暑假作业06 离散型随机变量及其分布、正态分布（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 离散型随机变量及其分布、正态分布 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 6. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 7. 超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 8. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 2．设随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 4．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 5．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 7．（多选）已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知随机变量，若，，则 . 10．现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为 . 11．某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球． (1)求恰有2次命中的概率； (2)设命中的次数为，求． 12．一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 1．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 3．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 7．（多选）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A． B． C． D． 8．（多选）已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 9．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则 . 10．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 11．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 12．重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 1．根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 2．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 6．为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，求证明： 7．甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． (1)求乙每局取胜的概率； (2)求第i次与软件对决的大师是甲的概率； (3)现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 8．国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 离散型随机变量及其分布、正态分布 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 6. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 7. 超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 8. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 2．设随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，且 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故选：A. 3．随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 4．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正态分布密度曲线中，的意义进行判断即可. 【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称， 在处取得最大值的连续钟形曲线，所以； 越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以. 故选：A. 5．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 6．（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 【答案】ABC 【分析】A选项由超几何分布的定义可判断；B选项，利用公式可得；C选项，利用公式可得；D选项，利用二项分布和组合数的对称性可得. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：因为，所以， 根据组合数的对称性可知，，故D错误. 故选：ABC 7．（多选）已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由分布列的性质求出的值，可判断A选项；由期望公式可判断B选项；由方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 则， 又，所以． 故选：AD. 8．（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合数学期望和方差的公式及其性质计算判断各选项即可. 【详解】由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而， 故B错误； 则，故D正确. 故选：AD. 9．已知随机变量，若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 10．现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为 . 【答案】 【分析】根据题意，写出服从的分布列，根据分布列求其数学期望即可. 【详解】由已知的所有可能取值为：0,1,2； 则 所以． 故答案为：. 11．某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球． (1)求恰有2次命中的概率； (2)设命中的次数为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项分布可求恰有2次命中的概率； （2）利用二项分布求出分布列后可求. 【详解】（1）设为：“投了3次球，恰有2次命中”，故. （2）由题设可得， 故，， ，， 故. 12．一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）首先从，，，这四组编号中选出一组，再从其余人中选个人，利用组合数公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 1．若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 2．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 3．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望值和方差公式以及方差性质列方程组即可求得，可判断B正确. 【详解】根据题意由可得； 由可得，即； 所以， 解得，即A、C、D均错误； 易知，即B正确. 故选：B 4．小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的方差公式以及方差性质计算可得结果. 【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量， 易知服从二项分布，即， 因此可得， 又，所以可得. 故选：D 5．已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 所以，故，， 若最大，则， 故，即， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为7. 故选：B 6．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义判断A，根据超几何分布列求出概率和期望即可判断BC，根据，且，利用期望性质求解判断D. 【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数， 从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个， 服从超几何分布概念，故A正确， BC选项，的取值可能为：， 所以，又， ，， ， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故B错误，C正确， D选项，由题意，且，故， 则，D正确. 故选：ACD 7．（多选）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由分布列性质求得，再由求概率判断A、B，均值和方差的求法求判断C，由期望和方差的性质求判断D. 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 8．（多选）已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】由期望的性质求判断A；由已知及正态分布的对称性有判断B；利用正态分布的对称性得，即可求判断C；令判断D. 【详解】由题设，则，A对； 由及正态分布的对称性，有，可得，B错； 由，结合对称性，则， 所以，C对； 当，有，D错. 故选：AC 9．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则 . 【答案】/ 【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算. 【详解】由题可知，，即，解得， 则X的可能取值为， ，， ，， 所以. 故答案为：. 10．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为： 11．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 12．重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 【答案】(1) (2)（百元） (3)答案见解析；理由见解析 【分析】（1）由独立事件的概率公式可求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）根据二项分布的数学期望可求三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）设方案一的人工费开销为，方案二的人工费开销为，由独立事件的概率公式可求它们的分布列，从而可得它们的数学期望，作差后可比较它们的大小. 【详解】（1）设事件为“经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格”， 则. （2）由题设可得经过两道工序，瓷盘合格的概率为， 瓷盘合格的概率为，瓷盘合格的概率为， 设三件瓷盘合格的个数为，则，故， 而， 所以（百元）. （3）设方案一的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， 设方案二的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， ， 当时，，故方案二的人工费开销的数学期望较小； 当时，，故方案一、方案二的人工费开销的数学期望相同； 当时，，故方案一的人工费开销的数学期望较小. 1．根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 【答案】B 【分析】根据给定的信息，求出采用每种方案时的期望，再比较大小即得. 【详解】设采用方案①，②，③的损失分别为， 若采用方案①，则； 若采用方案②，则， ； 若采用方案③，， ，而， 所以从农场主损失期望的角度出发，农场主采用方案②可以让损失降到最小. 故选：B 2．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩，其中，在同一直角坐标系中，密度曲线的两个交点的横坐标为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象结合正态密度曲线的性质逐一分析四个选项即可得解. 【详解】如图所示，因为， 所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以，所以C错误； 因为，所以D错误. 故选：B. 3．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 4．（多选）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断出，，服从二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式分别求出期望和方差，最后逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，， 事件：“乙射击一次，命中目标”，， 则，， 由二项分布的期望公式得，， 则，， 即，故A正确， 对于B，由二项分布的方差公式得，， 则，， 则不一定相等，故B错误， 对于C，由题意得假定甲、乙互不影响， 则，相互独立，由独立事件概率公式得， 则，由二项分布的期望公式得， 由二项分布的方差公式得， 由已知得，得到，故C正确， 对于D，由已知得， ，则，故D错误. 故选：AC 5．（多选）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（    ） A． B． C． D．， 【答案】AC 【分析】根据已知及正态分布的性质依次判断各项的正误. 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 6．为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，求证明： 【答案】(1)处取得最大值，. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【详解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. （3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 7．甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． (1)求乙每局取胜的概率； (2)求第i次与软件对决的大师是甲的概率； (3)现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) (3)①答案见解析；② 【分析】（1）根据题意由全概率公式计算即可； （2）由题意可得，化简整理根据等比数列通项公式计算求解即可； （3）①根据题意求出甲获胜的概率，列出的可能取值，计算对于概率即可得到分步列，②根据题意列式计算即可. 【详解】（1）设事件“第2局与软件对决的大师是乙”， 则，解得； （2）由题意， 整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以； （3）由（2）可知，当充分大时，的极限值为，所以甲每局获胜的概率为，则乙每局获胜的概率为； ①的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 ②事件“甲赢得比赛”，则， 解得，即甲赢得比赛的概率是. 8．国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望； （2）由可知，，即可作出判断； （3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解. 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$