精品解析：江苏省南京玄武区科利华中学2024—2025学年下学期第二次月考八年级数学卷　

【2025】【科利华】【第二次月考】数学卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质计算即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 3. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】A．的值不变，的值扩大4倍， ∴原式， ∴分式的值扩大了16倍，不符合题意； B． 的值不变，的值扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值缩小为原来的，不符合题意； C． 的值都扩大2倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了2倍，不符合题意； D．的值都扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了4倍，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质． 4. 已知x，y是实数，且满足，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，正确确定x，y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可知，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可知， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点；①先求出函数的解析式，再与直线联立，看方程组是否有解即可得；②根据解析式可得，即可判断②；③根据点在函数的图象上可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】由题意得：， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程有实数根， 函数的图象与轴有交点，结论①正确； ∵，， ∴函数的图象与轴没有交点，结论②正确； 点在函数的图象上， ， ， 点也在函数的图象上，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③， 故选：D． 6. 过反比例函数（）图像上一动点M作MN⊥x轴交x轴于点N，Q是直线MN上一点，且MQ＝2MN，过点Q作QR∥轴交该反比例函数图像于点R，已知S△QRM=8，那么k的值为_____. 【答案】12或4 【解析】 【分析】由k>0，可知点M在第一象限或第三象限，设点M的坐标为（m，），分别讨论点Q所在象限，根据MQ＝2MN，用m、k表示出点Q和点R的坐标，利用S△QRM=8，即可得出k的值. 【详解】解：∵k>0， ∴点M在第一象限或第三象限， 点M在第一象限时，设点M的坐标为（m，）， ①如图，当点Q在第一象限时， ∵MQ＝2MN， ∴QN=3MN， ∴点Q坐标为（m，）， ∵QR//x轴，点R在反比例函数上， ∴点R坐标为（，）， ∴QR=m-=，QM=-=， ∵S△QRM=8， ∴=8， 解得：k=12； ②如图，当点Q在第四象限时， ∵MQ＝2MN， ∴MN=NQ， ∴点Q坐标为（m，-）， ∵QR//x轴，点R在反比例函数上， ∴点R坐标为（-m，-）， ∴QR=m-(-m)=2m，QM=-（-）=， ∵S△QRM=8， ∴2m=8， 解得：k=4， 同理可得：点M在第三象限时k=4或k=12， 综上所述：k的值为12或4. 故答案为12或4. 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，也考查了三角形的面积.灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得且，求出x的取值范围即可． 【详解】解:∵有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 8. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 9. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点，连接，证明，，可得，（当在上取等号），从而可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵分别为，的中点， ∴， 同理：， ∵，（当在上取等号） ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 11. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，算术平方根，利用数轴得到，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【详解】解：由数轴得：，则 ∴原式= = = 12. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 13. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A，点B都在第一象限，或都在第三象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴在一，三象限时，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A，点B都在第一象限，或都在第三象限， ∴，或， 解得或； 故答案为：或． 14. 已知实数a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 15. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，平行四边形的性质等知识，利用和两点在一次函数的图象上求出，得到，，即可求出反比例函数解析式，设为，，分四边形是平行四边形和四边形是平行四边形两种情况，利用中点坐标公式分别进行解答即可． 【详解】解：∵和两点在一次函数的图象上， ∴， ∴，， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设为，， ，， 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 坐标为或， 故答案为：或． 16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小． 所以线段DH长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简，并判断当x满足不等式时该代数式的符号． 【答案】，负号 【解析】 【分析】先将代数式的除法写成乘法，约去分子分母的公因式，得到化简的结果，再解不等式组成的不等式组得到-2<x<-1，即可判断x+1<0，x+2>0，由此得到代数式的符号. 【详解】， 解不等式组， 得到-2<x<-1， ∴x+1<0，x+2>0， ∴，即该代数式的符号为负号. 【点睛】此题考查分式的除法计算，解一元一次不等式组，正确计算是解此题的关键. 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）所以原方程无解． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，找准最简公分母并注意检验结果是解题关键． （1）在方程左右同乘进行去分母，求解并检验即可； （2）在方程左右同乘进行去分母，求解并检验即可． 【小问1详解】 在方程左右同乘得： 经检验，时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 在方程左右同乘得： 经检验，时，，为分式方程的增根， 原分式方程无解． 19. 若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 20. 已知分式: （1）化简这个分式 （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a>2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值. 【答案】(1) ;(2)变小了，理由见解析;(3) a＝0、﹣2、3、4、6 【解析】 【分析】（1）根据分式混合运算顺序和计算法则化简； （2）由题意列式求出A﹣B，再结合a的范围判断其大小； （3）由A的值是整数，且a也为整数，可得：a﹣2＝±1、±2、±4，再结合a的取值范围可得a的值． 【详解】（1）， ＝， ＝； （2）变小了， 理由如下： A﹣B＝﹣＝＝， ∵a＞2， ∴a﹣2＞0，a+1＞0， ∴A﹣B＝＞0，即A＞B， 故分式B的值较原来分式A的值变小了； （3）A＝＝1+， ∵A的值是整数， ∴a﹣2＝±1、±2、±4， 又∵a-1≠0，a-2≠0, ∴a＝0、﹣2、3、4、6. 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟记并运用分式的计算法则进行计算. 21. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB得AD＝CB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得结论； （2）分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，证明△ABE≌△CDF，进而证明四边形EBFD是矩形，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，连接BD， ∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中， AB＝CD，BD＝DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）． ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CF， 由（1）可得四边形EBFD是矩形， ∴ED＝BF， ∴AD＝BC， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行四边形的判定，熟练运用矩形的判定和平行四边形的判定是解答此题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式， （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ （1）①本题可设原计划每天种树的棵数x棵，根据题意列方程得：__________； ②本题可设实际种树的天数y天，根据题意列方程得：______________． （2）选择其中一种方程解答此题． 【答案】（1）①；②； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系 所列方程，找出表示的实际意义是解此题的关键． （1）①设原计划每天种树的棵数为x棵，则实际每天种树的棵数为棵， 根据每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵，即可列出分式方程；②设实际种树的天数为y天，则原计划种树的天数为天，根据每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵，即可列出分式方程； （2）解分式方程，检验后得出的值，即可得解． 【小问1详解】 解：①设原计划每天种树的棵数为x棵，则实际每天种树的棵数为棵， 根据题意：； ②设实际种树的天数为y天，则原计划种树的天数为天， 根据题意：； 【小问2详解】 解：选择方程①， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵）， 实际每天种48棵树； 选择方程②， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵）， 实际每天种48棵树． 24. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【小问1详解】 解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． 【小问2详解】 解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 25. （1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 【答案】（1）；；（2）线段可看作线段沿方向，平移得到；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可； （2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，从而证明，，即可得出结论； （3）连接，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为所求作的点；根据旋转的性质可得，，进而可得，根据得出，则，即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段沿方向平移得到，平移的距离为p． （2）连接，，如图所示： 根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴线段可看作线段沿方向，平移得到． （3）如图，点O即为所求作的旋转中心； 如图，延长，交于点，设直线交于M，交于N ∵线段绕旋转得到线段， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的夹角为， ∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，画旋转图形，中位线的性质，四边形内角和，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键； 26. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 27. 数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． （1）折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； （2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； （3）如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； （3）改变；的周长的最小值为； 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2025】【科利华】【第二次月考】数学卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 3. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 4. 已知x，y是实数，且满足，则的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5. 某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 过反比例函数（）图像上一动点M作MN⊥x轴交x轴于点N，Q是直线MN上一点，且MQ＝2MN，过点Q作QR∥轴交该反比例函数图像于点R，已知S△QRM=8，那么k的值为_____. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 8. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 9. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 10. 若关于的分式方程无解，则_________． 11. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 12. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 13. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是__________． 14. 已知实数a满足，那么的值是________． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：________． 16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简，并判断当x满足不等式时该代数式的符号． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 20. 已知分式: （1）化简这个分式 （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a>2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值. 21. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 22. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 23. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ （1）①本题可设原计划每天种树的棵数x棵，根据题意列方程得：__________； ②本题可设实际种树的天数y天，根据题意列方程得：______________． （2）选择其中一种方程解答此题． 24. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 25. （1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 26. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 27. 数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． （1）折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； （2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； （3）如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $