期末专题01 三角函数与三角恒等变换（13类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题））-【源课堂会一题通一类系列】2024-2025学年高一数学下学期期末重点复习（人教A版2019）

期末专题01 三角函数与三角恒等变换 （13类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 13类真题精讲 1 真题精讲01 三角函数的单调性 2 真题精讲02 三角函数的性质综合 4 真题精讲03 由三角函数的性质求参数 5 真题精讲04 伸缩平移变换 6 真题精讲05 三角函数及其性质大题综合 7 真题精讲06 三角函数及其性质的实际应用 9 真题精讲07 两角和与差的三角函数公式 10 真题精讲08 二倍角公式及降幂公式 11 真题精讲09 半角公式的应用 11 真题精讲10 辅助角公式的应用 12 真题精讲11 比较三角函数值的大小关系 13 真题精讲12 三角恒等变换的综合应用 13 真题精讲13 三角恒等变换的大题综合 14 真题四层精练 15 真题第一层精练：夯实基础（10题） 15 真题第二层精练：能力提升（8题） 16 真题第三层精练：突破压轴（8题） 18 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 20 1. 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 2. 正弦的和差公式 ， 3. 余弦的和差公式 ， 4. 正切的和差公式 ， 5. 正弦的倍角公式 6. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 7. 正切的倍角公式 8. 推导公式 9. 辅助角公式 ，，其中， 真题精讲01 三角函数的单调性 【典例精讲1】已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 【通关1-1】下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【通关1-2】已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【通关1-3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 真题精讲02 三角函数的性质综合 【典例精讲2】（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 【通关2-1】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 【通关2-2】（多选）已知函数，且，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 【通关2-3】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 真题精讲03 由三角函数的性质求参数 【典例精讲3】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【通关3-1】已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【通关3-2】已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【通关3-3】已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 真题精讲04 伸缩平移变换 【典例精讲4】已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 【通关4-1】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【通关4-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【通关4-3】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 真题精讲05 三角函数及其性质大题综合 【典例精讲5】已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 【通关5-1】已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【通关5-2】已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 【通关5-3】已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 真题精讲06 三角函数及其性质的实际应用 【典例精讲6】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【通关6-1】（多选）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 【通关6-2】风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【通关6-3】如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 真题精讲07 两角和与差的三角函数公式 【典例精讲7】已知，则（    ） A． B． C． D． 【通关7-1】（    ） A． B． C． D． 【通关7-2】 （    ） A． B． C． D． 【通关7-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 真题精讲08 二倍角公式及降幂公式 【典例精讲8】设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【通关8-1】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【通关8-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【通关8-3】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 真题精讲09 半角公式的应用 【典例精讲9】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【通关9-1】若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【通关9-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【通关9-3】设，，则等于（    ） A． B． C． D． 真题精讲10 辅助角公式的应用 【典例精讲10】已知函数，当取得最大值时， ． 【通关10-1】若函数的最大值为，则实数 ． 【通关10-2】已知函数在时取得最大值，则 . 【通关10-3】在中，已知，则的最大值为 . 真题精讲11 比较三角函数值的大小关系 【典例精讲11】设，则有（   ） A． B． C． D． 【通关11-1】（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（     ） A． B． C． D． 【通关11-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【通关11-3】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 真题精讲12 三角恒等变换的综合应用 【典例精讲12】若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【通关12-1】已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【通关12-2】已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 【通关12-3】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的最大值为2 D．方程在上恰有20个不同的实根 真题精讲13 三角恒等变换的大题综合 【典例精讲13】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【通关13-1】已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【通关13-2】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【通关13-3】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 真题第一层精练：夯实基础 1．下列函数周期为的为（   ）． A． B． C． D． 2．下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 5．（多选）已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是 A． B．是函数的一条对称轴 C．的对称中心为 D．在的值域为 6．（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 8．已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 9．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 真题第二层精练：能力提升 1．已知函数的部分图象如图.若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知是函数的一个零点.则（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递减区间为 D．不等式的解集为 4．（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 5．若，则 . 6．已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ． 7．已知角满足． (1)求和的值； (2)求的值． 8．在中，，. (1)求证：； (2)若，，求的值. 真题第三层精练：突破压轴 1．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 3．（多选）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．存在两个不同的实数，使得为偶函数 5．已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 6．（22-23高一下·辽宁朝阳·期末）若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则 ． 7．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 8．已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 真题第四层精练：百强名校真题特训 1．（    ） A． B． C． D．1 2．若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3．设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 6．（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 8．已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)若，，求的值． 9．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 10．已知向量，，． (1)若，求x的值； (2)记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 三角函数与三角恒等变换 （13类真题精讲+真题四层精练（含百强名校真题）） 期末复习目录 13类真题精讲 1 真题精讲01 三角函数的单调性 3 真题精讲02 三角函数的性质综合 5 真题精讲03 由三角函数的性质求参数 9 真题精讲04 伸缩平移变换 12 真题精讲05 三角函数及其性质大题综合 14 真题精讲06 三角函数及其性质的实际应用 20 真题精讲07 两角和与差的三角函数公式 24 真题精讲08 二倍角公式及降幂公式 26 真题精讲09 半角公式的应用 28 真题精讲10 辅助角公式的应用 30 真题精讲11 比较三角函数值的大小关系 32 真题精讲12 三角恒等变换的综合应用 34 真题精讲13 三角恒等变换的大题综合 38 真题四层精练 42 真题第一层精练：夯实基础（10题） 42 真题第二层精练：能力提升（8题） 47 真题第三层精练：突破压轴（8题） 53 真题第四层精练：百强名校真题特训（10题） 65 1. 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 2. 正弦的和差公式 ， 3. 余弦的和差公式 ， 4. 正切的和差公式 ， 5. 正弦的倍角公式 6. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 7. 正切的倍角公式 8. 推导公式 9. 辅助角公式 ，，其中， 真题精讲01 三角函数的单调性 【典例精讲1】已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】A 【分析】求出的范围，根据的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则，所以在 上单调递增，故A正确；     对于B，若，则，因为在 上单调递减，故B正确；     对于C，若，则，因为在 上单调递增，故C错误；     对于D，若，则，因为在 上单调递减，故D错误. 故选：A. 【通关1-1】下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的性质求解即可． 【详解】函数， 要求函数的增区间，即， 即. 令，得到.则A正确，B错误； 令，得到.则C，D错误． 故选：A． 【通关1-2】已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，令， 解得，， 令，则， 令，， 又，所以的单调递增区间是，. 故选：D 【通关1-3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 真题精讲02 三角函数的性质综合 【典例精讲2】（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 【答案】AC 【分析】对于A：根据最小正周期公式运算求解即可；对于B：根据对称轴与最值点之间的关系分析判断；对于C：根据对称中心与函数零点之间的关系分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断. 【详解】对于选项A：可知函数的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：因为，不是最值， 所以不是函数的图象的一条对称轴，故B错误； 对于选项C：因为， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于选项D：函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数，故D错误； 故选：AC. 【通关2-1】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 【答案】ABD 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由正弦型函数的性质，对选项逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，， 令， 则， 所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：ABD 【通关2-2】（多选）已知函数，且，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】ABC 【分析】依题意，得，可得，利用正弦函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，且， 的图象关于直线对称， ，即，正确； ， ，为偶函数，正确； 又，当时为最大值，当时为最小值， 函数的图象关于直线对称，正确； ，则， 由于的正负不确定，则函数在区间上单调性不确定，错误． 故选：． 【通关2-3】（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 【答案】ABD 【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 因为在，附近单调递增， 所以，，， 又因为，所以，， 所以，A说法正确； 当时，， 所以由在单调递减可知在上单调递减，B说法正确； 因为，所以C说法错误； 令得，解得或， 方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为， 而第5个实数根为，所以，D说法正确； 故选：ABD 真题精讲03 由三角函数的性质求参数 【典例精讲3】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式，求解即可． 【详解】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 【通关3-1】已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 【通关3-2】已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得或，求出的值，再由求出的范围，然后由方程在区间上恰有4个实根，可得，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 所以或， 所以，或，或，或， 由，得，所以， 因为方程在区间上恰有4个实根， 所以，解得， 故选：D 【通关3-3】已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 真题精讲04 伸缩平移变换 【典例精讲4】已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据图象的伸缩变换即可求解. 【详解】将图象上的点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变就可得到， 故选：D 【通关4-1】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由左右平移和伸缩变化可以得到，再根据正弦函数对称轴的求法，从而得到的对称轴为，最后结合选项选择适合的答案即可. 【详解】首先将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变）， 得到函数， 最后令，解得， 即的对称轴为. 所以函数的图象的一条对称轴的方程为. 故选：A. 【通关4-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移规则判断即可. 【详解】因为， ， 所以将向右平移个单位长度得到，故D正确； 若将向左平移个单位长度得到，故A错误； 若将向右平移个单位长度得到，故B错误； 若将向左平移个单位长度得到，故C错误； 故选：D 【通关4-3】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 真题精讲05 三角函数及其性质大题综合 【典例精讲5】已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）由题意可知，函数在上至少有两个零点，由，可得，只需要满足，计算求解即可. 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于， 所以，由，得， 又，所以，所以. （2）由（1）知，， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （3）函数在上至少有2个零点， 即函数在上至少有两个零点， 因为时，， 所以，解得，所以的最小值为. 【通关5-1】已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求得函数的解析式； （2）由（1）可得：，结合三角函数的性质，即可求解. （3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性即可求解. 【详解】（1）由图象可知：，最小正周期， 且，可得，所以， 由图可求出最低点的坐标为，可得， 则，解得， 且，可得，所以. （2）由（1）可得：， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的值域为. 【通关5-2】已知函数的部分图象，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)，求函数的值域； (3)若，求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图可得，借助，求出，代入点，求出 即可. （2）运用整体代入求解即可； （3）运用一元二次不等式解法解出，得，再借助三角函数图像性质解函数不等式即可 【详解】（1）由图可得， 则，因为，且，所以， 所以， 由图可知， 则，解得， 因为，所以， 故. （2）由（1）知， 设， ， 所以函数的值域为. （3）由，得， 则，， 解得或， 解得或. 又， 所以. 【通关5-3】已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【详解】（1）， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）由，，， 可得，， 所以， 所以. （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 真题精讲06 三角函数及其性质的实际应用 【典例精讲6】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【答案】C 【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【详解】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C 【通关6-1】（多选）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 【通关6-2】风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 【通关6-3】如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【详解】（1）设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； （2）由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 真题精讲07 两角和与差的三角函数公式 【典例精讲7】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【详解】， ， 故选：A. 【通关7-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 【通关7-2】 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【通关7-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 真题精讲08 二倍角公式及降幂公式 【典例精讲8】设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【通关8-1】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，利用诱导公式以及倍角公式求得，再结合三角函数值的符号分析判断. 【详解】因为， 解得， 又因为，则， 可知，所以. 故选：C. 【通关8-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出， 利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：C 【通关8-3】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求出，再利用诱导公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 真题精讲09 半角公式的应用 【典例精讲9】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 【通关9-1】若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 【通关9-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的范围，求的范围，再由，结合二倍角公式求即可. 【详解】因为，所以， 因为，又， 所以， 所以，又， 所以. 故选：B. 【通关9-3】设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得. 【详解】，，， 故，又， . 故选：D. 真题精讲10 辅助角公式的应用 【典例精讲10】已知函数，当取得最大值时， ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可. 【详解】其中 当取得最大值时， 所以 故答案为： 【通关10-1】若函数的最大值为，则实数 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式变形后，求出其最大值，列方程可求出的值. 【详解】 （其中） 所以当时，取得最大值， 因为函数的最大值为， 所以，解得. 故答案为： 【通关10-2】已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】先利用辅助角公式求出所满足的关系，求出，再利用和角公式求解. 【详解】根据辅助角公式，可得，其中. 由函数在时取得最大值，可得，所以， 根据诱导公式，可得. 根据和角公式，可得. 故答案为： 【通关10-3】在中，已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简，即可求出，从而得到，从而将转化为的三角函数，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以，又，所以，则， 所以 ， 取为锐角，其中，，因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出的值，从而将转化为的三角函数，结合辅助角公式求出最大值. 真题精讲11 比较三角函数值的大小关系 【典例精讲11】设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式、二倍角公式化简，再利用正弦函数的单调性和余弦函数的值域即可判断大小. 【详解】因， ，. 因函数在为增函数，故， 又，则，故，即. 故选：D. 【通关11-1】（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小． 【详解】， ， ， 正弦函数在是单调递增的，． 又 ． 故选：A． 【通关11-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式求出a，根据辅助角公式求出b，根据两角和的正切公式求出c，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】因为， ， ， 又， 所以． 故选：A. 【通关11-3】（22-23高一下·江苏宿迁·期末）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和差公式，二倍角公式，以及基本关系化简，然后利用正弦函数的单调性可得. 【详解】因为， ， ，且在上单调递增， 所以，即. 故选：B 真题精讲12 三角恒等变换的综合应用 【典例精讲12】若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 【通关12-1】已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 【通关12-2】已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据给定条件，对角进行配凑变换，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求值即得. 【详解】由， 得， 则， 由角，均为锐角，且，得，则，于是， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将角分别变形为. 【通关12-3】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的最大值为2 D．方程在上恰有20个不同的实根 【答案】ABD 【分析】分别求出和的最小正周期可得的最小正周期，得 正确，把代入函数，结合函数对称性验证可得正确，去掉绝对值，用辅助角公式化简可得函数最大值可判断错误，去掉绝对值，画出函数图象观察可得，与的图象在上确实恰有20个不同的交点，故正确. 【详解】，为偶函数. 设为的最小正周期， 如图，结合图象知的最小正周期为， 的最小正周期为， 是有理数，为的最小公倍数，, 的最小正周期为，故正确；   ， 的图象关于直线对称，故正确； 当时，令， ，即，，， 又为偶函数，且最小正周期为，得的最大值为，故错误； ， 根据五点法分别作出作出函数和的图象，结合相应的范围和周期性可得函数的图象（或可画出函数在上的图象，结合偶函数的对称性和函数周期性可得函数的完整图象），如图， 方程在上恰有20个不同的实根，得， 即与的图象在上恰有20个不同的交点， ，观察图象可得，与的图象在上确实恰有20个不同的交点，故正确.       故选：. 真题精讲13 三角恒等变换的大题综合 【典例精讲13】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【详解】（1）因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； （2）由（1）知，，， 故， ， 所以． 【通关13-1】已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，齐次式的方法即可求值； （2）分别求出，的值即可． 【详解】（1）； （2）因为为锐角，，可得，， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得，所以． 【通关13-2】已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 【通关13-3】（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 真题第一层精练：夯实基础 1．下列函数周期为的为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期计算公式，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，故B正确； 对于C，函数的最小正周期，故C错误； 对于D，函数的最小正周期，故D错误. 故选：B. 2．下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在角的终边上取点，利用角的三角函数定义进行计算检验即得. 【详解】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项； 对于C，因，符合题意，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：C. 3．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 4．已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5．（多选）已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是 A． B．是函数的一条对称轴 C．的对称中心为 D．在的值域为 【答案】ACD 【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域. 【详解】对于A,由题意得,则, 所以,故正确; 对于时,,故B错误; 对于C,由,解得, 所以函数的对称中心为，故正确; 对于时,, 所以当，即时，, 当，即时，, 所以,故正确. 故选:. 6．（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】化简条件得，对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；对于C,先逆用二倍角公式，再用诱导公式即得；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即得. 【详解】由，得， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 7．已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 【答案】1 【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案. 【详解】因为，tanβ是方程的两根， 所以，， 所以 . 故答案为：1 8．已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得. （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1），令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2），因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量的取值范围为,求得的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 所以， 即函数在区间的最大值为1，最小值为. 真题第二层精练：能力提升 1．已知函数的部分图象如图.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知，求出，再由可求出，从而可求出. 【详解】由图知， 所以，， 所以，，， 由，得，， 所以. 故选：C. 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦的两角和差公式和切化弦思想，即可求出结果. 【详解】由已知得：； ； 两式相加得：， ， ， 所以， 故选：B. 3．（多选）已知是函数的一个零点.则（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递减区间为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】对于A：代入运算求解即可；对于B：整理可得，结合正弦函数的有界性分析求解；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解；对于D：结合选项B中的值域分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为，解得，故A正确； 则， 因为，则， 所以函数的值域为，故B错误； 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由选项B可知：当，即时，， 所以不等式的解集不为空集，故D错误； 故选：AC. 4．（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】由题意可得，结合图象过点，，可求函数解析式，进而逐项计算可得结论. 【详解】由题意可得，又因为函数过点， 所以，所以，又因为，所以， 又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故A正确； 所以，由， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 若，则可得，所以， ，故C正确； 函数的最小正周期为， ， 所以，函数是奇函数，故D正确. 故选：ACD. 5．若，则 . 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可． 【详解】因为， 所以，即， 整理得且， 所以或（舍）. 故答案为： 6．已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】 0 / 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解. 【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则， 由，且函数的图象在点附近是上升的，得， 即，因此，所以； ，而点在的图象上，则，即， 又，则或，解得或， 所以的最小值为. 故答案为：0； 7．已知角满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用诱导公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出，然后利用二倍角公式求出； （2）先求出，然后利用两角和与差的正弦、余弦公式化简计算即可. 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，； （2）由（1）可得， 所以 8．在中，，. (1)求证：； (2)若，，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用三角形的面积公式，求证即可； （2）令，根据，且，利用三角形相似的性质，求得，再在中，利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 两边同时除以，得， 故命题得证． （2）若，，则，， 当时，，和均为等腰三角形，且，， 所以， 所以，整理得， 所以，解得（舍负）， 不妨取，，则，， 在中，由余弦定理知，． 真题第三层精练：突破压轴 1．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 3．（多选）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 【答案】BCD 【分析】对于A,B两项，先写出相应的函数式，再利用函数的奇偶性判断即得；对于C，由推理得到，再根据正弦函数在上的对称轴情况判断即得；对于D，由推理得到，再利用复合函数的单调性判断即得. 【详解】对于A，，则， 故函数为偶函数，故A错误； 对于B，，则， 故函数为偶函数，故B正确； 对于C，当，时，， ∴，，∴， ∵在区间上无对称轴， 故在区间上无对称轴，故C正确； 对于D，若，当时，． ∴，∴． ∴根据复合函数的单调性，可知时，单调递增， 又在区间上单调递减， ∴在区间上单调递减，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛:本题主要考查正弦型函数和余弦型函数的性质应用，属于难题. 求解此类题的一般方法是将内部函数看成整体角，先求出其范围，再利用正弦函数或余弦函数的图象进行观察、分析判断. 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．存在两个不同的实数，使得为偶函数 【答案】ABD 【分析】A选项，验证的关系即可判断；B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性即可判断；C选项，令，此时得到，换元后得到，结合二次函数的性质即可判断；D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的，，验证后即可判断. 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的周期为，故A正确； 对于B，时，， 故，令， 则， 因为，所以，故， 且在单调递减， 则，故， 故， 则在单调递增， 由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，故B正确； 对于C，令， 若，，即，时， ， 两边平方得：， 故， 若，，即，时， 此时， 两边平方得： 此时， 综上：对于，均有， 所以变形为， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为1， 其中，， 因为，故最小值为， 综上：的值域为，C错； 对于D，， 则， 假设为偶函数，则， 即， 只需且， 由， 可得①，或②， 其中由①得：，不能对所有恒成立，舍去； 由②得：， 由可得：③， 由③得：， 故需要保证与同时成立， 令，解得：且， 令，解得：且，故， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 取，此时，此时令，解得：，舍去， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数， ，就是这两个实数，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：三者的关系如下： ，， ， 当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决. 5．已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 6．（22-23高一下·辽宁朝阳·期末）若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则 ． 【答案】0 【分析】根据奇函数性质及图象平移关系易知的图象关于中心对称，进而可得且为奇数，即可求结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以的图象关于中心对称， 设函数的个零点分别为，所以， 函数的图象向右平移个单位得到，所以的图象关于中心对称， 则 ，． 因为是定义域为的奇函数， 所以零点个数为奇数，则． 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：根据函数图象平移关系得到的图象关于中心对称为关键. 7．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)根据的最小值求解出； (2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 8．已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. (1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； (2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得，再根据即可判断； （2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对分类讨论； （3）求出，根据求出其最小值范围，则得到，再利用反证法得到互相矛盾的点即可证明. 【详解】（1）是R上的“完美三角形函数”. 因为，所以. 所以. 因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件， 所以函数是R上的“完美三角形函数”. （2）因为， 所以 . 且. 因为，所以. 所以的最大值为1，最小值为. ①当时， 由，得. ②当时，，满足题意. ③当时， 由，得. 综上，实数的取值范围是. （3）因为，则，所以， 由，得，则，又因为，故. 假设存在满足题意的三个点，则， 且， 所以， 所以. 即. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以，与矛盾. 故不存在点满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用辅助角公式得到，求出其范围，最后对分类讨论即可. 真题第四层精练：百强名校真题特训 1．（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：C 2．若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】首先由已知条件列出方程组求解得，再利用向量求出夹角，最后求得即可. 【详解】由图可知，， 由题意知，解得. 又因为，，且， 则， 因为，所以. 所以. 故选：A 3．设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以 . 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用两角和差的正余弦公式，再结合诱导公式，以及辅助角公式，化简求值. 【详解】由条件等式可知，， 则， ，则， ， . 故选：D 5．若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 【答案】B 【来源】湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误； 利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确； 首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解， 数形结合得到，无解，C错误； D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解. 【详解】，. ，. 对于A，， 为的周期，A错误； 对于B，的对称轴方程为. （）.即（）.B正确. 对于C，对，有， ∵在上单调递增， ， （，2），等价于有两个解， 当时，，显然无解， 不妨设，画出在的图象，如图所示： . 或.无解.故C错误； 对于D，的根为与交点横坐标. 有奇数个交点， ， 且，，，，， ，，，， D错误. 故选：B. 【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解. 6．（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】 因为值域为，所以， 所以，所以， 所以，所以的最大值为. 当最小时，， 解得，所以的最小值为. 故选：BC. 7．已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期统测适应性考试数学试卷 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为， 则当， 即时，在上至少存在两个最值点，满足题意； 当时，，所以（）， 解得（）．当时，解集为，不符合题意； 当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变还是变，平移变换中：变是“左加右减”，变是“上加下减”.伸缩变换中，如：由变换为，则是缩小为原来的倍；如变为，则是放大为原来的倍. 8．已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【来源】重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数性质求最小正周期和单调区间； （2）由题意可得，根据角的关系结合三角恒等变换分析求解. 【详解】（1）因为， 可得的最小正周期； 令，解得； 令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，即， 且，则， 可得， 所以. 9．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 10．已知向量，，． (1)若，求x的值； (2)记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【来源】浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期统测适应性考试数学试卷 【分析】（1）根据向量平行，得到，由求解即可； （2）利用向量的数量积运算得到解析式，由恒成立，再通过求解在的最值，即可得到的最小值. 【详解】（1）由，则，则， ，，故， ，由于，所以， 所以，则. （2）==+， ==， ∵，∴，. ∵恒成立，∴， 从而，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$