专题04 立体几何初步（十六大题型+思维导图+知识清单+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 立体几何初步 【人教A版（2019）】 【知识清单1 基本立体图形】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 3．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 4．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【解题思路】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【解答过程】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 【解题思路】根据圆锥，棱台，棱锥的定义及结构特征，逐一分析判断各个选项得解. 【解答过程】对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误； 对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误； 对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误； 对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥， 由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱柱、棱锥、棱台和平面的定义，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确； 对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不正确； 对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，所以③不正确； 对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【解题思路】根据棱柱、棱锥、棱台的概念结合图形分析可得. 【解答过程】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误；    对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误. 故选：B. 【题型2 组合体的结构特征】 【例2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【解题思路】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【解答过程】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【解题思路】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误， 【解答过程】对于A，B，因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形， 原来的六个表面还是正方形，所以A，B正确． 对于C，因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确． 对于D，不妨取正方体的棱长为2，截去的每个正三棱锥的侧面面积为， 而它的底面积是边长为的正三角形，其面积为， 即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确． 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【解题思路】由空间几何体的结构特征可得. 【解答过程】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的． 右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的， 也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的． 实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．            【题型3 空间几何体中的最短路径问题】 【例3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【解题思路】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从沿侧面爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【解答过程】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为． 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【解题思路】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【解答过程】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【解题思路】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【解答过程】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为. 【题型4 空间几何体的截面问题】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由球与三棱锥的各面均相切的特征，结合截面三角形的形状，对照选项进行判断. 【解答过程】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线， 且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 故选：C. 【变式4-1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【解题思路】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案. 【解答过程】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和， ，分别是，的中点，故，且， ，故，，故四点共面， 故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形． 故选：D． 【变式4-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 【解题思路】连接BE，BF，可得正方体过点E，F，的截面为平行四边形，判断出为菱形，即可求出面积． 【解答过程】连接BE，BF，取的中点G，连接GF，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵，∴为平行四边形，∴， ∴，∴为平行四边形，即四点共面， ∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形， 又，则为菱形， ∵， ∴菱形的面积． 故选：C． 【知识清单2 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型5 立体图形的直观图】 【例5】（24-25高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【解题思路】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【解答过程】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，    原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【解题思路】根据斜二测画法的规则求解即可. 【解答过程】由题意，在原中，， 因为，则， 又，所以，为中点， 则， 所以原是一个等腰三角形. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】首先在直观图中求出，再还原为平面图形，即可求出平面图形的面积. 【解答过程】在直观图中过点作交于点，过点作交于点， 因为等腰梯形中，，则，又， 所以为等腰直角三角形，所以， 将直观图还原为平面图形如下所示： 且，，， 所以. 故选：B. 【变式5-3】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【解答过程】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 【知识清单3 简单几何体的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 【题型6 空间几何体的表面积】 【例6】（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【解题思路】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【解答过程】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 【解题思路】由面面平行的性质定理确定为中点，为中点，进而逐个计算每个面的面积即可. 【解答过程】由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 正方体中易知， 所以，为中点，为中点， 同理， 为中点， 所以， 所以四边形的面积等于， 所以四边形的面积等于， 易知四边形为等腰梯形，其中， 如图，过作，易得， 所以四边形的面积为， 同理四边形的面积为， 所以多面体的表面积为， 故选：C. 【变式6-2】（2024高二上·湖南岳阳·竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【解答过程】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解. 【解答过程】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接， 设上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 过点作于点，如图所示， 因为， 所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以方亭的侧面积为. 故选：B. 【题型7 空间几何体的体积】 【例7】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【解题思路】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【解答过程】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·湖南·期中）如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【解答过程】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为 . 故选：B. 【变式7-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作圆台与圆公共的轴截面，根据几何关系可得大小圆台的上地半径比例，进而根据圆台公式求解即可. 【解答过程】作圆台与圆公共的轴截面，设. 易得小圆台上底的半径，大圆台上底的半径， 则，. 故. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【解答过程】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 【知识清单4 球的截面、几何体与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型8 多面体与球体内切外接问题】 【例8】（23-24高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【解答过程】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【解答过程】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【解题思路】利用正弦定理求底面外接圆半径，结合直棱柱外接球的性质列式求半径，进而可得表面积. 【解答过程】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为， 取的中点，可知，且∥， 则，， 可得，， 所以三棱柱的外接球表面积为. 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高一下·山东东营·期末）如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，． (1)求这个四棱锥的全面积 (2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径． 【解题思路】(1)利用勾股定理计算出 ，可得出，求出侧面三角形面积，计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积. (2)根据题意，外接球球心在线段上，勾股定理可求出外接的半径，内接球的半径可用等体积法求出半径. 【解答过程】（1）连接，． 在中，，故． 所以，， 故这个四棱锥的全面积为； （2）由题几何体外接球球心在线段上，设为，设外接的半径为． 因为，所以， 在中，由勾股定理得： ，即，解得： 设内接球的半径为．， 所以， 解得：. 【知识清单5 空间点、直线、平面之间的位置关系】 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【题型9 平面的基本性质及推论】 【例9】（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【解题思路】根据空间点、线、面基本定理进行判断. 【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误； 若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确； 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误. 故选：C. 【变式9-1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【解题思路】直接由平面的概念逐一分析四个选项得答案． 【解答过程】A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【解题思路】根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 【变式9-3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个圆 B．两个相交平面把空间分成四个区域 C．三条直线两两相交，则确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【解题思路】根据确定平面定理以及面面之间的关系逐一判断即可. 【解答过程】A，过不共线三点确定一个圆，错误； B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确； C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面， 否则不能确定一个平面，错误； D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误. 故选：B. 【题型10 空间点共线、点（线）共面问题】 【例10】（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【解题思路】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）. 【解答过程】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 【变式10-1】（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 【变式10-2】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式10-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【解答过程】如图所示，      E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C. 【题型11 空间点、直线、平面之间的位置关系】 【例11】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【解题思路】根据已知条件判断线线、线面、面面位置关系，可判断ABC选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，则或、异面，B错； 对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错； 对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，则，D对. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【解题思路】根据各选项中的条件，指出存在的可能情况判断ABD；利用线面垂直的判定性质推理判断C. 【解答过程】对于A，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误； 对于B，，，则可能在内，可能平行于，B错误； 对于C，由，，得，而，因此，C正确； 对于D，m，n是异面直线，m，n在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线， 也可能是一条直线和一个点，D错误. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则   (2)若，则; (3)若，则;     (4) ，则. 上面四个命题正确的有（   ） A．(1)，(3) B．(2)，(4) C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4). 【解题思路】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解答过程】（1）中，若，由面面平行的性质，可得，所以（1）正确； （2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得， 又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确； （3）中，若，则与平行或异面，所以（3）不正确； （4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确. 故选：C. 【变式11-3】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【解题思路】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【解答过程】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：D. 【知识清单6 空间直线、平面的平行】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型12 空间直线、平面的平行】 【例12】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据线线平行证明线面平行. 【解答过程】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 【变式12-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【解题思路】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【解答过程】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高一下·天津南开·期中）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线． 其中判断正确的序号是 ②③④ ． 【解题思路】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解答过程】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以①错误． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，②正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，③正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，④正确． 故答案为：②③④． 【变式12-3】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【解题思路】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【解答过程】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. 【知识清单7 空间直线、平面的垂直】 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 5．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 6．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型13 空间直线、平面的垂直】 【例13】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解答过程】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 【变式13-1】（23-24高一下·福建南平·期中）如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面．在四面体中，下列说法正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【解题思路】由平面平面的性质定理可得，又由得到平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ABC平面ADC；假设平面平面，由面面垂直的性质定理可得，结合推出可判断B；若平面平面，取的中点可得，由面面垂直的性质定理可得，，在中，可判断C；若平面平面，由面面垂直的性质定理可得，结合可判断D. 【解答过程】对于B：因为在直角梯形中，， 在中，，由余弦定理，得， 所以，可得，又平面平面， 且平面平面，平面， 故平面，平面，则，又， ，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 对于A：若平面平面，平面平面，平面， 又，所以AD平面，而平面，所以， 由B知平面，平面，所以， 在中，，显然不可能，故B错误； 对于C：取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，作与点，连接，因为平面， 所以，若平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面，所以， 在中，，显然不可能，故C错误； 对于D：若平面平面，平面平面，平面， 且由B知，所以平面，因为平面，所以， 在中，，显然不可能，故D错误. 故选：B. 【变式13-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ． 【解题思路】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接，证明，然后证明平面，得证，从而由面面垂直的性质定理得平面，得，设出，计算出后可得结论。 【解答过程】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面 平面，平面，所以，从而， 又菱形中，，所以是等边三角形，则， 而，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以，从而， 因为平面 平面，平面 平面 ，平面，所以平面，又因为平面，所以， 设，则由已知得，， ，， 中，，从而，，， ， 所以. 故答案为：. 【变式13-3】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【解答过程】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【知识清单8 空间角与空间距离】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 3．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 4．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 5．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. 【题型14 空间角问题】 【例14】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【解答过程】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 【变式14-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正四棱台中，已知， ，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用线面角的定义作出线面角的平面角即可求解. 【解答过程】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以． 故选：B. 【变式14-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【解题思路】过作作，可得出线面角，再过作于，连接，在三个直角三角形中，分别计算，，，进而得出，即可求解. 【解答过程】 因为平面平面ABC，且平面平面ABC， 所以，过点作于，且面， 所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角， 过作于，连接， 由面，故，而且都在面内， 所以面，面，则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以，即， 解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为. 故答案为：. 【变式14-3】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【解题思路】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【解答过程】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【题型15 点、线、面的距离问题】 【例15】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离. 【解答过程】取的中点，连接， ，，则二面角的平面角为， 二面角的大小为，则， 所以，， 又直三棱柱的体积为8，， 则，， 又平面平面，平面平面， 且平面，平面， 设点到平面的距离为，又， ，解得， 故选：A. 【变式15-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交延长线于点，连接，由几何关系证明MN到平面的距离即点到平面的距离，再由等体积法求出结果即可； 【解答过程】 延长交延长线于点，连接，， 因为分别是AB和BC的中点，则， 由正方体的性质可得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以MN到平面的距离即点到平面的距离，设为， 则， 因为正方体的棱长为1， 所以，，， 所以，即， 故选：C. 【变式15-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，． (1)若中点为，求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）先证线面平行，再由面面平行的判定定理得证； （2）根据等体积法求点到面的距离即可得解. 【解答过程】（1）∵为的中点，是的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， ∵是的中点，为的中点，∴， ∵，， ∵平面，，平面，∴平面， ∵，平面，，∴平面平面 （2）根据题意可得， ∴， ， 设点到面的距离为， 根据等体积法可得， ∴，解得， ∴点到平面的距离为. 【变式15-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【解题思路】（1）先证明四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等，然后再证明平面，即可得证面面垂直； （2）可利用第一问的结论，把点到平面的距离等价转化到点到平面的距离的一半，即等于，然后再利用体积去求出这些相等的棱长，就可以得到答案;也可以利用等体积法去求点到平面的距离. 【解答过程】（1） 如图，连接，由得，四边形是菱形， 再由得，四边形是正方形，设正方形的中心为， 由，可知， 由底面是正方形可知：，又因为， 所以，即， 又因为，所以，即， 又因为平面，平面，， 所以平面， 即可得到四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等， 所以，所以. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解法一： 由题意，得正方形的面积是梯形面积的. 因为四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积为. 设正四棱锥的棱长为，则正方形的面积为. 设与交于点，连接，则为正四棱锥的高. 因为，所以， 所以正四棱锥的体积为，解得. 由（1），知平面， 所以点到平面的距离为2. 易知 ，且，所以四边形是平行四边形， 所以 ，又平面平面，所以 平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 即点到平面的距离等于点到平面距离的， 所以点到平面的距离为1. 解法二： 由题意，知四棱锥的体积为，解得， 所以. 易知 ，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 在中，易得，所以在中，， 所以， 所以.连接，则. 设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为1. 【题型16 立体几何中的探索性问题】 【例16】（23-24高二上·浙江宁波·期中）棱长为2的菱形中，，将沿对角线翻折，使到的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积的最大值为 B． C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使得面 【解题思路】平面平面时，得到点到平面的距离最大，结合锥体的体积公式，可判定A不正确；根据为等腰三角形，可判定B不正确；取，且的中点，证得平面，可判定C正确；根据与不垂直，可判定D不正确. 【解答过程】对于A中，当平面平面时，此时点到平面的距离最大， 此时三棱锥的体积取得最大值， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，且平面平面，所以平面平面， 又由正三角形的边长为，可得， 所以三棱锥的体积为，所以A不正确； 对于B中，在中，因为，所以为等腰三角形， 所以，所以B不正确； 对于C中，当，取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以C正确. 对于D中，若面，且平面，可得， 因为与不垂直，所以不存在点，使得面，所以D不正确. 故选：C. 【变式16-1】（2025高一下·全国·专题练习）已知正四棱柱中，，点分别是棱上的动点，则下列判断错误的是（    ） A．任意给定的点P（P不在B点），存在点Q，使得平面 B．任意给定的点Q（Q不在B点），存在点P，使得平面 C．任意给定的点P，存在点Q，使得 D．任意给定的点Q，存在点P，使得 【解题思路】任意给定的点P，过P作，交于M，过M作交于Q，可判断A；同理判断B；因为对上任意一点Q，平面，过C作交于点P，可判断D，对于任意给定的点P，与不垂直，不存在点Q，使得，判断C. 【解答过程】对于A：任意给定的点P，过P作，交于M， 又，所以， 且平面，平面，所以平面， 过M作交于Q，又， 平面，PM⊄平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面，故A正确； 同理可判断B正确；    因为对上任意一点Q，平面， 过C作交于点P， 因，可知交点一定在上， 在正四棱柱中，可得平面， 平面，所以， 又，所以平面，所以，故D正确， 对于任意给定的点P，与不垂直，不存在点Q，使得，故C错误. 故选：C.    【变式16-2】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【解答过程】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中， ， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则， ， 可得，， 由得， ， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 【变式16-3】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【解答过程】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【解题思路】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【解答过程】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【解答过程】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【解答过程】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则 ， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 4．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由三角形的面积公式可求得，设的外心为，进而可求得，过作平面的垂线，可得外接球的半径，进而可求表面积. 【解答过程】因为为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 5．（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【解题思路】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【解答过程】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 6．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【解答过程】如图所示，      E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C. 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【解答过程】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【解题思路】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【解答过程】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有（　　） A．则该半正多面体有12个顶点 B．则该半正多面体有14个面 C．则该半正多面体表面积为3 D．则该半正多面体体积为 【解题思路】由图形即可判断AB；由半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，可得正方形和正三角形的边长，计算即可判断C；利用割补法计算可得半正多面体的体积，即可判断D， 【解答过程】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点， 其棱长为，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），故AB正确； 半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上， 且此正方体的棱长为1，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点， 它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分， 所以该半正多面体的棱长为， 故半正多面体的面积为，故C错误； 半正多面体的体积为，故D正确. 故选：ABD. . 10．（23-24高一下·河北·期中）如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 【解题思路】对于A：根据题意结合台体的结构特征运算求解；对于B：根据台体的体积公式运算求解，对于C：由圆台补成圆锥，结合圆锥的侧面展开图分析求解；对于D：做辅助线，分析可知，结合几何知识运算求解. 【解答过程】对于选项A：如图1，作交于点E，易得， 则，所以圆台的高为，故A正确； 对于选项B：圆台的体积为，故B错误； 对于选项C：由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角， M为AD的中点，连接CM，如图2， 可得，，，则， 此时到的距离为， 故从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确； 对于选项D：延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，为中点，是与交点，如图3， 过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4， 则，与相似， 可得，，解得， 由垂径定理知N为FH的中点， 则与相似，且都是等腰直角三角形， 所以，故D正确； 故选：ACD． 11．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为45° B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 【解题思路】利用线面垂直的判定定理可得平面，可得为直线与平面所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得平面，即得为二面角的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项. 【解答过程】对于A，因为，，两两互相垂直，，平面，平面， 故为直线与平面所成的角，又，所以， 故直线与平面所成的角为，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为，，，两两互相垂直，所以， 因为，平面，所以平面，故为二面角的平面角， 则，故二面角的正切值为，故B项正确； 因为，所以，设到面的距离为， 则，解得，故C项错误； 对于D，因为，故为等边三角形， 因为平面，则点为点在平面上的投影，又， 即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等， 故为的外心也即重心，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【解题思路】将正方体的侧面与展开到同一平面，点到的距离就是. 【解答过程】将正方体的侧面与展开到同一平面 在同一平面内可知的最小值就是点到的距离， 正方体中，为棱的中点，所以，， 是正方形，所以 故答案为：. 13．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 . 【解题思路】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【解答过程】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ②③④ ． 【解题思路】①先证，，可得平面平面，从而知平面；②利用三垂线定理可得，，再由线面垂直的判定定理知平面，并结合平面平面，即可作出判断；③易知是边长为的等边三角形，再利用等体积法求解即可；④结合四面体是正三棱锥，且正方体的棱构成三组平行线，即可判断． 【解答过程】解：①因为点，分别为棱，的中点， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 因为点，分别为棱，的中点，所以， 又，，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以直线平面，即①错误； ②由三垂线定理知，，， 因为，所以平面， 由①知平面平面， 所以平面，即②正确； ③若，则是边长为的等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 所以， 所以点到平面的距离为，即③正确； ④由题意知，四面体的底面是等边，且， 即四面体是正三棱锥， 所以三条侧棱，，与底面所成角均相等， 而，，， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等， 由①知平面平面， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即④正确． 故答案为：②③④． 四、解答题 15．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解题思路】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【解答过程】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积， 又， 所以四边形的周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为． 16．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 【解题思路】（1）连接并延长交于，连接交于，可得截面，进而求得截面的面积即可. （2）多面体为三棱台，求得，，根据棱台的体积公式可求得棱台的体积，进而可求得结论. 【解答过程】（1）连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面. 由于平面平面，平面平面， 平面平面，故， 因为是的中点，则、分别为和的中点， 所以在中，且， 因为正方体的棱长为， 所以截面为梯形，且，，利用勾股定理得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则易得， 所以，梯形的面积为. （2）多面体为三棱台，，， 该棱台的高为，所以，该棱台的体积为：， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 17．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【解题思路】（1）证法一：由已知得，再结面面垂直的性质可得平面，而，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；证法二：由已知面面垂直可证得平面，则，由题意可得，再利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得∥，∥平面，则将到平面的距离转化为点到平面的距离，可证得为等边三角形，则，由线面垂直的判定可得平面，从而可求得结果. 【解答过程】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为.    18．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 【解题思路】（1）根据两条平行线确定一个平面，得出四点共面； （2）由于平面截正方体的截面是四边形，得出是三棱台的体积，进一步求体积得出比值. 【解答过程】（1）证明：将展开图还原为如图所示的正方体， 连接，在正方体中，且， 四边形是平行四边形，， 由分别是棱的中点，有，则， 所以四点共面，即点在平面内． （2）连接，所以平面截正方体的截面是四边形， 平面中，延长与的延长线交于点，是棱中点，则为中点， 为中点，则延长与的延长线交于点， 所以体积较小的几何体，即体积为的几何体是三棱台， 正方体的体积，其中是三棱台的体积， ， . 19．（23-24高一下·天津·期末）如图，在六面体中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【解答过程】（1）取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 第 1 页 共 95 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何初步 【人教A版（2019）】 【知识清单1 基本立体图形】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 3．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 4．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【题型2 组合体的结构特征】 【例2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式2-1】（23-24高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【变式2-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【变式2-3】（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【题型3 空间几何体中的最短路径问题】 【例3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从沿侧面爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【变式3-3】（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【题型4 空间几何体的截面问题】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式4-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 【知识清单2 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型5 立体图形的直观图】 【例5】（24-25高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式5-2】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ） A．6 B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【知识清单3 简单几何体的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 【题型6 空间几何体的表面积】 【例6】（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【变式6-1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 【变式6-2】（2024高二上·湖南岳阳·竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【题型7 空间几何体的体积】 【例7】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【变式7-1】（24-25高一下·湖南·期中）如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【知识清单4 球的截面、几何体与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型8 多面体与球体内切外接问题】 【例8】（23-24高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【变式8-3】（23-24高一下·山东东营·期末）如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，． (1)求这个四棱锥的全面积 (2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径． 【知识清单5 空间点、直线、平面之间的位置关系】 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【题型9 平面的基本性质及推论】 【例9】（24-25高一下·河北邯郸·期中）下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【变式9-1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【变式9-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【变式9-3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个圆 B．两个相交平面把空间分成四个区域 C．三条直线两两相交，则确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【题型10 空间点共线、点（线）共面问题】 【例10】（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【变式10-2】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式10-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型11 空间点、直线、平面之间的位置关系】 【例11】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【变式11-1】（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【变式11-2】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则   (2)若，则; (3)若，则;     (4) ，则. 上面四个命题正确的有（   ） A．(1)，(3) B．(2)，(4) C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4). 【变式11-3】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【知识清单6 空间直线、平面的平行】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型12 空间直线、平面的平行】 【例12】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式12-2】（24-25高一下·天津南开·期中）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线． 其中判断正确的序号是 ． 【变式12-3】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【知识清单7 空间直线、平面的垂直】 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 3．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 4．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 5．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 6．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型13 空间直线、平面的垂直】 【例13】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式13-1】（23-24高一下·福建南平·期中）如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面．在四面体中，下列说法正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式13-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ． 【变式13-3】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【知识清单8 空间角与空间距离】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 3．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 4．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 5．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. 【题型14 空间角问题】 【例14】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正四棱台中，已知， ，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【变式14-3】（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【题型15 点、线、面的距离问题】 【例15】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，． (1)若中点为，求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【变式15-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【题型16 立体几何中的探索性问题】 【例16】（23-24高二上·浙江宁波·期中）棱长为2的菱形中，，将沿对角线翻折，使到的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积的最大值为 B． C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使得面 【变式16-1】（2025高一下·全国·专题练习）已知正四棱柱中，，点分别是棱上的动点，则下列判断错误的是（    ） A．任意给定的点P（P不在B点），存在点Q，使得平面 B．任意给定的点Q（Q不在B点），存在点P，使得平面 C．任意给定的点P，存在点Q，使得 D．任意给定的点Q，存在点P，使得 【变式16-2】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式16-3】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 2．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 6．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 二、多选题 9．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有（　　） A．则该半正多面体有12个顶点 B．则该半正多面体有14个面 C．则该半正多面体表面积为3 D．则该半正多面体体积为 10．（23-24高一下·河北·期中）如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 11．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为45° B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 三、填空题 12．（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 13．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 . 14．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 16．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 17．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 18．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 19．（23-24高一下·天津·期末）如图，在六面体中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 95 页 学科网（北京）股份有限公司 $$