精品解析：江苏省南京市玄武区外国语学校2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题

2023-2024学年江苏省南京市玄武区外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A 48 B. 36 C. 40 D. 24 5. 已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 关于x方程有增根，则m的值是______． 8. 如如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为____． 9. 如果，则的值是_________ 10. 如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 11. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 12. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点，点，点都落点上．若，则______________． 13. 某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同．若设该书店第一次购进本，根据题意，列方程_____________． 14. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为不为0的常数）与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，则的值是______． 15. 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________ 16. 用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：. 18. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 19 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； （3）如图3中是不是直角？请说明理由． 21. 某公司为表达对员工的关怀，准备为全体员工发放节日礼品，该公司在超市购进了甲、乙两种礼品．已知甲礼品的单价比乙礼品的单价的2倍少30元，用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍．问甲礼品的单价是多少元？ 22. 如图，在中，E，F分别是边上的点，且，连接相交于点G，连接相交于点H，连接．求证： 23. 阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式 我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ① ② ③ ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 24. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； （1）求点A的坐标； （2）取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 25. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省南京市玄武区外国语学校八年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行变形然后一一判断即可得到答案． 【详解】解：A． ∵， ∴，故该选项不符合题意； B．∵ ∴ ，故该选项符合题意； C． ∴，故该选项不符合题意； D． ∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 3. 如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一分析即可作出判断． 详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时， 四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 5. 已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出或或，确定或或，再由一次函数的性质得出，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：分式方程两边同时乘，得， 整理，得． ∵此分式方程无解， ∴或或， ∴或或． ∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴， ∴或， ∴满足条件的m的值之和是． 故选C． 6. 如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，掌握两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 关于x的方程有增根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为： 8. 如如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的性质的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 9. 如果，则的值是_________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值，算术平方根，先将方程进行化简，化成含，再整理得出，然后代入，进行开方运算，即可作答． 【详解】解：当时，则 故 则两边同时除以， 得 ∴ ∴ ∴ 则 故答案为：2 10. 如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明，得到，从而得到阴影部分的面积为，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为3， 故答案为：3． 11. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 12. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点，点，点都落在点上．若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形折叠问题，涉及勾股定理等知识，由折叠的性质得出，，由勾股定理，得出，进而在中，，列出方程即可求解．数形结合得到，是解题的关键． 详解】解：依题意，，，， 设， ，，， ， 在中，， ，解得， 同理可得， 又， 在中，， ， 设， ，， 在中， ，解得， 故答案为：． 13. 某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同．若设该书店第一次购进本，根据题意，列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程； 详解】解：∵第二次数量比第一次多10本，且该书店第一次购进x本， ∴第二次购进本， 依题意得：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为不为0的常数）与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________ 【答案】6 【解析】 【分析】连接，，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为，可证得，得到，进而可求得答案． 【详解】如图所示，连接，． 根据题意可知，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为． ． 是正方形对角线， ， 在和中， ， ∴． ∴． ∴的最小值为． ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的性质、勾股定理，两点之间线段最短，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 16. 用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解方程组，将代入原方程组即可得． 【详解】解：将代入方程组 得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解： 经检验为原方程的根 18. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； （3）如图3中是不是直角？请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）是直角 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，正方形的性质．解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度． （1）根据面积为10的正方形的边长为结合勾股定理和正方形的性质画图即可； （2）由勾股定理画图即可； （3）由勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【小问1详解】 解：面积为10的正方形的边长为， ∵， ∴如图1所示的四边形即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴如图2所示的三角形即为所求； 【小问3详解】 解：是直角，理由如下： 如图3： ， ， ， ∵，即， ∴为直角三角形，且． 21. 某公司为表达对员工的关怀，准备为全体员工发放节日礼品，该公司在超市购进了甲、乙两种礼品．已知甲礼品的单价比乙礼品的单价的2倍少30元，用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍．问甲礼品的单价是多少元？ 【答案】甲礼品的单价是90元． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设乙礼品的单价是元，则甲礼品的单价是元，根据“用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍”列出分式方程，求解、检验即可得到结论 【详解】解：设乙礼品的单价是元，则甲礼品的单价是元．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是方程的根且符合题意， ． 答：甲礼品的单价是90元． 22. 如图，在中，E，F分别是边上的点，且，连接相交于点G，连接相交于点H，连接．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，连接，证四边形和四边形是平行四边形，即可求解. 【详解】证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴ 23. 阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式 我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ① ② ③ ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】（1）①③ （2） 【解析】 【分析】本题主要查了分式化简： （1）根据“和谐分式”的定义，即可求解； （2）根据题意化简分式，即可． 【小问1详解】 解：①是“和谐分式”； ②不是“和谐分式”； ③是“和谐分式”； ④不是“和谐分式”； 故答案为：①③ 【小问2详解】 解： ． 24. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； （1）求点A的坐标； （2）取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由可得，，即可求解； （2）①证明，得到，可得，即可求解； ②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【小问1详解】 解：． ∴，， 解得，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接， ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ； ②取的中点，连接，． ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键； 25. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①作图见解析；②证明见解析；③，证明见解析 【解析】 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可； ②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论； ③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：， 证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$