暑假培优练综合测评卷（考试范围：苏教版2019选择性必修二全册）（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 2025年高二数学暑假培优练综合测评卷 （考试范围：苏教版2019选修全册） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 3．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 5．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 6．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 7．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 10．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 11．已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 13．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 14．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 16．人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 17．如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示． (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？ 若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 18．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 19．已知函数（，为自然对数的底数），. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 2025年高二数学暑假培优练综合测评卷 （考试范围：苏教版2019选修全册） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义即可求解. 【详解】已知空间向量，， 向量在向量上的投影向量为： 故选：D 2．将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【答案】A 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 3．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 4．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 5．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 6．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 【答案】D 【分析】首先完善列联表，并计算，并根据选项和和比较大小，判断选项. 【详解】完善列联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则 ， 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 因为，，所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 故选：D 7．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC，再分类讨论时和时，结合等比数列求和公式即可判断． 【详解】令，，，，，A错； ，B错； ，C错； 一般情况，时，，，， ，此时； 时，， 左边， 右边左边，D对； 故选：D． 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 10．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】利用点在短轴顶点处时最大可确定A;利用等面积法可求的内切圆半径确定B；轴时，则代入可得，进而可求确定C； 由的面积为得到，接着即可判断的形状. 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 11．已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 【答案】AB 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、 、、， 对于A选项，当时，， 则，， 所以，，故，A正确； 对于B选项，当时，则， 所以，， 则，则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，，即， 因为平面，所以直线平面，B正确； 对于C选项，，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 则点到平面的距离为，C错误； 对于D选项，若，其中， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，， 当时， 当时，则， ， 综上，，与矛盾，D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆心坐标为，根据两点间距离公式求半径最小，即可得结果. 【详解】设圆心坐标为， 则圆的半径， 当时，，圆心坐标为． 故所求圆的方程为． 故答案为：. 13．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 14．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式可得，再计算得到； （2）利用（1）的结论及错位相减法求前n项和. 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. （2）由（1）知，所以， 所以，① ，② 由得，. 所以. 16．人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 17．如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示． (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？ 若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)5或 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）解法一利用线面角的定义，作出线面角的平面角，由余弦定理即可求出结果； 解法二利用空间向量，求出平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果. 【详解】（1）在图1连接交于点，在图2中，易知、都是等边三角形，易得，， 又，，平面，可得平面； 又直线平面，所以． （2）解法一：假设存在点，符合题意．设，则， 则在中，由，，由余弦定理得， 由（1）得直线平面，又，直线平面，平面， 平面平面 作，垂足为，则平面， 在，由，，所以 如图3，取中点，连接，由，，得四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面， 则直线与平面所成角为，且． 由已知，即，由，得 在中，设，由余弦定理得 即，解得或 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或 解法二（向量法）设，则，则在中，由，， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图3，以的中点为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，所以， 因此，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则；即向量， 设存在点，，满足题意，则， 所以， 设直线与平面所成角为，则，所以 所以，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或 18．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过点，离心率为，列式解得的值即得； （2）由题意设，，根据及直线与交于点F，知C，D分别是的中点,得，将代入椭圆的方程，消去即可得F点的轨迹方程 （3）分直线的斜率存在与不存在两种情况计算，斜率存在时利用联立方程求出，再求得点到直线的距离，结合即可求得为定值 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. （3）若直线的斜率不存在，则，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. 19．已知函数（，为自然对数的底数），. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成有两个相异实根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间和最大值，进而得的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件将问题转化成对一切恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）易知定义域为，又， 当时，在恒成立，此时在单调递增， 当时，令，则， 又时，；时， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在区间单调递增， 时，在区间单调递增，在区间单调递减. （2）因为有两个零点关于的方程有两个相异实根， 由，知，由，得到，即， 有两个零点有两个相异实根， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，又时，，时，， 则的图象如图， 由图知，当有两个零点时，实数的取值范围为. （3）当时，， 所以原命题等价于对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令，则， 又，令，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以，使， 即①， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由①知， ， 令，则恒成立， 所以函数在单调递增， 所以，即，则， 所以，故实数的取值范围为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$