强化练4 四边形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级下册数学期末试卷精选（沪科版）安徽专版

专项专练小卷 朝 强化练4 四边形的综合探究 满分：50分得分： 编者按：本专项聚焦于期末考试中四边形的综合探究问题，通过系统练习本专项的题目，助力同学 们突破期末难点 1.(10分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3cm BC=5cm.点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度为1cm/s,连接PO并延长交BC于 点Q,连接AQ,PC,设运动时间为(0<1<5)s. (1)求证：四边形APCQ是平行四边形 (2)①当= 时，四边形APCQ是矩形； ②当t= 时，四边形APCQ是菱形 →P B 题 型强化练 2.〔合肥市庐阳区)(12分)如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG,垂足为O. (1)求证：AE=FG (2)如图2，平移线段FG,使DG=BE,连接OD. ①求证：OD=AD: ②如图3，连接0B,当D,0,B三点共线时，则0C AD B E 图1 图2 图3 安撒专版数学八年级下册沪科 25 3.(14分)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E,G分别是边DC,BC上的点，AE与BD相交于点 F,且∠EFG=60°. (1)如图1，当点G与点C重合时，求证：FA=FG (2)如图2，当点G与点C不重合时，FA=FG是否还成立？若不成立，请说明理由：若成 立，请给出证明 (3)如图3，若AB=6,当CE=CG时，直接写出DE的长. D B C(G) G C G C 图1 图2 图3 题型强化练 4.〔合肥市瑶海区〕(14分)如图1，在矩形ABCD中，BC=4,CD=1,分别以BC,CD为边向外作 正方形BCGH和正方形CFED,连接BG交AD于点N,连接HE交BG于点M. (1)求证：ME=HM: (2)连接CM,求CM的长； (3)如图2，将正方形CFED绕点C旋转，当点F落在边BC上时（点D旋转到D,),请直接写 出GM的长为 H D E 图1 图2 26 安徽专版数学八年级下册沪科(2)证明：由(1)知DF∥AC, AE⊥FG,∴.∠AOF=90 ∴.∠FDG=∠ECG,∠DFG=∠CEG ∴.∠BAE+∠AFP=90. G是CD的中点，，DG=CG 四边形ABCD是正方形， .△DFG≌△CEG..DF=CE. ∴.AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90° :.四边形CFDE是平行四边形 (7分) ∴.∠P+∠AFP=90°.∴.∠BAE=∠P. :四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD. BE=DG,∠B=∠GDP=90°， AB⊥BF,.CD⊥BF ∴.△ABE=△PDG.∴.AB=DP. :,平行四边形CFDE是菱形 (9分) (3)BC的长为√10 (12分) AD-DP-TAP. :∠AOP=90°，.OD=AD (10分) 强化练4四边形的综合探究 ②2-v√2 (12分) 1.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 【解析】连接AG,延长FG交AD的延长线于点 ∴.AP∥CQ,A0=C0.∴.∠PA0=∠QC0, P.由①得AD=AB=OD=DP ∠AP0=∠CQ0..△AP0≌△CQ0.∴.AP= .∠ADC=90°， CQ.∴四边形APCQ是平行四边形. (4分) 209 .CD垂直平分AP..AG=PG (7分) .AD=OD,∴∠DAO=∠DOA. 【解析】由(1)知四边形APCQ为平行四边形， ∠BAD=∠AOP=90°，.∠BAD-∠DA0= .当∠APC=90时，四边形APCQ为矩形. ∠AOP-∠DOA.即∠BAO=∠DOG :四边形ABCD为平行四边形，.AB= 四边形ABCD是正方形， CD=3cm,AD=BC=5cm,AB∥CD.,AB⊥ .∴∠AB0=∠0DG=45°. AC,∴.AC⊥CD,即∠ACD=90°..AC= ∴.△AB0≌△ODG..A0=0G. VAD-CD=4cm,此时Sam=2D-CP= 设OG=x,则在Rt△AOG中，AO+OGg= cncP=号wAPC=-0hAP 20G=AG. .AG=√20G=√2x. C-cp=6cm1=161-l6 .OP=0G+PG=0G+AG=(1+2)x 5 ∴.在Rt△AOP中，AP=OP+AO=[(1+ (10分) √2)x+x2=(4+22)x 【解析】当四边形APCQ是菱形时，POLAC. AB⊥AC,AB∥PQ.:AD∥BC,∴.四边形 APQB为平行四边形，.AP=BQ.由(1)知四 OC 边形APCQ为平行四边形..AP=CQ. =2-√2 AD a0-c.4P=58c 5 2 cm...t= 1*② 2 x 1多 3.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，.AB= 2,解：(1)证明：过点F作FH⊥CD于点H BC.LABD-LCBD-7/ABC. ,四边形ABCD是正方形， 点G与点C重合， ∠B=90°，AD=AB,AB∥CD. ∴.AB=GB,∠ABF=∠GBF (3分) .AE⊥FG,.∠A0F=90 BF=BF,∴.△ABF≌△GBF..FA=FG.(5分) ∴.∠AFG+∠BAE=90°. (2)当点G与点C不重合时，FA=FG还成立. FH⊥CD,AB∥CD, (7分) ∴，FH=AD=AB,∠AFH=∠FHC=∠FHG=90° 证明：如图①，连接CF ∴.∠AFG+∠GFH=90° ∴，∠BAE=∠GFH. :∠B=∠FHG=90°，.△ABE≌△FHG. ∴.AE=FG (6分) (2)①证明：延长FG与AD的延长线相交于 点P 图① 安激专版数学 入年级下册沪科 由(1)可知，FA=FC,△ABF≌△CBF .AD BC 4,AB CD 1,BC//AD. ∴.∠BAF=∠BCF ∠BAD=90° :在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB∥DC :四边形BCGH和四边形CFED都是正方形， ,∠BCD+∠ABC=I80°，∠DEF=∠BAF ∴.BC=GH=4,CD=DE=1,BC∥HG, ∴.∠BCD=120°，∠DEF=∠BCF. ∠ABN=45. :∠EFG=60°，∠BCD+∠EFG+LFGC+ .AD∥GH,∠ANB=90°-∠ABN=45°. ∠FEC=360°， .∠MNE=∠MGH,∠MEN=∠MHG, .∠FGC+∠FEC=180. AN=AB=1. ∠DEF+∠FEC=180°， .AE =AD +DE=5. ∴.∠FGC=∠DEF=∠BCF ..NE =AE-AN =4...NE GH. ∴.FG=FC.∴.FA=FG. (11分) ∴.△MNE≌△MGH..ME=HM (8分) (3)DE=6√3-6. (14分) (2)根据正方形轴对称的性质，得CM=HM. 【解析】过点C作CMLFG于点M,CN⊥FE交 FE的延长线于点N,过点G作GH⊥BD于点H, 由)知AE=5,HM=ME=E.∠HAE= 连接FC,如图②. 180°-∠BAD=90°，AH=BH-AB=4- D 1=3..在R△AEH中，HE=√AE+AH2= (12分) H 3...cM-- G C a52 (14分) 图② 【解析】如图，延长EF交BG于点R,过点R作 ∴.∠CMG=∠CNE=∠GHF=90 RT⊥CG于点T 由(2)知，∠FGC=∠DEF=∠FCG. .∠DEF=∠CEN, ∴.∠FGC=LCEN. CE=CG,.△CMG≌△CNE.,∴.CM=CN. D ∴，FC平分∠EFG D 1 ∠CFE=LCFG=2EFG=30. ∴.∠RTG=∠RTD,=90°. .∠FCG=∠FGC=75°. ∠D,=∠FED,=90°， 在菱形ABCD中， ∴.四边形ERTD,是矩形 AB=BC=CD=AD=6,∠ABC=60°， ∴RT=ED,=1,RE=TD ∠CBD= 21BC=30. :四边形BCGH是正方形，.∠BGC=45°， ∠BCG=∠HGC=90°. ,∠CBF=∠CFG=30° ∴∠GRT=90°-∠BGC=45°..GT=RT=1. ∴.∠BFC=180°-∠CBF-∠FCG=75 ∴GR=√GT+RT=√2. ∴，∠BFC=∠FCG BC=CG=4,∠BCG=90 ∴.BF=BC=6,∠BFG=∠BFC-∠CFG=45°. .△GFH是等腰直角三角形.∴.FH=GH ∴.BG=√BC2+CG2=4v2. 在Rt△BGH中，∠CBF=30°，∴.BG=2GH. .BR=BG-GR=3/2. BH=√BG2-GH=√3GH, .RE=TD,GC+CD-GT=4, ..BF=BH+HF=3 GH+CH=6. ∴.BH=RE=4.:HBCG∥RE, .∴∠HBM=∠ERM,∠BHM=∠MER. GH=33-3. ∴.△BHM≌△REM. ..BG=2GH=6V3-6..CE CG,BC CD, .DE=BG=63-6. 六=w=R=3 2· 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，BC=4. CD=1. ÷GM=GR+RM=V2+3y2-52 2 安撒专版数学八年级下册沪科