期末专题04 解三角形40题解答题重点专练（真题四层精练（含百强名校真题））-【源课堂会一题通一类系列】2024-2025学年高一数学下学期期末重点复习（人教A版2019）

期末专题04 解三角形解答题重点专练 （真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 真题四层精练 1 真题第一层精练：夯实基础（10题） 1 真题第二层精练：能力提升（10题） 9 真题第三层精练：突破压轴（10题） 21 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 42 真题第一层精练：夯实基础（10题） 1．在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系以及正弦定理即可求解； （2）由余弦定理求得，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，且角是三角形内的角，所以可得， 由正弦定理可得：. （2）由余弦定理：，即，即； 可得或-3，因为是的一边， 所以，由三角形面积公式可得. 2．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若是的中点，且，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【详解】（1）因为， 又正弦定理可得， 则， 即，所以， 又，所以，所以，又，所以； （2）在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 在中，由余弦定理可得， 即，所以. 3．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求B； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案； （2）利用正弦定理公式结合已知条件求出，再由余弦定理求出答案. 【详解】（1）因为余弦定理可得， 所以， 因为， 所以. （2）因为正弦定理得， 所以 又，所以，即， 由余弦定理得，即， 因为，所以. 4．已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和 ，解得. （2）利用余弦定理求出边上的中线即可． 【详解】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以， 所以. （2）边的中线长为, 证明：设边BC上的中线记为ma， 根据余弦定理得， 所以 ， 所以. 5．在中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若，的面积是，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，由面积公式求出，由余弦定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆的半径）， 则，，， 因为，所以， 所以，即， 所以. （2）因为，，所以， 又，所以， 由余弦定理，即，解得， 所以， 所以的周长. 6．在中，三个内角、、满足：、. (1)求； (2)若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式求出，再由和差角的余弦公式结合，求出、、，即可得解； （2）由（1）可设，则，利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，， ∵ ， 又，∴，                                                    ∵， ∴，                      又，则， 当时，， 当时，（舍去）， ∴且，又，则，， 所以， ∴，                                     ∴； （2）由（1）可设，则，                                              ∴，                                         ∴. 7．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对原式使用正弦定理进行边换角，然后结合三角恒等变换进行计算求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组求解. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 而， 结合两式可得，， 则，又，则， 故，即， 又，则， 上式化简为，则，故， （2）根据三角形面积公式，可得， 由余弦定理，，即， 于是，故， 于是的周长为 8．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，求出； （2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； （2），， 由余弦定理得， 故，解得， 故. 9．设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得结果； （2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 即，所以. （2）因为，则，当且仅当时等号成立， 即的最大值为4，所以面积的最大值为. 真题第二层精练：能力提升（10题） 1．如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. (1)求的面积； (2)若，，求CE的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理求出角，再利用两角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果， （2）方法1：由题意可得，代值计算即可，方法2：在中利用余弦定理求出，则可求得，再在利用正弦定理求出，从而可求出，然后在中利用余弦定理可求得. 【详解】（1）中，， 因为，，所以， 所以， 因为 ， 所以； （2）方法1：因为, 所以, 所以 ， 则. 方法2：在中，由余弦定理得 ， 因为为线段上靠近的三等分点， 所以， 因为， 所以， 因为为锐角， 所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 2．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理直接求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值． 【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得， 因为B为钝角，所以． （2）解：由余弦定理得， 又由，，则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为4， 所以周长的最大值为． 3．在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）在中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可求出，由可求出； （2）中应用余弦定理求即可. 【详解】（1）在中由正弦定理得：， 因为，， 故， 又，则. 所以 （2）由，， 故， 因为， 所以在中由余弦定理得：， 故. 4．如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 5．如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．    (1)若，求PM的长； (2)求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，利用平方关系求出，再由两角差的正弦得到，最后由正弦定理可得答案； （2）设，由余弦定理得，再利用基本不等式得可得答案． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 又，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以； （2）设， 则在中，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号， 即的面积最大值为． 6．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. (1)求角； (2)设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换结合正弦定理即可逐一化简求解； （2）分解向量得到，平方得条件等式，结合基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）若选①，则， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即； 若选②，则， 因为，所以， 因为，所以， 而， 所以，即； 若选③，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以； 综上所述，无论选择①，②还是③，都有； （2）    由题意， 所以，即， 所以，即，等号成立当且仅当， 从而面积，等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．    (1)求角C的大小； (2)设D是上一点，且，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）方法一：在、中，分别利用余弦定理得到， 方法二：分解向量得，平方也可得，再结合以及正弦定理可求出，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）∵，由正弦定理知：， ∴， ∵，，∴，∵，． （2）由题意得，，，， 方法一：在中，， 在中，， ∵，∴，化简得．    在中，， ∴，整理得． 又∵，则，∴，则， ∴，即为的面积． 方法二：∵，∴， ， ∵且得：， 又∵，则，∴，则， ∴． 8．已知 中，角所对的边分别为，，，，，为 边上的点. (1)若为的中点，且，求线段的长； (2)若平分，，求线段和的长. （请根据题意，在答题卡上分别画出大致图象） 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）由已知条件结合正弦定理化简可得：，由两边平放化简可得答案； （2）利用余弦定理化简可得：或，用等面积法即可求出的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 因为在，，， 所以，即， 因为在，，所以， 因为为的中点，    所以， 即， 所以，即线段的长为 （2）因为，，， 所以，则， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，解得：或， ①当时， ，则，    若平分，则， 所以， 解得：， ②当时，， 因为，所以 因为平分，所以，且，    所以，故 所以， 即，解得： 综上，当时，， 当时， 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）利用正弦定理运算求解即可； （3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径）， 所以. （3）由题意可知：，且，即， 又因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 所以的面积的最大值为. 10．记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量中线定理建立方程求解参数即可. （2）先用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即可. （3）利用折叠性质结合正弦定理将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解即可. 【详解】（1） 化简得：，， （2）在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) （3）连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 真题第三层精练：突破压轴（10题） 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. (1)证明：为等腰三角形； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）设，，在中利用正弦定理表示出，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式化为的三角函数，结合正弦函数的性质计算可得； （3）设，即可求出，，由余弦定理得到，再由三角形相似得到，，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又，所以，所以，即，则， 所以为等腰三角形 （2）依题意可得是边长为的等边三角形， 在中，设，， 由正弦定理，所以， 在中， 由余弦定理 ， 因为，所以，所以当，即时， 此时，所以. （3）设，则，为锐角， 所以，， 在中，由余弦定理及可得 ， 所以， 由，且， 所以，又， 所以， 所以， 所以，， 而 ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是转化为的三角函数，第三问关键是利用整体思想转化为、的关系式. 2．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得； （2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解； （3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）因为， 可得， 因为为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得. 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理化简，即可求解角； （2）①由余弦定理，结合基本不等式求的最大值，再代入三角形面积公式，即可求解； ②首先转化向量，再利用正弦定理求的最大值，即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理角化边可知，， 即, ， 即，即， 即，， 所以，即，， 则； （2）①因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. ②设的中点为. . 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键是利用外接圆的性质，转化向量表示数量积. 4．如图 1 所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.    (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)如图 2，过点的直线与边，分别交于点，，设 ，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）由题意可得，根据共线定理得到，根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，且、不共线，所以，； （2）因为、、三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，即， 所以， 又因为， 即，又、不共线， 所以，解得， 所以． （3）根据题意． 同理可得：， 由（2）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 化简得， 根据题意，， ， 所以 ， 又，则，所以， 所以， 易知，当时，有最大值，又因为， 所以. 5．在锐角中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围； (3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，定值为0，理由见解析. 【分析】（1）先利用同角三角函数的关系将已知等式统一成正弦，然后利用正弦定理将其统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案； （2）方法一：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围；方法二：由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围；方法三：数形结合，过点作，垂足为，作与交于点，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围； （3）设，在和中分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可. 【详解】（1）， ， 即， 即， . （2）[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 又，则， 则， 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是. [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知. 因为为锐角三角形，且， 所以，即 又由余弦定理得，所以，即， 所以，故面积的取值范围是. [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点. 由题设及（1）知，因为为锐角三角形，且， 所以点位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是. （3）的面积为3，所以，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 7．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 由，因此，则， 由，得，解得， 又，所以. （2） 由得，，而，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴. （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 8．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可； （2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设, 在中，由余弦定理得, ， 当时，. （2）①在中，由余弦定理, 所以， 再由正弦定理得, , , , , 所以，. ②设，则 由正弦定理可得,所以, 所以 . 当时，的最小值为. 【点睛】方法点睛：最值问题可以通过转化未知量转化为函数，结合三角函数的值域或者基本不等式求解即可. 9．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得； （3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； （2）因为，，， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （3）延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中， 在中，，所以， 在中，同理可得， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 10．代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将和代入，根据两角和与差的正弦公式即可证明； （2）由得出，由得出，根据（1）的结论及二倍角公式化简即可求解； （3）根据余弦定理求出和，设，则，，根据三角形面积公式及余弦定理表示出和，进而表示出，再根据基本不等式即可证明． 【详解】（1）证明： ． （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以，由正弦定理得，， 由（1）得， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （3）证明：设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又 ， 所以， 即，所以， 所以． 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 1．中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； （2）由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即，    故的长为 2．已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简求出余弦值，结合角的范围即可求出角； （2）先根据正弦定理求出外接圆半径，再应用余弦定理求边长，最后面积公式计算即可得. 【详解】（1），在中，由正弦定理得， 又，则，即， ，即， ，， ； （2）由（1）得，设的外接圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 则，在中，由余弦定理得， ，，， 在中，由正弦定理得， ，即是等边三角形， 的面积为. 3．在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，． (1)求； (2)从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S． 条件①；条件②；条件③BC边上的中线长为． 【答案】(1) (2)答案见详解 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解即可； （2）若选①：分析可得，可知存在且唯一，利用正弦定理和面积公式运算求解；若选②：利用余弦定理分析可知不唯一；若选③：利用向量结合余弦定理可得，可知不唯一. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且， 即， 可得， 且，则，所以. （2）若选①：由（1）可知，，则， 因为，则，可得， 且，则， 即角A，B，C确定且唯一，且，可知存在且唯一， 因为， 由正弦定理可得， 所以的面积； 若选②：由余弦定理可得， 即，整理可得， 则，可知方程有2个实根， 所以不唯一，故②不合题意； 若选③：设BC边上的中线为，则，且， 可得， 即，此时无法解出， 所以不唯一，故③不合题意. 5．已知分别为锐角三个内角的对边，. (1)求； (2)若的面积为，求边的长. 【答案】(1) (2) 【来源】安徽省十校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用二倍角公式化简即可得解； （2）先求出角，再求出，利用正弦定理得出的关系，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，所以， 所以， 所以，； （2）由（1）得， 又，所以， 则， 由正弦定理得，所以， 则， 解得. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A的大小； (2)已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【来源】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出或； （2）由得到，故，以由（1）知，，且，由余弦定理，由基本不等式得，求出，得到面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，， 则有， 因为在△ABC中，， 所以化简得：， 又，解得：或； （2）由得：， 则，从而， 因为A为钝角，所以由（1）知，，且， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 又b，c可以无限接近0，所以， 从而， 故△ABD面积的取值范围为． 7．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）利用正弦定理直接求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值． 【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得， 因为B为钝角，所以． （2）解：由余弦定理得， 又由，，则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为4， 所以周长的最大值为． 8．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用正弦定理化简得到，求得，即可求解； （2）由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 即， 化简得， 因为，可得，所以， 因为，所以. （2）因为且， 由余弦定理，可得， 即，解得或（舍去）， 故的面积为. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由题干及余弦定理可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由题可得为等边三角形，，在与中，分别由正弦定理求出，，根据三角形面积公式可得，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以. 因为，所以. （2）由及可知为等边三角形. 又因为，，所以. 在中，，由正弦定理可得，即. 在中，，由正弦定理可得，即. 所以. 因为 ， 因为，所以，所以， 所以. 所以，所以， 所以. 所以的取值范围为. 10．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)求的取值范围： (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)的取值范围为 (3) 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1由商数关系和正弦定理将已知条件进行切化弦和边化角即可结合三角恒等变换公式得解. （2）由（1）结合正弦定理得，将其代入结合三角恒等变换公式即可求解. （3）先由外接圆半径以及正弦定理求得，进而由余弦定理和基本不等式可求得且（当且仅当时等号成立），接着结合即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由商数关系和正弦定理得， 即， 又由题可得、、，所以且， 所以由得即， 所以. （2）由（1）以及正弦定理得， 所以 ， 又由，所以，所以， 所以，即. （3）由（1）得， 所以由余弦定理得， 所以， 且， 当且仅当时等号成立， 又，且（为内切圆半径）， 所以， 当且仅当时等号成立，此时为正三角形，符合题意， 所以内切圆半径的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用正弦定理进行边换角，最后转化为求解三角函数值域问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 解三角形解答题重点专练 （真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 真题四层精练 1 真题第一层精练：夯实基础（10题） 1 真题第二层精练：能力提升（10题） 2 真题第三层精练：突破压轴（10题） 5 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 7 真题第一层精练：夯实基础（10题） 1．在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)求的面积. 2．记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若是的中点，且，，求. 3．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求B； (2)若，且，求． 4．已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 5．在中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若，的面积是，求的周长. 6．在中，三个内角、、满足：、. (1)求； (2)若点为边上靠近点的三等分点，求的余弦值. 7．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 8．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 9．设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C； (2)若，求面积的最大值． 真题第二层精练：能力提升（10题） 1．如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. (1)求的面积； (2)若，，求CE的长. 2．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 3．在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 4．如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 5．如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是上的动点，M是线段OA上的一点，且．    (1)若，求PM的长； (2)求的面积最大值． 6．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. (1)求角； (2)设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．    (1)求角C的大小； (2)设D是上一点，且，，且，求的面积． 8．已知 中，角所对的边分别为，，，，，为 边上的点. (1)若为的中点，且，求线段的长； (2)若平分，，求线段和的长. （请根据题意，在答题卡上分别画出大致图象） 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 10．记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 真题第三层精练：突破压轴（10题） 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. (1)证明：为等腰三角形； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，，求的面积. 2．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)已知； ①求面积的最大值； ②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值. 4．如图 1 所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.    (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)如图 2，过点的直线与边，分别交于点，，设 ，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 5．在锐角中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围； (3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由. 6．某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 7．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 8．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 9．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 10．代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 1．中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 2．已知的内角所对的边分别为． (1)求； (2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积． 3．在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，． (1)求； (2)从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S． 条件①；条件②；条件③BC边上的中线长为． 5．已知分别为锐角三个内角的对边，. (1)求； (2)若的面积为，求边的长. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A的大小； (2)已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 7．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求A； (2)若，求周长的最大值． 8．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 10．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)求的取值范围： (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$