期末专题05 复数（12类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题））-【源课堂会一题通一类系列】2024-2025学年高一数学下学期期末重点复习（人教A版2019）

期末专题05 复数 （12类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 12类真题精讲 1 真题精讲01 虚数单位i及其周期性 3 真题精讲02 求复数的实部与虚部 4 真题精讲03 复数相等求参数值 6 真题精讲04 复数的分类 7 真题精讲05 求复数的模长 9 真题精讲06 共轭复数 10 真题精讲07 复数的几何意义之坐标表示和象限关系 11 真题精讲08 复数范围内方程的根 13 真题精讲09 复数的三角表示 14 真题精讲10 与复数模相关的轨迹（图形）问题及最值问题（拔高） 16 真题精讲11 复数综合（多选题）（拔高） 18 真题精讲12 复数综合（解答题） 22 真题四层精练 25 真题第一层精练：夯实基础（12题） 25 真题第二层精练：能力提升（12题） 30 真题第三层精练：突破压轴（8题） 38 真题第四层精练：百强名校真题特训（17题） 54 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数； ， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 真题精讲01 虚数单位i及其周期性 【典例精讲1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘方法则计算出，，，，，发现数列的周期性，利用周期性即可求得所求式的值. 【详解】由，，，，， 故是一个周期数列，最小正周期为4， 且， 则 . 故选：B. 【通关1-1】若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以． 故选：C． 【通关1-2】已知，则（    ） A．i B． C． D． 【答案】A 【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得，代入所求式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 【通关1-3】已知为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘方及除法法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 真题精讲02 求复数的实部与虚部 【典例精讲2】已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 【通关2-1】若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出复数,再根据虚部的概念进行选择. 【详解】由. 所以复数的虚部为：2. 故选：D 【通关2-2】复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 【通关2-3】在复平面内，i为虚数单位，若复数，则z的实部为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对复数化简后可求出其实部 【详解】因为， 所以复数z的实部为3. 故选：D 真题精讲03 复数相等求参数值 【典例精讲3】已知a，，，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：D 【通关3-1】复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，设，表示出，再根据复数相等的充要条件得到方程，解得、，即可得解. 【详解】因为， 设，则， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B 【通关3-2】已知，（为虚数单位），则等于（    ） A．－1 B．1 C．－4 D．3 【答案】C 【分析】根据复数相等的条件列式即可求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：C 【通关3-3】已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 真题精讲04 复数的分类 【典例精讲4】若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C 【通关4-1】若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B 【通关4-2】“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】D 【分析】依题意得，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D 【通关4-3】已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，又，求解即可. 【详解】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 真题精讲05 求复数的模长 【典例精讲5】设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数的乘除运算，化简复数，由复数模的公式求. 【详解】，所以. 故选：B. 【通关5-1】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算后结合模长定义即可得. 【详解】，故. 故选：B. 【通关5-2】若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，结合条件求出，再求模即可． 【详解】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 【通关5-3】已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由复数概念和复数的模即可求解. 【详解】为纯虚数，设，， ，解得或，即或. 故答案为：（答案不唯一） 真题精讲06 共轭复数 【典例精讲6】已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念，求结果. 【详解】由题意可得，，所以复数的共轭复数为． 故答案为：. 【通关6-1】已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 【答案】/ 【分析】利用共轭复数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【通关6-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 【通关6-3】设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的四则运算即可求解. 【详解】由得，故 故． 故选：A 真题精讲07 复数的几何意义之坐标表示和象限关系 【典例精讲7】已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法求出复数z，可得，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由，得，则， 故复数在复平面上对应的点位于第一象限， 故选：A 【通关7-1】已知复数z在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意写出复数的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得. 【详解】依题意，，则. 故选：A. 【通关7-2】若，则在复平面对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法运算以及共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以在复平面对应点的坐标为. 故选：B. 【通关7-3】已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 真题精讲08 复数范围内方程的根 【典例精讲8】已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再在复数范围内解方程即可. 【详解】由是方程的一个虚根，得该方程的另一个虚根为， 则，，解得， 于是方程为：，即，解得， 所以方程的根为. 故答案为： 【通关8-1】已知方程的一个根为，则 . 【答案】3 【分析】方法一：根据题意得到方程的另一个根为，由韦达定理得到答案； 方法二：将代入方程，求出答案. 【详解】方法一：因为的一个根为，则方程的另一个根为， 结合韦达定理可得. 方法二：将代入方程得，解得. 故答案为：3 【通关8-2】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 【通关8-3】已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数根的性质进行配凑，结合复数乘法即可求解. 【详解】 . 故选：A. 真题精讲09 复数的三角表示 【典例精讲9】计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 【通关9-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【通关9-2】在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【通关9-3】欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由复数模的计算公式结合三角函数性质即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 真题精讲10 与复数模相关的轨迹（图形）问题及最值问题（拔高） 【典例精讲10】已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 【通关10-1】已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 【通关10-2】已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 【通关10-3】已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 真题精讲11 复数综合（多选题）（拔高） 【典例精讲11】设复数 ，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（   ） A． B． C．是方程 一个根 D．复数满足 ，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用复数四则运算几何共轭复数计算可得；对于B，利用复数模的公式计算可得；对于C，在复数域内求方程的根可判断；对于D，利用复数模的公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离加上半径. 【详解】对于A，由，可得，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由，可得，解得：，故是方程 一个根，则C正确； 对于D，设，所以，即，其中点轨迹为圆心为，半径为1的圆， 而，表示圆上的点得到点的距离，因为圆心到的距离为，所以 的最大值为，故D正确； 故选：ACD 【通关11-1】已知复数，，则下列说法中正确的是（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得： ，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，设，，故， 则， 又，故，故D正确. 故选：AD. 【通关11-2】已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，，根据模公式，共轭复数概念，复数除法计算即可. 【详解】设，则，故A正确； ， ，，则.故B正确； ，，，，故C错误； 由于，且由B的证明知道，两个复数的模性质，，则，，则.故D正确. 故选：BD. 【通关11-3】已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】对于A：根据共轭复数结合复数乘法运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：解法一：根据复数的乘法运算结合模长公式分析判断；解法二：根据复数的三角形式分析判断. 【详解】设复数， 对于选项A：若，则，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，此时满足，但，故C错误； 对于选项D：解法一： ； 解法二：设， 则， 可得 ， 则，即，故D正确； 故选：AD． 真题精讲12 复数综合（解答题） 【典例精讲12】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【通关12-1】已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 【通关12-2】已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 【通关12-3】在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 真题第一层精练：夯实基础 1．若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 2．若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据虚数单位的性质求出z，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 3．已如复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是. 故选：A 4．若复数，共轭复数为，则（    ） A．－1 B．－i C．1 D．i 【答案】C 【分析】先求出其共轭复数为，然后由复数的乘法运算求解即可. 【详解】复数，则其共轭复数为， 所以. 故答案为：C 5．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【详解】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 6．（多选）若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z在复平面内对应的点位于第四象限 B．（是z的共轭复数） C． D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】先化简得出z，再逐一判断选项即可． 【详解】， 在复平面内所z对应的点坐标为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 对于D，，则表示复数的点P的集合是以为圆心，2为半径的圆， 而，即为点到点之间的距离， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 7．（多选）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由复数的几何意义转化为向量的坐标运算 【详解】，， A项，若，则，故A错误； B项，由A知，，则，故B正确； C项，若，则，故C错误； D项，由C知，，则， ， 则，， 故，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用复数概念可判断A错误，根据模长公式可知B正确，由纯虚数概念解方程可得C正确，由复数乘方计算可得D正确. 【详解】对于A，根据虚数概念可得复数无法比较大小，即A错误； 对于B，由，可得，即B正确； 对于C，若复数为纯虚数，可知， 解得，可知C正确； 对于D，易知，即D正确. 故选：BCD 9．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 10．已知是虚数单位，则 . 【答案】 【分析】利用复数的四则运算化简原复数，再求模即可. 【详解】由题意得， . 故答案为： 11．已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2)、 【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先求出，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 12．已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 真题第二层精练：能力提升 1．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的乘方运算即得结果. 【详解】由已知， 所以. 故选：D. 2．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果. 【详解】若，互为共轭复数，设，则， 则，若，则，所以“，互为共轭复数”推不出“，的差为纯虚数， 不妨取，，则，显然满足，的差为纯虚数， 但，不互为共轭复数，所以“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 3．已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】 ∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得， ∴， 如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和， 则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：C. 4．在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，设，则，根据得到，即在以为圆心，半径的圆上，求出，由，求出的范围. 【详解】因为， 设，则，又，即， 所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上， 又复数对应的点为，所以，所以， 所以，表示圆上的点与点的距离， 又， 所以，即，结合选项可知只有A不可能.    故选：A 5．已知为复数，下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C. 【详解】设复数， 对于A，，A正确； 对于B，，， ，，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，即， 则，即， 因此或，即或，D正确. 故选：C 6．（多选）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，若，设，， 故， 则 ， 又，故，故D正确. 故选：AD. 7．（多选）复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（    ） A．复数z的虚部为2 B．复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C．若，则的最大值为 D．复数z是方程的一个根 【答案】BC 【分析】对于A：由题意可知：，根据复数的运算可得，进而分析判断；对于B：根据共轭复数以及复数的几何意义分析判断；对于C：根据复数模长的几何意义分析判断；对于D：直接解实数系方程即可. 【详解】对于选项A：由题意可知：，则， 可得，即复数的虚部为4，故A错误； 对于选项B：复数z的共轭复数为，对应的点为，在第四象限，故B正确； 对于选项C：设复数在复平面内对于的点分别为， 则，则， 且， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以复数z不是方程的一个根，故D错误； 故选：BC. 8．（多选）已知是虚数单位，则（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由复数求模的方法，计算出，即可判断A；设，则，再由，可计算出，即可判断B；由，即，可得，即可判断C；由，可计算出，即可判断D. 【详解】由，故A错误； 设， 则，故B正确； 若复数，即，则，则，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：BCD. 9．已知复数满足:，则 . 【答案】3 【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：3. 10．已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 11．已知复数是一元二次方程（，）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是一元二次方程的两根，并根据韦达定理即可求解； （2）由（1）并结合为纯虚数，得，再代入复数中求模即可. 【详解】（1）因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得. （2）因为复数为纯虚数， 所以，且，即. 所以复数， 故. 12．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)， (2)506个 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【详解】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506个． 真题第三层精练：突破压轴 1．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解. 【详解】若是方程的两个虚数根，所以， 且，则， ，解得，（满足）， 若是方程的两个实数根，所以， 且，则， 当时，，， 当时，，， 由可得， 令，由于，所以， 故函数在单调递减，且， 故在无实数根， 综上可得，零点个数为3， 故选：C 2．已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】把条件代表的几何意义表示出来，然后把问题转化成点到直线的距离之和，通过梯形转化成点D到直线的距离，再转化成点D到过圆心且平行于的直线的距离，最后通过即可计算出答案. 【详解】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．   ，，，记与夹角为 ，，所以,， 到直线的距离， 到直线的距离， 即求的最大值． 设点D为的三等分点，且， 则D到直线的距离， ，即求的最大值， 设D到直线距离为 ，即求最大值． 由，，可知， 点，在圆上运动，， 故当时，取得最大值，取得最大值， 取得最大值， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到条件和问题的几何意义，通过图形的转化，计算出答案. 3．已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可. 【详解】由可得， 又由可得，复数在复平面上对应的点在单位圆上， 设单位圆上动点，，，则表示长度，表示长度， 即，又因为，所以， 令，可设， ，令，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 由，，， 所以当时，在有两解，即在轴上方一定存在两个复数对应的点满足条件， 再利用圆关于轴对称，所以在轴下方也一定存在两个复数对应的点满足条件， 综上此时有四个不同的复数， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为，再利用消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得的范围. 4．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 5．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 【答案】(1) (2)①；②168 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）①利用给定定义计算求解即可；②利用给定定义结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由， 知，故， 对于复数， 则，且，故可取， 所以的三角形式为； （2）①的近似值为 ； ②解法一： ， 依题可知， 所以， 即，又因为， 所以，即， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 解法二： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168； 解法三： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 【点睛】关键点点睛：本题考查复数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用定义结合三角恒等变换，得到所要求的集合内的元素个数即可． 6．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 7．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 8．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 真题第四层精练：百强名校真题特训 一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】由 得， 所以的虚部为. 故选：B. 2．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【来源】安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一下学期期末素养测试数学试卷 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到答案. 【详解】， 其对应的点为，在第三象限. 故选：C. 4．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用复数的乘除运算即可求解. 【详解】， 故选：. 5．若复数满足，则在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】福建省福州第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】先计算得到，然后根据定义判断即可. 【详解】由已知条件可得. 故在复平面中对应的点是，在第四象限. 故选：D. 6．若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】首先根据除法运算求，再根据共轭复数的特征求. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：C 7．若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 【答案】C 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】设，根据模长的计算公式，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 故选：C 二、多选题 8．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可； 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，.故B正确： 对于C，，而，不等．故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： 故D正确. 故选：ABD. 9．已知复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D． 【答案】ABC 【来源】浙江省温州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B选项，应用特殊值法判断D选项，结合模长公式判断C选项. 【详解】设,所以,D选项错误； ,C选项正确； 设,因为所以，所以,A选项正确； ,B选项正确. 故选：ABC. 10．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（    ） A．复数z的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】AD 【来源】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由题意，，再依次判断． 【详解】解：由题意，，则虚部为，，则A正确，B错误； 在复平面内对应的点在第二象限，C错误； ，，，D正确， 故选：AD． 11．设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上 【答案】AD 【来源】安徽省十校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 所以， 所以，故B错误； 对于C，若，则，而，故C错误； 对于D，因为，设对应的点为， 若，则在复平面内对应点到和的距离相等， 即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上， 所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确. 故选：AD． 12．若为复数，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【来源】福建省福州第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设，对于A：根据共轭复数结合复数加法运算分析判断；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的模长公式结合复数除法运算分析判断. 【详解】设， 对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：例如，则， 可得，，即，故C错误； 对于选项D：若，则，即，可知， 可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 13．已知复数表示纯虚数，则 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据和复数的分类要求得出参数值； 【详解】因为复数表示纯虚数， 所以解得， 故答案为：. 14．复数，则 . 【答案】/ 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解. 【详解】由复数，则，所以. 故答案为：. 15．已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】设，代入中化简可得，则点在以为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. 【详解】设，因为，， 所以， 所以， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 所以的最小值为. 故答案为：2 四、解答题 16．设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【答案】(1)1； (2)证明见解析. (3) 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【详解】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 17．复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍 (1)求; (2)若复数使得为纯虚数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】福建省福州第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用已知条件，设出复数，通过模长公式及所对点所在位置求出即可复数； （2）把（1）中所求复数代入，利用复数代数形式的乘除运算化简可得且，进而结合模长公式运算求解. 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，且的虚部是实部的2倍， 设， 又因为，则，解得或（舍去）， 所以. （2）设复数， 则 因为为纯虚数，则， 当时，解得， 即等价于且， 可得， 注意到，则， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 复数 （12类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 12类真题精讲 1 真题精讲01 虚数单位i及其周期性 3 真题精讲02 求复数的实部与虚部 3 真题精讲03 复数相等求参数值 4 真题精讲04 复数的分类 4 真题精讲05 求复数的模长 5 真题精讲06 共轭复数 6 真题精讲07 复数的几何意义之坐标表示和象限关系 6 真题精讲08 复数范围内方程的根 7 真题精讲09 复数的三角表示 7 真题精讲10 与复数模相关的轨迹（图形）问题及最值问题（拔高） 8 真题精讲11 复数综合（多选题）（拔高） 9 真题精讲12 复数综合（解答题） 9 真题四层精练 10 真题第一层精练：夯实基础（12题） 10 真题第二层精练：能力提升（12题） 12 真题第三层精练：突破压轴（8题） 13 真题第四层精练：百强名校真题特训（17题） 16 1. 数集的分类 其中正整数的符号为：或 2. 虚数单位 ，规定 3. 虚数单位的周期 4. 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 5. 复数的分类 6. 复数相等 若 7. 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数； ， 推广： 结论： 8. 复数的几何意义 复数复平面内的点 9. 复数的模 ， 则 ； 10. 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 真题精讲01 虚数单位i及其周期性 【典例精讲1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【通关1-1】若复数，则（    ） A． B． C． D． 【通关1-2】已知，则（    ） A．i B． C． D． 【通关1-3】已知为虚数单位，则 . 真题精讲02 求复数的实部与虚部 【典例精讲2】已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【通关2-1】若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【通关2-2】复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【通关2-3】在复平面内，i为虚数单位，若复数，则z的实部为（    ） A． B．1 C．2 D．3 真题精讲03 复数相等求参数值 【典例精讲3】已知a，，，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【通关3-1】复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【通关3-2】已知，（为虚数单位），则等于（    ） A．－1 B．1 C．－4 D．3 【通关3-3】已知a，b均为实数，，则 . 真题精讲04 复数的分类 【典例精讲4】若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【通关4-1】若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【通关4-2】“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【通关4-3】已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 真题精讲05 求复数的模长 【典例精讲5】设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【通关5-1】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【通关5-2】若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【通关5-3】已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 真题精讲06 共轭复数 【典例精讲6】已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 【通关6-1】已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 【通关6-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【通关6-3】设复数，则（    ） A． B． C． D． 真题精讲07 复数的几何意义之坐标表示和象限关系 【典例精讲7】已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【通关7-1】已知复数z在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【通关7-2】若，则在复平面对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【通关7-3】已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 真题精讲08 复数范围内方程的根 【典例精讲8】已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为 . 【通关8-1】已知方程的一个根为，则 . 【通关8-2】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【通关8-3】已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 真题精讲09 复数的三角表示 【典例精讲9】计算： ． 【通关9-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【通关9-2】在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【通关9-3】欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 真题精讲10 与复数模相关的轨迹（图形）问题及最值问题（拔高） 【典例精讲10】已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【通关10-1】已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【通关10-2】已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【通关10-3】已知复数满足，则的取值范围是 ． 真题精讲11 复数综合（多选题）（拔高） 【典例精讲11】设复数 ，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（   ） A． B． C．是方程 一个根 D．复数满足 ，则的最大值为 【通关11-1】已知复数，，则下列说法中正确的是（    ）． A． B．若，则 C．若，则 D． 【通关11-2】已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【通关11-3】已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 真题精讲12 复数综合（解答题） 【典例精讲12】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【通关12-1】已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【通关12-2】已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【通关12-3】在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 真题第一层精练：夯实基础 1．若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 2．若，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．已如复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 4．若复数，共轭复数为，则（    ） A．－1 B．－i C．1 D．i 5．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（多选）若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z在复平面内对应的点位于第四象限 B．（是z的共轭复数） C． D．若，则的最大值为 7．（多选）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 9．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 10．已知是虚数单位，则 . 11．已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 12．已知复数. (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 真题第二层精练：能力提升 1．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 2．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知为复数，下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 6．（多选）已知复数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（    ） A．复数z的虚部为2 B．复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C．若，则的最大值为 D．复数z是方程的一个根 8．（多选）已知是虚数单位，则（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则 D．若，则 9．已知复数满足:，则 . 10．已知复数满足，则的取值范围是 . 11．已知复数是一元二次方程（，）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 12．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 真题第三层精练：突破压轴 1．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ． 3．已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是 . 4．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 5．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 6．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 7．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 8．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 真题第四层精练：百强名校真题特训 一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．，则（    ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若，则复数（    ） A． B． C． D． 7．若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 二、多选题 8．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 9．已知复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D． 10．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（    ） A．复数z的虚部为 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 11．设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上 12．若为复数，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．已知复数表示纯虚数，则 ． 14．复数，则 . 15．已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 四、解答题 16．设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 17．复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍 (1)求; (2)若复数使得为纯虚数，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$