 B．67 C．73 D．75 【答案】B 【分析】利用样本点处的残差为3，求得，再由，求得，进而可求得. 【详解】由条件知当时，， 代入，解得，于是， 又，所以，即，解得. 故选：B． 5．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数． 【详解】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关， ， 故选：A． 6．（多选）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（    ） A．变量与具有正相关关系 B．去除后的回归方程为 C．重新求得的回归直线必过点 D．去除后相应于样本点的残差为-0.05 【答案】ACD 【分析】利用重新求得的回归方程的斜率为1.2，即可判断选项；利用样本中心在回归直线上，求出，由此进行分析求出，从而得到去除后的回归方程，即可判断选项；利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项C；求出，然后作差即可判断选项． 【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确； 对C,将代入回归直线方程为，解得， 则样本中心为，去掉两个数据点和后， 由于， 所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是， 故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确； 对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2， 所以，解得， 所以去除后的回归方程为，故选项不正确； 对D,因为， 所以，故选项正确． 故选：． 7．（多选）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ACD 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确. 【详解】对于A，由，得，故呈负相关关系，故A正确； 对于B，，， ，解得，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由得，回归直线必过点，即必过点，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为．在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下列联表，下列结论正确的是（   ） 满意 不满意 合计 男 10 女 合计 90 参考公式与临界值表，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法 B．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20 C．的观测值为9 D．根据小概率的独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系” 【答案】AD 【分析】根据题意计算男女比例，即可判断A选项；计算满意的总人数人数，根据男生满意人数即可得女生满意人数判断B选项；由列联表中数据计算的值即可判断C、D选项. 【详解】A选项，因为在校学生中有400名男生，500名女生，随机调查了40名男生和50名女生， 男女比例始终是4：5，所以采用了分层抽样的方法，故A正确； B选项，调查的90人中，对学校课后延时服务满意的人数为， 其中男生满意的人数为，所以女生满意的人数为30，女生不满意的人数为20，故B错误； C选项，由B选项的分析，补全列联表如下： 满意 不满意 合计 男 30 10 40 女 30 20 50 合计 60 30 90 由列联表可得，故C错误； D选项，：对课后延时服务的满意度与性别无关，由， 根据小概率的独立性检验，没有充足的证据推断不成立， 即不能认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”，故D正确． 故选：AD． 9．某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】45，50，55，60，65 【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案. 【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 x 女生 x 合计 若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 则. ∵， ∴，解得， 又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65. 故答案为：45，50，55，60，65. 10．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 . 参考公式：. 【答案】/1.875 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 11．某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 (1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，客户人数为55; (2)有把握. 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出经验回归方程，再预测结果. （2）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. 【详解】（1）由表中的数据知，，， ， ，，， 不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为， 当x＝8时，， 所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55. （2）零假设：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得， 所以有99%的把握认为满意度与性别有关. 12．预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)接种该疫苗与预防该疾病有关. (2) (3)分布列见解析，. 【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）由题意确定，进而可求解； 【详解】（1）根据列联表可得 ， 所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关. （2）由于. 所以，， , 由列联表中的数据可得，，所以. （3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为， 则由题意可知，且， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 1．某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表． 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 (1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”； (2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率； ②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论； （2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果； 【详解】（1）零假设:喜好红色或蓝色与性别无关， 因为， 所以，根据独立性检验，没有充分证据推断成立， 因此有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. （2）①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数， 标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数， 则； ②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 则选取4个箱子的所有情况有 记所选的箱子中有对相邻序号，可得则 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此数学期望. 2．“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： (1)根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ (2)将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； (3)综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关 (2) (3)应进行检验，理由见解析 【分析】（1）列列联表，由表中数据计算卡方，即可判断； （2）利用独立事件乘法公式计算甲、乙展示的商品均为一等品的概率及只有一轮展示的商品为一等品的概率，进而利用互斥事件概率加法公式求解即可； （3）设每箱30个商品中的三等品个数为，由题意知，利用二项分布期望公式求解，然后根据数学期望的定义及性质分别求解进行检验和不进行检验的数学期望，比较大小即可得出结论. 【详解】（1）由题意得列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲 70 30 100 乙 60 40 100 合计 130 70 200 ， 所以没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关. （2）两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为； 两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为. 则两轮活动中恰有三个一等品的概率为：. （3）由已知，每个零件为三等品的概率为， 设每箱30个商品中的三等品个数为，则，所以. 若不进行检验，则450元. 若进行检验，则总检验费用的期望值为元. 因为，所以应进行检验. 3．为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5 训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 8.5 9 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 (1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因； (2)从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； (3)为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)同学的优秀情况与训练有关，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案； （3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到，，求导后得到单调性，从而确定当时，取得最大值. 【详解】（1）零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 2 8 10 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 . 故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关. （2）设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件， 事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀， 有1人训练前非优秀，训练后也非优秀， 从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀， 则，， 所以. （3）设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有， 则恰有3天每天得分不低于3分的概率 ，， ， 当时，，时，， 故在上单调递增，在单调递减. 所以当时，取得最大值. 4．某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 【答案】(1)，14.99千人 (2) 【分析】（1）根据公式和已知的数据直接求解，从而可求得关于的回归直线方程，将代入回归方程可预测第10天入校参观的人数； （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 5．2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 【答案】(1) (2)；残差为 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【详解】（1）由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. （2）由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$