期末专题03 解三角形（20类真题精讲）-【源课堂会一题通一类系列】2024-2025学年高一数学下学期期末重点复习（人教A版2019）

期末专题03 解三角形 （20类真题精讲） 期末复习目录 20类真题精讲 1 真题精讲01 正弦定理解三角形（基础） 2 真题精讲02 正弦定理之边角互化 3 真题精讲03 正弦定理求外接圆半径及变形应用 6 真题精讲04 应用正弦定理判断三角形解的个数 7 真题精讲05 余弦定理解三角形（基础） 9 真题精讲06 应用余弦定理判断三角形的形状 11 真题精讲07 三角形的面积公式及其应用 13 真题精讲08 海伦-秦九韶公式 16 真题精讲09 解三角形的实际应用 19 真题精讲10 解三角形中的双正弦 26 真题精讲11 解三角形中的双余弦 31 真题精讲12 角平分线、中线、高线 34 真题精讲13 张角定理在解三角形中的应用 41 真题精讲14 面积类的值及最值问题 44 真题精讲15 边长及周长类最值问题 49 真题精讲16 线段类最值问题 57 真题精讲17 角度及三角函数值类最值问题 62 真题精讲18 参数类最值问题 65 真题精讲19 内切外接半径类最值问题 69 真题精讲20 解三角综合问题（多选题） 76 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 真题精讲01 正弦定理解三角形（基础） 【典例精讲1】已知的内角的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理计算即得. 【详解】由正弦定理得,，则. 故选：A. 【通关1-1】记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可 【详解】因为，所以. 由，得. 故选：D. 【通关1-2】在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大角对大边的结合正弦定理即可得到答案. 【详解】， ，边b最短， 由，得． 故选：A. 【通关1-3】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可得到答案. 【详解】根据正弦定理有，即，解得. 故选：D. 真题精讲02 正弦定理之边角互化 【典例精讲2】在中， 则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解即可. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 即， 整理得，而， 因此，即，由，得， 则，所以. 故选：D 【通关2-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 【通关2-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用两次正弦定理和二倍角的正弦公式可得，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】由正弦定理，得，则， 即，由正弦定理，得， 即．所以或． 解得或， 所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：A． 【通关2-3】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即， 又，所以，所以. 故选：A 真题精讲03 正弦定理求外接圆半径及变形应用 【典例精讲3】在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积求，再根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】，所以， 根据余弦定理, 即，， 所以. 故选：D 【通关3-1】在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 【通关3-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据公式计算求解即可 【详解】设的外接圆的半径为，则根据正弦定理可知， ，又， 所以， 故答案为：2 【通关3-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 【答案】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出角C，再由正弦定理求外接圆直径即可. 【详解】由, 所以,即, 由,所以, 所以,所以. 故答案为：. 真题精讲04 应用正弦定理判断三角形解的个数 【典例精讲4】由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【通关4-1】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 【通关4-2】记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C 【通关4-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（    ） A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解 C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解 【答案】A 【分析】由正弦定理结合边角关系判断即可. 【详解】对于①：由正弦定理可知， 因为，所以，则①只有一个解； 对于②：由正弦定理可知， 且，则有两解，因此②有两个解； 故选：A 真题精讲05 余弦定理解三角形（基础） 【典例精讲5】在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 【通关5-1】的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或. 故选：D. 【通关5-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求出. 【详解】根据余弦定理得， 即，解得（舍去）或2， 故选：A. 【通关5-3】在中，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 真题精讲06 应用余弦定理判断三角形的形状 【典例精讲6】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【通关6-1】在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 【通关6-2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在中，角的对边分别为，且，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行角化边进而判断. 【详解】在中，由余弦定理得， ，， 因为， 所以， 即， 即， 又因为， 所以， 所以为等腰三角形. 故选：A 【通关6-3】（22-23高一下·四川凉山·期末）中，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正余弦定理边角化及两角和的正弦公式，结合三角形的内角和定理和三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解. 【详解】由及正余弦定理，得，化简得， 将代入，得，即， 由及正弦定理，得, 因为, 所以， 所以，即， 所以， 故是等边三角形. 故选：B. 【通关6-4】（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 真题精讲07 三角形的面积公式及其应用 【典例精讲7】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 【通关7-1】记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面积公式及余弦定理计算可得. 【详解】因为， 又由余弦定理， 所以， 所以，则. 故选：A 【通关7-2】已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 【通关7-3】中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积． 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，可得， 而，可得， 由余弦定理可得， 即，① 因为边上的中线为，设中线为， 则， 两边平方可得， 即，② ②①可得，即， 所以． 故选：A． 真题精讲08 海伦-秦九韶公式 【典例精讲8】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形的面积为 ；若，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 / / 【分析】把，，代入得到的值，再代入面积公式即可；通过条件将条件都化为的关系，再代入面积公式中变成关于的函数关系，即可求出面积最大值. 【详解】解：把，，代入得到， 此时三角形面积为； 由，，， 三角形面积为， 当时，有最大值. 故答案为：；. 【通关8-1】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径. 【详解】根据海伦公式，可知：， 再设内切圆半径为，则有， 故答案为：. 【通关8-2】数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将已知等式结合进行化简，得到，并利用正弦定理可得，代入 “三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解. 【详解】， ， 又， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 由正弦定理得   的面积， ， 将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为. 故选：A . 【通关8-3】（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（　　） A．21 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答案． 【详解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6， ∴，又易知，， 则 ， 当，即时，有最大值为. 故选：D． 真题精讲09 解三角形的实际应用 【典例精讲9】如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 【通关9-1】某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 【通关9-2】如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【答案】A 【分析】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 【通关9-3】太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市采石矶景区，素有“明月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平高度且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为，且，则太白楼的高度为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设太白楼的高度为，解直角三角形，表示出， 利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设太白楼的高度为， 由题意知在中，，则； 在中，，则； 在中，，则； 在中，， 在中，， 由于， 即，解得， 即太白楼的高度为， 故选：A 【通关9-4】在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 【通关9-5】如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求得的值，即可得解； （2）设的外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得解. 【详解】（1）在中由正弦定理可得，即， 解得， ，，为正三角形， ，即景点之间的距离为. （2）设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为， 则，解得， ,， 的最小值为， ，， ， ， ， ，即， 的最小值为，即栈道长度的最小值为.    【点睛】关键点点睛：第二问关键是根据圆的性质转化为求，从而只需求出的值. 真题精讲10 解三角形中的双正弦 【典例精讲10】记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理、余弦定理可得，化简可得，化简证明结论； （2）设，由已知和（1）可得，由，可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可解得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理得， 又在中，， 所以 ， 所以，即. （2）    设，因为AM平分，且， 则， 由（1）知，，则， 所以， 因为， 所以， 则，又， 则，则，，， 在中，由正弦定理得， 则，得， 所以 ， 在中，由正弦定理， 得，解得. 【通关10-1】记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. (1)求； (2)若，求线段的长. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理得，最后再利用正弦定理解三角形即可； （2）根据正弦定理得，再求出，最后余弦定理即可得到答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即. 由余弦定理可得，又，所以. 在中，由正弦定理可得， 所以. （2）在中，由正弦定理可得， 又，所以. 因为，所以为锐角，则为钝角， 所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 即，解得(负值舍去). 故线段的长为3. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是先利用正弦定理得，再求出，最后利用余弦定理得到关于的方程，解出即可. 【通关10-2】在凸四边形中，. (1)若四点共圆，，求四边形的面积： (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由四点共圆得到，在，中分别利用余弦定理求出，，即可得到和，再由面积公式求出，即可； （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可. 【详解】（1）因为四点共圆且， 所以，则， 在中由余弦定理， 又， 所以， 解得（负值舍去），所以， 则， 在中，由余弦定理，得 ， 又， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以. （2）设， 则，则， ， 又，所以， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以，即， 所以 ， 故， 又，解得， 又由正弦定理有， 故， 所以. 【点睛】关键点睛： 1.在求四边形面积问题时，通常情况下分成两个三角形，进而利用三角形的面积公式即可求解. 2.设而不求：在第二小问，设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简，而不求与的值得到答案，于是解决此类问题时，要善于利用设而不求的解题方法. 真题精讲11 解三角形中的双余弦 【典例精讲11】记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得到，从而有，利用正弦定理边转角，即可求出结果； （2）根据条件，在中，利用余弦定理得到，，在中，利用余弦定理得到，联立方程，即可求解. 【详解】（1）因为，又，所以， 则， 因为，所以， 由正弦定理，得，所以． （2）由（1）知，， 在中，由余弦定理得①，②， 在中，由余弦定理得③， 由②③得，化简得， 把①代入得，即， 解得，于是的面积. 【通关11-1】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；； （2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 【通关11-2】已知中，角的对边分别为的面积为. (1)若为等腰三角形，求它的周长； (2)若，求. 【答案】(1)20； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即得. （2）按为钝角和不是钝角分类，利用余弦定理和正弦定理求解即得. 【详解】（1）由为等腰三角形，得， 由余弦定理，则， 于是，则， 所以的周长为20. （2）在中，，当不为钝角时，， 由余弦定理得，，解得， 由正弦定理，得，所以，； 当为钝角时，， 由余弦定理得，，解得， 由正弦定理，得，所以. 真题精讲12 角平分线、中线、高线 【典例精讲12】在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，从而得到，最后利用三角形面积公式即可； （2）首先求得，再利用余弦定理即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. （2）在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 【通关12-1】在中，角的对边分别为，且向量. (1)求角 ； (2)若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. （2）解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以    【通关12-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，BC边上的中线，求BC边上的高． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可； （2）先应用向量的数量积的运算律求出b，再结合余弦定理及面积公式计算即可. 【详解】（1）由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）因为，两边同时平方得， 即，解得（负值舍去）， 由余弦定理得，所以． 因为△ABC的面积， 所以． 【通关12-3】中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A； (2)若， 求BC边上高的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及辅助角公式求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，再由面积公式求解. 【详解】（1）因为 由正弦定理得， 因为, 所以， 所以 因为， 所以， 所以，所以， 因为 所以，. （2）因为，， 由余弦定理得： ，即， 因为即，即， ， 设中BC边上高为，则，所以， 即BC边上高的最大值为. 【通关12-4】已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③：由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）若是的角平分线，则， 且，即， 解得. 真题精讲13 张角定理在解三角形中的应用 【典例精讲13】在中，，. (1)求证：； (2)若，，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用三角形的面积公式，求证即可； （2）令，根据，且，利用三角形相似的性质，求得，再在中，利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 两边同时除以，得， 故命题得证． （2）若，，则，， 当时，，和均为等腰三角形，且，， 所以， 所以，整理得， 所以，解得（舍负）， 不妨取，，则，， 在中，由余弦定理知，． 【通关13-1】已知AD是的角平分线，，，，则 . 【答案】/ 【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解. 【详解】设， 则由张角定理可得：， 故，即有， 所以，则， 又因，， 所以. 【通关13-2】如图，已知是中的角平分线，交边于点. （1）用正弦定理证明：； （2）若，，，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长. 试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD 根据正弦定理，在△ABD中，= 在△ADC中，= ∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC ∴=，= ∴= （2）根据余弦定理，cos∠BAC= 即cos120°= 解得BC= 又= ∴=， 解得CD=，BD=； 设AD=x，则在△ABD与△ADC中， 根据余弦定理得， cos60°= 且cos60°= 解得x=，即AD的长为． 【通关13-3】.在中,角所对的边分别为,已知点在边上, ,则__________ 解：如图 由张角定理得: 即 真题精讲14 面积类的值及最值问题 【典例精讲14】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长为3，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，可求出角的大小； （2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积. 【详解】（1），由正弦定理可知，． 又， ， 又，又． （2）为边上的中线，， ． 由余弦定理可得，即， ，． 【通关14-1】已知在中，三边所对的角分别为，且满足 (1)求； (2)若外接圆的半径为2，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得角； （2）利用正弦定理结合三角形的外接圆半径可求出，则可求得，再利用余弦定理化简变形可求出，从而可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为外接圆的半径为2，， 所以，得， 所以， 由余弦定理得， 所以，得， 所以. 【通关14-2】已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正弦定理求出，对两边平方求出中，再由余弦定理可得答案； （2），根据为锐角三角形求出的范围，再由的范围可得答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，因为，所以，解得， 因为，所以， ， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，即； （2）由题设 ， 因为为锐角三角形，所以 ，从而， 可得，所以， 则面积的取值范围是. 【通关14-3】如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换化简可得解； （2）根据向量的线性运算及向量数量积与模长公式，结合基本不等式可得，进而可得面积的最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以 所以， 又，所以，所以， 即， 又，，所以，则； （2）因为，所以， 所以 即， 解得，当且仅当即，时等号成立， 故，当且仅当即，等号成立. 所以面积的最大值为. 真题精讲15 边长及周长类最值问题 【典例精讲15】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 【通关15-1】在中，内角的对边分别是，且. (1)请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分） ①  ②，求的面积； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三角恒变换可得，若选择①利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果；若选择②，由诱导公式以及二倍角公式可得结果； （2）利用正弦定理以及辅助角公式即可求得结果. 【详解】（1）由可得，原式可化为 利用正弦定理可得， 即，又， 所以，又， 可得. 选择①由利用正弦定理可得， ，解得； 易知，所以. 选择②原式可化为，可得； 因为，所以. 所以. 因此的面积为. （2）由正弦定理可知，因此； 可得 ； 又可知， 当时，取到最大值1， 即有最大值 【通关15-2】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 【通关15-3】在中，角所对的边分别是. (1)若是的中点，且，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得，在中利用余弦定理求出，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简，得，然后求出角的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案. 【详解】（1）由余弦定理得， 所以 由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以. 所以的面积； （2）由正弦定理得 ， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 即的取值范围是. 【通关15-4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 【通关15-5】如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 【通关15-6】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 真题精讲16 线段类最值问题 【典例精讲16】在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，结合余弦定理可得，则面积可求； （3）令，利用正弦定理将表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 因为， 所以 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为. 【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值. 【通关16-1】如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（i）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得；（ii）在中，分别运用正、余弦定理得到①，②两式，结合③式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即. （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 将①，②，③式依次代入即得： ， 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理和三角恒等变换在解三角形中的应用，属于难题. 解题关键在于结合图形，寻找边与角之间的数量关系，对于求解与边长有关的范围问题，一般方法即是借助于正、余弦定理和题设条件，将其转化为某角的三角函数式，通过三角函数的值域求解，或者运用基本不等式，函数单调性进行求解. 【通关16-2】如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①27；②. 【分析】（1）利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可； （2）①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 真题精讲17 角度及三角函数值类最值问题 【典例精讲17】在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用、表示出，，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理计算可得； （2）由三角形为锐角三角形及余弦定理求出，即可得到的范围，再由余弦定理得到，利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）连接，，点分别为边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以， 所以， 由余弦定理，所以， 所以，所以. （2）因为为锐角三角形， 所以，即，，， 又， 所以，，所以，即， 所以， 令，则， 所以，令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是推导出的范围，再由余弦定理及（1）的结论得到. 【通关17-1】在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，判断的形状； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解； （2）根据（1）可得，利用正弦定理边化角，再借助三角函数恒等变形可得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）根据题意，， 即， 所以， 化简得， 当时，得，即为直角三角形； （2）当时，根据（1），有， 根据正弦定理，有， 即， 根据和差化积公式，得， 即，化简得， 所以， 设则 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最大值为. 【通关17-2】在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由，可得，由余弦定理，再由正弦定理，则，由三角恒等变换可证结论； （2）利用，得出，则，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，则， 由余弦定理， 由正弦定理，则， 在中，， 所以， 则，则， 所以. （2）由（1），则， 则， 在锐角中，有， 故， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 真题精讲18 参数类最值问题 【典例精讲18】已知在中，，点满足. (1)若，求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由余弦定理求出，由得到，结合，得到为等边三角形，求出答案； （2）设，表达出其他各角，分别在与使用正弦定理得到，根据，得到，得到答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 整理得，解得（负值舍去）. 又因为，所以. 又因为， 又， 所以为等边三角形， 所以. （2）由可知，点在线段的延长线上. 设，则. 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以. 所以 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 【通关18-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出； （2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由可得，代入， 得，即， 则. 由正弦定理得， 即， 即，可得. 因为，则， 可知，解得. 解法二：因为，所以. 又因为，则. 即， 由正弦定理得. 且 ， 即有.解得. 由，可得. （2）由（1）可得， 由正弦定理得，① 由余弦定理得. 对①式进行变形可得， 所以. 因为为锐角三角形，所以即 解得，从而， 又，所以，即的取值范围为. 真题精讲19 内切外接半径类最值问题 【典例精讲19】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)求的取值范围： (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)的取值范围为 (3) 【分析】（1由商数关系和正弦定理将已知条件进行切化弦和边化角即可结合三角恒等变换公式得解. （2）由（1）结合正弦定理得，将其代入结合三角恒等变换公式即可求解. （3）先由外接圆半径以及正弦定理求得，进而由余弦定理和基本不等式可求得且（当且仅当时等号成立），接着结合即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由商数关系和正弦定理得， 即， 又由题可得、、，所以且， 所以由得即， 所以. （2）由（1）以及正弦定理得， 所以 ， 又由，所以，所以， 所以，即. （3）由（1）得， 所以由余弦定理得， 所以， 且， 当且仅当时等号成立， 又，且（为内切圆半径）， 所以， 当且仅当时等号成立，此时为正三角形，符合题意， 所以内切圆半径的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用正弦定理进行边换角，最后转化为求解三角函数值域问题. 【通关19-1】中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 . (1)求角； (2)若为的中点，且，求 的内切圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角； （2）由题意得，两边平方化简可求出，再利用余弦定理可求出，然后利用等面积法可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以； （2）因为为的中点，所以 ， 所以， 解得或（舍）， 由余弦定理得 ，所以 设的内切圆半径为，则， 所以，解得 【通关19-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 【通关19-3】中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分. (1)求证：； (2)若，. ①求面积S的最大值； ②若和的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)① 3，② 【分析】（1）设边上的高为，则表示出和，两式子相比可证得结论； （2）①设，由余弦定理结合三角形的面积公式可得，化简换元后可利用基本不等式求出其最大值；②利用等面积法可得，则，而，代入化简可求得结果. 【详解】（1）证明：设边上的高为，则 ，， 因为直线平分，所以， 所以， 所以； （2）①设， 因为，，所以由（1）可知， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以S的最大值为3； ②在中，因为，， 所以， 所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，， 所以， 所以， ， 因为，且，所以， 所以，则， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，考查向量的数量积运算，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是利用三角形中等面积法表示出，利用向量的运算表示出，考查计算能力，属于难题. 真题精讲20 解三角综合问题（多选题） 【典例精讲20】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 【通关20-1】已知分别为三个内角的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用余弦定理可判断A；用正弦定理可判断B，C；用三角形的面积公式可判断D. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去），故A正确； ，由，可得， 所以，故B正确； 由于，所以由正弦定理可得：，所以C正确； ，故D错误. 故选：ABC 【通关20-2】已知内角的对边分别为，外接圆半径为．若，且，则（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，然后逐项计算判断即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，由余弦定理得， 对于A，，则，A正确； 对于B，，即，当且仅当时取等号， ，因此面积的最大值为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，边上的高，D正确. 故选：ABD 【点睛】策略点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 【通关20-3】已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理与正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得，再根据角分线利用等面积法可判断A选项；结合转化法表示向量的模，再根据基本不等式可得面积的最值，判断B选项；根据三角恒等变换可得，根据三角函数性质可判断C选项；根据三角形解的情况可判断D选项. 【详解】由已知， 根据余弦定理可知，即， 再由正弦定理可得， 又，即，所以， 即，又，， 所以，， A选项：为角平分线，则，所以， 即， 即，则，A选项正确； B选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 又，即，， 即，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由三角形可知 ， 又在中，， ，即， 所以，即，C选项正确； D选项：，且只有一解，则或，即或，D选项错误； 故选：ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 解三角形 （20类真题精讲） 期末复习目录 20类真题精讲 1 真题精讲01 正弦定理解三角形（基础） 2 真题精讲02 正弦定理之边角互化 3 真题精讲03 正弦定理求外接圆半径及变形应用 3 真题精讲04 应用正弦定理判断三角形解的个数 4 真题精讲05 余弦定理解三角形（基础） 5 真题精讲06 应用余弦定理判断三角形的形状 5 真题精讲07 三角形的面积公式及其应用 6 真题精讲08 海伦-秦九韶公式 7 真题精讲09 解三角形的实际应用 8 真题精讲10 解三角形中的双正弦 10 真题精讲11 解三角形中的双余弦 11 真题精讲12 角平分线、中线、高线 12 真题精讲13 张角定理在解三角形中的应用 13 真题精讲14 面积类的值及最值问题 14 真题精讲15 边长及周长类最值问题 14 真题精讲16 线段类最值问题 16 真题精讲17 角度及三角函数值类最值问题 17 真题精讲18 参数类最值问题 18 真题精讲19 内切外接半径类最值问题 18 真题精讲20 解三角综合问题（多选题） 19 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 真题精讲01 正弦定理解三角形（基础） 【典例精讲1】已知的内角的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【通关1-1】记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【通关1-2】在中，，，，则最短边的边长等于（    ） A． B． C． D． 【通关1-3】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 真题精讲02 正弦定理之边角互化 【典例精讲2】在中， 则A=（    ） A． B． C． D． 【通关2-1】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【通关2-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【通关2-3】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 真题精讲03 正弦定理求外接圆半径及变形应用 【典例精讲3】在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【通关3-1】在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【通关3-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为 ． 【通关3-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 真题精讲04 应用正弦定理判断三角形解的个数 【典例精讲4】由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【通关4-1】的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【通关4-2】记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【通关4-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（    ） A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解 C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解 真题精讲05 余弦定理解三角形（基础） 【典例精讲5】在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【通关5-1】的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 【通关5-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【通关5-3】在中，，则 ． 真题精讲06 应用余弦定理判断三角形的形状 【典例精讲6】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【通关6-1】在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【通关6-2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在中，角的对边分别为，且，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【通关6-3】（22-23高一下·四川凉山·期末）中，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【通关6-4】（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 真题精讲07 三角形的面积公式及其应用 【典例精讲7】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【通关7-1】记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【通关7-2】已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【通关7-3】中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 真题精讲08 海伦-秦九韶公式 【典例精讲8】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形的面积为 ；若，，则此三角形面积的最大值为 . 【通关8-1】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为 . 【通关8-2】数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【通关8-3】（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（　　） A．21 B． C． D． 真题精讲09 解三角形的实际应用 【典例精讲9】如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【通关9-1】某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【通关9-2】如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【通关9-3】太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市采石矶景区，素有“明月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平高度且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为，且，则太白楼的高度为（    ）.    A． B． C． D． 【通关9-4】在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【通关9-5】如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 真题精讲10 解三角形中的双正弦 【典例精讲10】记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值． 【通关10-1】记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. (1)求； (2)若，求线段的长. 【通关10-2】在凸四边形中，. (1)若四点共圆，，求四边形的面积： (2)若，求的值. 真题精讲11 解三角形中的双余弦 【典例精讲11】记的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若点在边上，且，，求的面积． 【通关11-1】如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【通关11-2】已知中，角的对边分别为的面积为. (1)若为等腰三角形，求它的周长； (2)若，求. 真题精讲12 角平分线、中线、高线 【典例精讲12】在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【通关12-1】在中，角的对边分别为，且向量. (1)求角 ； (2)若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【通关12-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，BC边上的中线，求BC边上的高． 【通关12-3】中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A； (2)若， 求BC边上高的最大值. 【通关12-4】已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 真题精讲13 张角定理在解三角形中的应用 【典例精讲13】在中，，. (1)求证：； (2)若，，求的值. 【通关13-1】已知AD是的角平分线，，，，则 . 【通关13-2】如图，已知是中的角平分线，交边于点. （1）用正弦定理证明：； （2）若，，，求的长. 【通关13-3】.在中,角所对的边分别为,已知点在边上, ,则__________ 真题精讲14 面积类的值及最值问题 【典例精讲14】已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长为3，求的面积． 【通关14-1】已知在中，三边所对的角分别为，且满足 (1)求； (2)若外接圆的半径为2，求的面积. 【通关14-2】已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【通关14-3】如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； 真题精讲15 边长及周长类最值问题 【典例精讲15】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【通关15-1】在中，内角的对边分别是，且. (1)请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分） ①  ②，求的面积； (2)求的最大值. 【通关15-2】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【通关15-3】在中，角所对的边分别是. (1)若是的中点，且，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【通关15-4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【通关15-5】如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【通关15-6】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 真题精讲16 线段类最值问题 【典例精讲16】在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【通关16-1】如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【通关16-2】如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 真题精讲17 角度及三角函数值类最值问题 【典例精讲17】在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. (1)求的值； (2)求的取值范围. 【通关17-1】在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，判断的形状； (2)若，求的最大值. 【通关17-2】在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. 真题精讲18 参数类最值问题 【典例精讲18】已知在中，，点满足. (1)若，求； (2)若，且，求的取值范围. 【通关18-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 真题精讲19 内切外接半径类最值问题 【典例精讲19】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)求的取值范围： (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【通关19-1】中，内角的对边分别为 ，记的面积为，且 . (1)求角； (2)若为的中点，且，求 的内切圆的半径. 【通关19-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【通关19-3】中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分. (1)求证：； (2)若，. ①求面积S的最大值； ②若和的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围. 真题精讲20 解三角综合问题（多选题） 【典例精讲20】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 【通关20-1】已知分别为三个内角的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【通关20-2】已知内角的对边分别为，外接圆半径为．若，且，则（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 【通关20-3】已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$