暑假作业07 复数（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 复数 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数； ， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：A. 2．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：，故的虚部为1． 故选：C 3．已知复数，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由题意， 则. 故选：D. 4．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 5．已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点在，位于第二象限. 故选：B 6．（多选）已知复数，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 7．（多选）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为i B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 【答案】CD 【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B. 【详解】，对应点为在第二象限，故C对； 又，虚部为，故A错， ，故B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：CD 8．（多选）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】BCD 【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD. 【详解】A：设，由， 得，故A正确； B：当时，满足，但，故B错误； C：当时，满足， 但，故C错误； D：当时，满足，但，故D错误． 故选：BCD． 9．在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 10．设复数，则z的共轭复数 ；z的模 ． 【答案】 2 【分析】根据共轭复数的概念及复数模的定义求解. 【详解】由可知，， ， 故答案为：；2 11．已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的乘法运算结合复数的定义，列式计算求得即可得； （2）利用复数的加法运算及复数的几何意义，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以 由是实数，得， ∴， （2）由（1）知， ∴， ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得 实数m的取值范围是. 12．（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值； （2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，解得； （2）因为，， 所以，又是实数， ，即，则， 所以； （3）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 1．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 2．已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 3．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点距离的最大值，数形结合即可求解． 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 4．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 6．（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 7．（多选）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 8．（多选）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，则 ，，所以 为真； 对于B，若，则 和 互为共轭复数，所以 为真； 对于C，设 ，， 若 ，则 ，即 ， 所以 ，所以 为真； 对于D，若，，则， 而 ，，所以 为假． 故选：ABC 9．已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替. 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 10．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 故答案为：． 11．已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值. （2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答. 【详解】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 12．已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． (1)当时，设，求的值； (2)若点与点为同一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出和的值，再代入的表达式算出，最后根据模的算法求. （2）从已知方程组消去得到关于和的式子.令，用表示，进而得到关于的二次函数.确定的取值范围，根据二次函数性质求出的取值范围. 【详解】（1）当时，. 可得. ，其中，可得： . 则. 可得. （2）因为点与点为同一点，所以. 化简可得，即. 将代入，可得. 令，根据辅助角公式可得，所以. 将两边平方可得，即. 则. 将看作关于的二次函数，其对称轴为，开口向上. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 1．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 2．已知复数，（，且，），且. (1)求的值； (2)证明：； (3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据复数的模公式直接化简计算即可； （2）结合（1）及复数模的公式直接可得证； （3）根据复数在复平面内点的坐标结合向量数量积公式直接计算. 【详解】（1）由已知，则，， 所以， 又，则， 所以， 化简可得， 又，所以，即； （2）由（1）得， 所以， 又， 所以； （3）设在复平面上对应的向量为， 在复平面上对应的向量为， 所以， 故，解得. 3．将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【详解】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 复数 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数； ， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C．1 D． 3．已知复数，，则（   ） A． B．3 C． D．2 4．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 5．已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（多选）已知复数，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 7．（多选）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为i B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 8．（多选）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 9．在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 10．设复数，则z的共轭复数 ；z的模 ． 11．已知复数，且是实数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 12．（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 1．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 3．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 4．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 7．（多选）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 8．（多选）设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 9．已知复数z满足，则的最小值为 ． 10．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 11．已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 12．已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． (1)当时，设，求的值； (2)若点与点为同一点，求的取值范围． 1．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 2．已知复数，（，且，），且. (1)求的值； (2)证明：； (3)设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 3．将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$